Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 C..

Giải bài 64 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = 5{rm{x}} - 2 + frac{1}{{x + 3}}); b) (y = - 7{rm{x}} + frac{{x - 1}}{{{x^2}}}); c) (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}}}}{{ - x + 2}}); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 9{rm{x}}}}{{x + 1}});

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}}\);

b) \(y = - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\);

c) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}}\);

d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}}\);

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)

thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) \(y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}}\)

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = + \infty \)

Vậy \(x = - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 5\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} = - 2\)

Vậy đường thẳng \(y = 5{\rm{x}} - 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) \(y = - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}}\)

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} = - \infty \)

Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^3}}} = - 7\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0\)

Vậy đường thẳng \(y = - 7{\rm{x}}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - \infty \)

Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{x\left( { - x + 2} \right)}} = - 1\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} = - 4\)

Vậy đường thẳng \(y = - x - 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} = - \infty \)

Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{7{\rm{x}}}}{{x + 1}} = 7\)

Vậy đường thẳng \(y = 2{\rm{x}} + 7\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}); b) (y = frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{rm{x}}^2} + 9}}); c) (y = frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}).
Giải bài 66 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tốc độ đánh máy trung bình (S) (tính bằng từ trên phút) của một học viên sau (t) tuần học được cho bởi công thức: (Sleft( t right) = frac{{100{t^2}}}{{65 + {t^2}}}) với (t > 0). a) Xem (y = Sleft( t right) = frac{{100{t^2}}}{{65 + {t^2}}}) là một hàm số xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. b) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó khi thời gian (t) càng lớn.
Giải bài 67 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tổng chi phí để sản xuất (x) sản phẩm của một xí nghiệp được tính theo công thức (T = 20x + 100{rm{ }}000) (nghìn đồng). a) Viết công thức tính chi phí trung bình (Cleft( x right)) của 1 sản phẩm khi sản xuất được (x) sản phẩm. b) Xem (y = Cleft( x right)) là một hàm số xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. c) Xét tính đơn điệu của hàm số (y = Cleft( x right)) trên khoảng (left( {0; + infty } right)).
Giải bài 63 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{x - 1}}{{2{rm{x}} + 3}}); b) (y = - 3 + frac{5}{{x - 4}}); c) (y = frac{{3{rm{x}} - 7}}{{{x^2}}}); d) (y = frac{{ - 2{{rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{rm{x}} + 1}}).
Giải bài 62 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}}). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 1). b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y = - 1). c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng (y = - x). d) Giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là (Ileft( { - 1;1} right)).
Giải bài 61 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = - x + 3 - frac{5}{{2x + 1}}) là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giải bài 60 trang 25 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}) là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Giải bài 59 trang 25 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = frac{{2{rm{x}}}}{{{x^2} - 4}}) là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Giải bài 58 trang 25 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = frac{{ - 5{rm{x}} + 3}}{x}) là: A. (Ileft( {1; - 5} right)). B. (Ileft( {0; - 5} right)). C. (Ileft( {0;5} right)). D. (Ileft( {1;5} right)).
Giải bài 57 trang 25 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có đồ thị như Hình 11. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: A. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - x\). B. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\). C. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\). D. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận xiên là đường th
Giải bài 56 trang 25 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) liên tục trên (mathbb{R}) và đồ thị có đường tiệm cận ngang như Hình 10. Hàm số (y = fleft( x right)) có thể là hàm số nào trong các hàm số sau? A. (fleft( x right) = frac{{3{{rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}). B. (fleft( x right) = frac{{2{{rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}). C. (fleft( x right) = frac{{{{rm{x}}^2}}}{{{x^2} + x + 1}}). D. (fleft( x right) = frac{{{{rm{x}}^2}}}{{3{x^2} + x + 1}}).
Giải bài 55 trang 24 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (mathbb{R}backslash left{ { - 2} right}), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 2) và không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 2) và tiệm cận ngang là đường thẳng (y = 3). C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là đường thẳng (y = - 2). D. Đồ thị hàm
Giải bài 54 trang 24 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(y = 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(x = - 2\). B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(y = - 2\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(x = 2\). C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận ngang là đường
Giải bài 53 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (mathbb{R}backslash left{ 1 right}), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng: A. (x = 1). B. (x = 2). C. (y = 1). D. (y = 2).
Giải bài 52 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (y = 2x - 1 - frac{2}{{x + 1}}) là đường thẳng: A. (y = 2x). B. (y = x + 1). C. (y = 2x - 1). D. (y = - 2x + 1).
Giải bài 51 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng (x = - 1) làm tiệm cận đứng? A. (y = frac{{3{rm{x}} - 1}}{{{rm{x}} + 1}}). B. (y = frac{{2{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 1}}). C. (y = frac{{ - x + 1}}{{{rm{x}} - 2}}). D. (y = frac{{x + 1}}{{{rm{x}} - 2}}).
Giải bài 50 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 7}}{{6 - 3{\rm{x}}}}\) là: A. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\). B. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = \frac{7}{2}\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\). C. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\). D. Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\).
Giải bài 49 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{5{rm{x}} - 2}}{{x + 3}}) là đường thẳng: A. (x = - 3). B. (x = 5). C. (y = - 3). D. (y = 5).
Giải bài 48 trang 23 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{x - 2}}) là đường thẳng: A. (x = 2). B. (x = - frac{1}{3}). C. (y = 3). D. (y = frac{1}{3}).