Bài 2 trang 17 SGK Hình học 10
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC
Đề bài
Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} .\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
+) Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK, BM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr
& \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \)
Theo quy tắc \(3\) điểm đối với tổng vec tơ:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \)
\(AK\) là trung tuyến nên K là trung điểm \(BC\). Do đó,
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \)\( \Rightarrow ({2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v) + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u - \dfrac{2}{3}\overrightarrow u + \dfrac{2}{3}\overrightarrow v \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \)\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \)
\(BM\) là trung tuyến nên \(M\) là trung điểm \(AC\). Do đó,
\(\eqalign{
& \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \cr&\Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \overrightarrow {AB} \cr &= 2\overrightarrow v + ({2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v) \cr&= {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v. \cr} \)
Cách khác:
+ K là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \) hay \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow u \,\,\left( 1 \right)\)
+ M là trung điểm AC nên ta có: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \) hay \( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \,\,\left( 2 \right)\)
+ Lại có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \,\,\left( 3 \right)\)
Cộng (1) với (3) ta được \(2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \), kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \\ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \end{array} \right.\)
Trừ hai vế của hai pt cho nhau ta được: \(3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v } \right) + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \\ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v \end{array}\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 3 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 4 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 5 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 6 trang 17 SGK Hình học 10
- Bài 7 trang 17 SGK Hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
