Giải bài 12 trang 34, 35 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

Đề bài

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

a) \(a = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \(b = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{\sqrt 3 }};\) b) \(a = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^\pi }\) và \(b = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^e};\)

c) \(a = \frac{1}{{{3^{400}}}}\) và \(b = \frac{1}{{{4^{300}}}};\)

d) \(a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}}\) và \(b = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các tính chất:

- Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta .\)

- Cho \(0 < a < b,{\rm{ }}\alpha \) là một số thực. Ta có:

\({a^\alpha } < {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha > 0;{\rm{ }}{a^\alpha } > {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha < 0.\)

Lời giải chi tiết

a) Do \(0 < \sqrt 3 - 1 < 1\) và \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{\sqrt 2 }} > {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{\sqrt 3 }}{\rm{hay }}a > b.\)

b) Ta có: \(b = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^e} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}} \right)^e} = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{ - e}}.\)

Do \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) và \( - e < \pi \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^\pi } < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{ - e}}{\rm{hay }}a < b.\)

c) Ta có: \(a = \frac{1}{{{3^{400}}}} = {\left( {\frac{1}{{{3^4}}}} \right)^{100}} = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{100}}\) và \(b = \frac{1}{{{4^{300}}}} = {\left( {\frac{1}{{{4^3}}}} \right)^{100}} = {\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{100}}\)

Do \(\frac{1}{{81}} < \frac{1}{{64}}\) và \(100 > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{100}} < {\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{100}}{\rm{ hay }}a < b.\)

d) Ta có: \(a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}} = \frac{{{2^3}}}{{\sqrt[4]{{{3^3}}}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}}{{\sqrt[4]{{{3^3}}}}} = \frac{{{{16}^{\frac{3}{4}}}}}{{{3^{\frac{3}{4}}}}} = {\left( {\frac{{16}}{3}} \right)^{\frac{3}{4}}}\)

Do \(\frac{{16}}{3} > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) và \(\frac{3}{4} > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{16}}{3}} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}}{\rm{ hay }}a > b.\)