Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.
Đề bài
Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý tưởng: Biểu thị 3 vecto \(\overrightarrow {MD} , \overrightarrow {ME} , \overrightarrow {MF} \) thông qua 3 vecto \(\overrightarrow {MA} , \overrightarrow {MB} , \overrightarrow {MC} \)
Lời giải chi tiết
+) Qua \(M\) kẻ các đường \({A_1}{B_1}\;//{\rm{ }}AB;{\rm{ }}{A_2}{C_2}\;//{\rm{ }}AC;{\rm{ }}{B_2}{C_1}\;//{\rm{ }}BC\) như hình vẽ.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
M{B_1}//AB \Rightarrow \widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {ABC} = {60^0}\\
M{C_2}//AC \Rightarrow \widehat {M{C_2}{B_1}} = \widehat {ACB} = {60^0}
\end{array}\)
Tam giác \(M{B_1}{C_2}\) có \(\widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}\) nên là tam giác đều.
Tương tự các tam giác \(M{A_1}{C_1};M{A_2}{B_2}\)đều là các tam giác đều.
+) Lại có \(MD\; \bot {B_1}{C_2}\) nên \(MD\) cũng là trung tuyến của tam giác \({B_1}D{C_2}\)
Ta có \(2\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} \)
Tương tự: \(2\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{C_1}} \)
\(2\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} \)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} \\
= \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{A_1}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right)
\end{array}\)
\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)\)
+) Mặt khác: Tứ giác \(M{A_1}A{A_2}\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} = \overrightarrow {MA} \)
Tương tự: \(\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{B_2}} = \overrightarrow {MB} ;\quad \overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} = \overrightarrow {MC} \)
\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} {\rm{ }}\)
Vì \(O\) là trọng tâm của tam giác và \(M\) là một điểm bất kì nên
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MO} \)
+) Cuối cùng ta có:
\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right) = 3\overrightarrow {MO} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 8 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 6 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 5 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 4 trang 17 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
