-
SBT TOÁN TẬP 1 - CÁNH DIỀU
-
SBT TOÁN TẬP 2 - CÁNH DIỀU
Giải bài 20 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình chữ nhật và các điểm (Aleft( {0;0;0} right),Bleft( {a;0;0} right),Dleft( {0;b;0} right),Sleft( {0;0;c} right)) với (a,b,c) là các số dương (Hình 3). a) Tìm toạ độ của điểm (C), trung điểm (M) của (BC), trọng tâm (G) của tam giác (SCD). b) Lập phương trình mặt phẳng (left( {SBD} right)). c) Tính khoảng cách từ điểm (G) đến mặt phẳng (left( {SBD} right)).
Đề bài
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;b;0} \right),S\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số dương (Hình 3).
a) Tìm toạ độ của điểm \(C\), trung điểm \(M\) của \(BC\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(SCD\).
b) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
c) Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\):
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
‒ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(abc \ne 0\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):
\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - b;{z_C}} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {x_C}\\0 = {y_C} - b\\0 = {z_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = b\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {a;b;0} \right)\).
\(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có: \(M\left( {\frac{{a + a}}{2};\frac{{0 + b}}{2};\frac{{0 + 0}}{2}} \right)\) hay \(M\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)\).
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\) nên ta có: \(G\left( {\frac{{0 + a + 0}}{3};\frac{{0 + b + b}}{3};\frac{{c + 0 + 0}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)\).
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) hay \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).
c) Khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:
\(\begin{array}{l}d\left( {G,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\\ = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{{{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2}} }}\end{array}\)
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 21 trang 49 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 19 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 18 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 17 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 16 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
