Bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Bình chọn:
4 trên 223 phiếu

Giải bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của \(BC\) lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)

a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân.

b) Kẻ \(BH ⊥ AM\) (\(H \in AM\)), kẻ \(CK ⊥ AN\; (K  \in  AN).\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)

c) Chứng minh rằng \(AH = AK.\)

d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC,\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.

- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \(60^o\).

Lời giải chi tiết

a) \(∆ABC\) cân tại \(A\), suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)   (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù)  (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét \(∆ABM \) và \(∆ACN \) có:

\(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

\(BM = CN\) (gt)

\( \Rightarrow ∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

b) Xét hai tam giác vuông \(BHM\) và \(CKN\) có :

\(BM = CN\) (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆BHM  = ∆CKN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu a) ta có tam giác \(AMN\) cân ở \(A\) nên \(AM = AN\) (*)

Theo câu b ta có \(∆BHM = ∆CKN\) nên suy ra \(HM = KN\) (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: \(AH = AM – HM = AN – KN = AK\)

Vậy \(AH = AK.\)

d) \(∆BHM = ∆CKN\) suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (2 góc đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy \(∆OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC\) hình được vẽ lại như sau:

+ Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {60^o}\) nên là tam giác đều hay \(AB = BC = AC\).

Mặt khác: \(BM = CN = BC\) (gt)

Do đó: \(AB = BC = AC = BM = CN\).

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^o}\) (cùng bù với góc \({60^o}\))

Vì \(AB = BM\) (chứng minh trên) nên \(∆ABM\) cân tại \(B\) suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2}= {30^o}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

       \( = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}\)

Vậy \(∆AMN\) có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)

+ \(∆BHM\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat M = {30^o}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra \(\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (2 góc đối đỉnh)

Tam giác \(OBC\) cân có \(\widehat {{B_3}} = {60^o}\) nên tam giác \(OBC\) là tam giác đều.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 7 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương II: Tam giác

Bài 71 trang 141 SGK Toán 7 tập 1 Bài 71 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 71 trang 141 SGK Toán 7 tập 1. Tam giác ABC trên giấy kẻ ô vuông (h.151) là tam giác gì ? Vì sao ?

Xem chi tiết
Bài 72 trang 141 SGK Toán 7 tập 1 Bài 72 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 72 trang 141 SGK Toán 7 tập 1. Đố vui : Dũng đố Cường dùng 12 que diêm bằng nhau để xếp thành : a)Một tam giác đều ;

Xem chi tiết
Bài 73 trang 141 SGK Toán 7 tập 1 Bài 73 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 73 trang 141 SGK Toán 7 tập 1. Đố: Bạn Mai nói rằng đường trượt tổng cộng ACD gấp hơn hai lần đường lên BA. Bạn Vân nói rằng điều đó không đúng. Ai đúng, ai sai?

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 2 - Hình học 7 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 2 - Hình học 7

Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 2 - Hình học 7

Xem chi tiết
Bài 1 trang 53 SGK Toán 7 tập 1 Bài 1 trang 53 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 1 trang 53 SGK Toán 7 tập 1. Cho biết hai đại lượng x và y tỷ lệ thuận với nhau và khi x = 6 thì y = 4.

Xem chi tiết
Bài 7 trang 56 SGK Toán 7 tập 1 Bài 7 trang 56 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 7 trang 56 SGK Toán 7 tập 1. Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ 2,5 kg dâu. Theo công thức, cứ 2 kg dâu thì cần 3 kg đường.

Xem chi tiết
Bài 24 trang 118 SGK Toán 7 tập 1 Bài 24 trang 118 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 24 trang 118 SGK Toán 7 tập 1. Vẽ tam giác ABC biết = 90 AB=AC=3cm. Sau đó đo các góc B và C.

Xem chi tiết
Bài 6 trang 55 SGK Toán 7 tập 1 Bài 6 trang 55 SGK Toán 7 tập 1

Giải bài 6 trang 55 SGK Toán 7 tập 1. Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng 25 gam.

Xem chi tiết

>>Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi với đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Sử, Sinh cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.