Bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của \(BC\) lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)
a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân.
b) Kẻ \(BH ⊥ AM\) (\(H \in AM\)), kẻ \(CK ⊥ AN\; (K \in AN).\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)
c) Chứng minh rằng \(AH = AK.\)
d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì? Vì sao?
e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC,\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.
- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.
- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \(60^o\).
Lời giải chi tiết
a) \(∆ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)
\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)
Xét \(∆ABM \) và \(∆ACN \) có:
\(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)
\(BM = CN\) (giả thiết)
\( \Rightarrow ∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\) (hai góc tương ứng)
Vậy \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)
b) Xét hai tam giác vuông \(BHM\) (vuông tại \(H\)) và \(CKN\) (vuông tại \(K\)) có :
\(BM = CN\) (giả thiết)
\(\widehat M = \widehat N\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BHM = ∆CKN\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng)
c) Theo câu a) ta có tam giác \(AMN\) cân ở \(A\) nên \(AM = AN\) (*)
Theo câu b ta có \(∆BHM = ∆CKN\) nên suy ra \(HM = KN\) (2 cạnh tương ứng) (2*).
Từ (*) và (2*) ta có: \(AH = AM – HM = AN – KN = AK\)
Vậy \(AH = AK.\)
d) \(∆BHM = ∆CKN\) suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (2 góc đối đỉnh)
Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .
Vậy \(∆OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)
e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC\) hình được vẽ lại như sau:
+ \(∆ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {60^o}\) nên là tam giác đều hay \(AB = BC = AC\).
Mặt khác: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)
Do đó: \(AB = BC = AC = BM = CN\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}\)
Ta có \(\widehat {B_1}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABM\) nên \(\widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0\) (***)
Vì \(AB = BM\) (chứng minh trên) nên \(∆ABM\) cân tại \(B\) suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM}\)
Kết hợp với (***) ta có: \(\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o}\) .
Lại có \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) (câu a)
Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\) .
Theo định lý tổng ba góc trong tam giác \(AMN\) ta có:
\(\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o} \)
\(\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)
\( = {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}\)
Vậy \(∆AMN\) có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)
+ \(∆BHM\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat M = {30^o}\) nên \(\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M\)\(= 90^0-30^0={60^o}\) (tổng 2 góc nhọn của tam giác vuông bằng \(90^0\))
\(\Rightarrow\) \(\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (2 góc đối đỉnh)
\(∆OBC\) cân (theo câu d) có \(\widehat {{B_3}} = {60^o}\) nên \(∆OBC\) đều.
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 71 trang 141 SGK Toán 7 tập 1
- Bài 72 trang 141 SGK Toán 7 tập 1
- Bài 73 trang 141 SGK Toán 7 tập 1
- Lý thuyết Ôn tập chương 2. Tam giác
- Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 2 - Hình học 7
>> Xem thêm
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
