Giải bài 11 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số (fleft( x right) = left{ begin{array}{l}{x^2},x le 1frac{1}{x},x > 1end{array} right.). a) Chứng tỏ rằng hàm số (fleft( x right)) liên tục trên (mathbb{R}). b) Tính (intlimits_{ - 1}^2 {fleft( x right)dx} ).

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.\).

a) Chứng tỏ rằng hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) Tính \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0}\).

‒ Sử dụng công thức: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x \le 1\\\frac{1}{x},x > 1\end{array} \right.\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{x} = 1;f\left( 1 \right) = 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 1\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\ln {\rm{x}}} \right|_1^2 = \frac{2}{3} + \ln 2\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 12 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một vật đang ở nhiệt độ 100°C thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30°C. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc độ (T'left( t right) = - 140.{e^{ - 2t}}) (°C/phút), trong đó (Tleft( t right)) là nhiệt độ tính theo °C tại thời điểm (t) phút kể từ khi được đặt vào môi trường. Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của °C).
Giải bài 13 trang 16 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Sau khi được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 20 - 10t\left( {m/s} \right)\) với \(0 \le t \le 4\). a) Xác định độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm \(t = 3\). b) Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.
Giải bài 10 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Biết rằng đồ thị của hàm số (y = fleft( x right)) đi qua điểm (left( { - 1;3} right)) và tiếp tuyến của đồ thị này tại mỗi điểm (left( {x;{rm{ }}fleft( x right)} right)) có hệ số góc là (3{x^2} - 4x + 1). Tìm (fleft( 2 right)).
Giải bài 9 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm đạo hàm của hàm số (Fleft( x right) = sqrt {4x + 1} ). Từ đó, tính tích phân (intlimits_0^1 {frac{1}{{sqrt {4x + 1} }}dx} ).
Giải bài 8 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_{ - 1}^2 {left| {{x^2} + x - 2} right|dx} ); b) (intlimits_{ - 1}^1 {left| {{e^x} - 1} right|dx} ).
Giải bài 7 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) liên tục trên (mathbb{R}) và thoả mãn (intlimits_0^4 {fleft( x right)dx} = - 2;intlimits_0^5 {fleft( t right)dt} = 4). Tính (intlimits_4^5 {fleft( x right)dx} ).
Giải bài 6 trang 15 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính: a) (A = intlimits_{ - 1}^2 {left( {x - 4{{rm{x}}^2}} right)dx} + 4intlimits_{ - 1}^2 {left( {{x^2} - 1} right)dx} ); b) (B = intlimits_{ - 1}^0 {left( {{x^3} - 6{rm{x}}} right)dx} + intlimits_0^1 {left( {{t^3} - 6{rm{t}}} right)dt} ).
Giải bài 5 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) có đạo hàm (f'left( x right) = frac{{sqrt x - 1}}{x},x > 0). Tính giá trị của (fleft( 4 right) - fleft( 1 right)).
Giải bài 4 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^pi {left( {2cos x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_0^pi {left( {1 + cot x} right)sin xdx} ); c) (intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^2}xdx} ).
Giải bài 3 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_1^3 {{e^{x - 2}}dx} ); b) (intlimits_0^1 {{{left( {{2^x} - 1} right)}^2}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx} ).
Giải bài 2 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_1^2 {frac{{1 - 2{rm{x}}}}{{{x^2}}}dx} ); b) (intlimits_1^2 {{{left( {sqrt x + frac{1}{{sqrt x }}} right)}^2}dx} ); c) (intlimits_1^4 {frac{{x - 4}}{{sqrt x + 2}}dx} ).
Giải bài 1 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^2 {left( {3x - 2} right)left( {3x + 2} right)dx} ); b) (intlimits_1^2 {{t^2}left( {5{t^2} - 2} right)dt} ); c) (intlimits_{ - 1}^1 {left( {x - 2} right)left( {{x^2} + 2{rm{x}} + 4} right)dx} ).