Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện (ABCD) và điểm (M) thuộc cạnh (AB). Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng qua (M), song song với hai đường thẳng (BC) và (AD). Gọi (N,P,Q) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (left( alpha right)) với các cạnh (AC,CD) và (DB).

Quảng cáo

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Đề bài

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh AC, CD và DB.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.

b) Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP.

Ta có:

\(MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

\(NP\parallel AD \Rightarrow \frac{{NP}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}\).

Ta có:

\(\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{AD}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{AD}}} \right) = 1\)

\(\Leftrightarrow MN.\frac{{BC + AD}}{{BC.AD}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.AD}}{{BC + AD}}\).

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.AD}}{{BC + AD}}\) thì MNPQ là hình thoi.

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 5 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \(\left( P \right)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\).
Bài 6 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng (a,b,c,d,e) với mặt phẳng (left( P right)) là mặt trước của toà nhà (Hình 19).
Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và một điểm (M) di động trên cạnh (AD). Một mặt phẳng (left( alpha right)) qua (M), song song với (C{rm{D}}) và (SA), cắt (BC,SC,SD) lần lượt tại (N,P,Q).
Bài 2 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABEF) không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi (O) và (O') lần lượt là tâm của (ABCD) và (ABEF).
Bài 1 trang 111 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD), đáy (ABCD) là hình bình hành có (O) là giao điểm hai đường chéo. Cho (M) là trung điểm của (SC).
Giải mục 3 trang 109, 110 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (left( P right)), mặt phẳng (left( Q right)) chứa (a) và cắt (left( P right)) theo giao tuyến (b) (Hình 10).
Giải mục 2 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng (a) không nằm trong mặt phẳng (left( P right)) và (a) song song với một đường thẳng (b) nằm trong (left( P right)). Đặt (left( Q right) = mpleft( {a,b} right)).
Giải mục 1 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABMN) không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (left( {ABCD} right)) lần lượt với các đường thẳng (MN,MA) và (AC).
Giải câu hỏi mở đầu trang 107 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Đường thẳng a trên mép hiên của tòa nhà có điểm nào chung với mặt (P) của phố đi bộ Nguyễn Huệ không?
Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng