Phương pháp giải:

- Viết phương trình parabol.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Phương trình parabol \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(B\left( {4;4} \right)\)

\( \Rightarrow 4 = a{.4^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\) nên \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{4}{x^2}\).

Gọi \(\left( H \right)\) là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4\), đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\), đường thẳng \(x = 0\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh \(Ox\) là :

\(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {{4^2} - {{\left( {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right)}^2}} \right]dx}  = \pi \int\limits_0^4 {\left( {16 - \dfrac{1}{{16}}{x^4}} \right)dx} \) \( = \pi \left. {\left( {16x - \dfrac{{{x^5}}}{{16.5}}} \right)} \right|_0^4 = \pi \left( {16.4 - \dfrac{{{4^5}}}{{16.5}}} \right) = \dfrac{{256\pi }}{5}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Đặt trục tọa độ, lập phương trình đường tròn, phương trình elip.

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \(AB = 12m \Rightarrow OA = 6m\).

Phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = 36 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {36 - {x^2}} \).

Phương trình elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm 4\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} \).

Khi đó diện tích phần trồn cỏ là:

\(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 {\left( {\sqrt {36 - {x^2}}  - 4\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} } \right)dx}  \approx 32,03\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = a,x = b\) là \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \), ở đó \(S\left( x \right)\) là diện tích thiết diện khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {a \le x \le b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ, ta thấy thiết diện là hình vuông cạnh \(AB\).

Gọi \(H = AB \cap Ox \Rightarrow OH = x,OA = 1 \Rightarrow AH = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \Rightarrow AB = 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow S\left( x \right) = A{B^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\).

Vật thể đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x =  - 1,x = 1\) và có diện tích thiết diện \(S\left( x \right) = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\) nên có thể tích \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {4x - \dfrac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16}}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình elip và parabol.

- Tính diện tích hình phẳng (phần màu trắng) giới hạn bởi nửa elip bên phải trục \(CD\) và parabol bên phải trục \(CD\).

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, dễ thấy \(B\left( {4;0} \right),C\left( {0;3} \right),F\left( {1;0} \right)\).

Ta chỉ cần xét phần bên phải trục \(Oy\) vì hình vẽ có tính đối xứng.

Phương trình elip: \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow x = 4\sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \).

Dễ thấy \(PQ = 3\sqrt 3  \Rightarrow P\left( {m;\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) với \(m > 0\).

Mà \(P \in \left( E \right) \Rightarrow m = 4\sqrt {1 - \dfrac{{27/4}}{9}}  = 2 \Rightarrow P\left( {2;\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Gọi phương trình parabol bên phải trục tung là \(\left( P \right):x = a{y^2} + by + c\).

Đỉnh \(F\left( {1;0} \right) \Rightarrow c = 1,b = 0 \Rightarrow x = a{y^2} + 1\)

\(P \in \left( P \right):x = a{y^2} + 1 \Leftrightarrow 2 = a.{\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow \dfrac{{27}}{4}a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{4}{{27}}\) \( \Rightarrow \left( P \right):x = \dfrac{4}{{27}}{y^2} + 1\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip \(\left( E \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) (phần màu trắng) nên phải trục tung là:

\({S_1} = \int\limits_{ - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}}^{\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} {\left[ {4\sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}}  - \dfrac{4}{{27}}{y^2} - 1} \right]dy} \)\( \Rightarrow 2{S_1} \approx 21,6686\)

Diện tích elip: \(S = \pi ab = \pi .4.3 = 12\pi \).

Diện tích phần tô màu đậm là \(S - 2{S_1} \approx 16,03\).

Số tiền trồng hoa là: \(16,03.300.000 = 4.809.000\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để  đưa tích phân về biến \(t.\)

Sử dụng công thức \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)d} x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét  \(\int\limits_{ - 1}^{\frac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx} \). Đặt \(2x + 1 = t \Leftrightarrow 2dx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t =  - 1\\x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right)\)

Từ hình vẽ ta có \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{16}}{3};\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  =  - \dfrac{{63}}{4}\)

Nên \(\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{16}}{3} - \dfrac{{63}}{4}} \right) =  - \dfrac{{125}}{{24}}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right),\,\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(x\left( {1 - x} \right) = {x^3} - x \Leftrightarrow x - {x^2} = {x^3} - x \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \dfrac{8}{3} + \dfrac{5}{{12}} = \dfrac{{37}}{{12}}\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right),\,\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Parabol \(y = \dfrac{1}{{24}}{x^2}\) chia hình giới hạn bởi elip có phương trình \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{16}}} \) thành hai phần có diện tích lần lượt là \({S_1},\,\,{S_2}\,\,\left( {{S_1} < {S_2}} \right)\)được kí hiệu như hình vẽ.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\dfrac{1}{{24}}{x^2} = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{16}}}  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4}}}{{576}} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{16}} \Leftrightarrow {x^2} = 12 \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 3 \).

Khi đó ta có: \({S_1} = \int\limits_{ - 2\sqrt 3 }^{2\sqrt 3 } {\left( {\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{16}}}  - \dfrac{1}{{24}}{x^2}} \right)dx}  \approx 4,766\).

Diện tích elip là \({S_{\left( E \right)}} = \pi ab = \pi .4.1 = 4\pi  \Rightarrow {S_2} = {S_{\left( E \right)}} - {S_1} = 7,8\).

Vậy \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} \approx 0,6123\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + a = \dfrac{3}{2}x \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 2a = 0\,\,\left( * \right)\).

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = 9 - 8a > 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{9}{8}\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow 0 < a < \dfrac{9}{8}\).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là 2 nghiệm của phương trình (*). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} + a - \dfrac{3}{2}x} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + ax - \dfrac{{3{x^2}}}{4}} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{{x_1^3}}{3} + a{x_1} - \dfrac{{3x_1^2}}{4}\\{S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\dfrac{3}{2}x - {x^2} - a} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{3{x^2}}}{4} - \dfrac{{{x^3}}}{3} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \left( {\dfrac{{3x_2^2}}{4} - \dfrac{{x_2^3}}{3} - a{x_2}} \right) - \left( {\dfrac{{3x_1^2}}{4} - \dfrac{{x_1^3}}{3} - a{x_1}} \right)\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \({S_1} = {S_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^3}}{3} + a{x_1} - \dfrac{{3x_1^2}}{4} = \left( {\dfrac{{3x_2^2}}{4} - \dfrac{{x_2^3}}{3} - a{x_2}} \right) - \left( {\dfrac{{3x_1^2}}{4} - \dfrac{{x_1^3}}{3} - a{x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x_2^2}}{4} - \dfrac{{x_2^3}}{3} - a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 - 4x_2^3 - 12a{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {x_2}\left( {4x_2^2 - 9{x_2} + 12a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\4x_2^2 - 9{x_2} + 12a = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \({x_2} = 0 \Rightarrow \) Thay vào (*) ta có \(2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(4x_2^2 - 9{x_2} + 12a = 0\) (1).  

Vì \({x_2}\) là nghiệm của (*) nên \(2x_2^2 - 3{x_2} + 2a = 0 \Leftrightarrow 12x_2^2 - 18{x_2} + 12a = 0\) (2).

Trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta được \(8x_2^2 - 9{x_2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\\{x_2} = \dfrac{9}{8}\end{array} \right.\).

Với \({x_2} = 0 \Leftrightarrow 2a = 0 \Leftrightarrow a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

Với \({x_2} = \dfrac{9}{8} \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{9}{8}} \right)^2} - 3.\dfrac{9}{8} + 2a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{27}}{{64}}\,\,\left( {tm} \right) = 0,421875\).

Vậy \(a \in \left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{{20}}} \right).\)

Chọn B

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Viết công thức tính hai phần diện tích \({S_1},{S_2}\).

- Sử dụng điều kiện \({S_1} = {S_2}\) tìm \(a\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm : \(\dfrac{3}{4}x = \dfrac{1}{2}{x^2} + a \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 4a = 0\,\,(*)\).

Ta có \((d)\) cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 32a > 0\\2a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \dfrac{9}{{32}}\).

Gọi hai nghiệm phân biệt  của (*) là \({x_1} < {x_2}\).

Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {\dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{3}{4}x + a} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{1}{6}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}\)

\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{3}{4}x - a} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( { - \dfrac{1}{6}{x^3} + \dfrac{3}{8}{x^2} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\)\( = \left( { - \dfrac{1}{6}x_2^3 + \dfrac{3}{8}x_2^2 - a{x_2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}} \right)\)

Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1} =  = \left( { - \dfrac{1}{6}x_2^3 + \dfrac{3}{8}x_2^2 - a{x_2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{6}x_1^3 - \dfrac{3}{8}x_1^2 + a{x_1}} \right)\)

\(\dfrac{1}{6}x_2^3 - \dfrac{3}{8}x_2^2 + a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 4x_2^2 - 9{x_2} + 24a = 0\)

Do \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x_2^2 - 3{x_2} + 4a = 0\\4x_2^2 - 9{x_2} + 24a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_2^2 - 3{x_2} + 4a = 0\\16a - 3{x_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{{256}}{9}{a^2} - 16a + 4a = 0\\{x_2} = \dfrac{{16a}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{512}}{9}{a^2} - 12a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \dfrac{{27}}{{128}}\end{array} \right..\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện của \(a\) nên ta có \(a = \dfrac{{27}}{{128}} \in \left( {\dfrac{3}{{16}};\dfrac{7}{{12}}} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) , đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(x = a;x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(x = \sqrt {x + 6} \left( {x \ge 0} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\left( {ktm} \right)\\x = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\sqrt {x + 6}  = 0 \Rightarrow x =  - 6\)

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đồ thị hàm số \(y = x\) và \(y = \sqrt {x + 6} \) là :

\(S = \int\limits_{ - 6}^0 {\sqrt {x + 6} dx}  + \int\limits_0^3 {\left( {\sqrt {x + 6}  - x} \right)dx} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tính diện tích của \(\left( H \right)\).

- Gọi \(B\left( {{x_0};0} \right) \in d \cap Ox\), tính diện tích \({S_{OAB}}\).

- Dựa vào giả thiết suy ra \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}{S_{\left( H \right)}}\), tìm \({x_0}\), sau đó tìm \(a;\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \) và trục hoành:

\(\sqrt {x + 4}  = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\).

Suy ra \({S_{\left( H \right)}} = \int\limits_{ - 4}^0 {\left| {\sqrt {x + 4}  - 0} \right|dx}  = \int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {x + 4} dx}  = \dfrac{{16}}{3}\).

Ta có: \(A\left( {0;2} \right)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \).

Gọi \(B\left( {{x_0};0} \right) \in d \cap Ox\), ta có \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.OB = \dfrac{1}{2}.2.\left| {{x_0}} \right| = \left| {{x_0}} \right|\).

Để đường thẳng \(d:\,\,ax + by - 16 = 0\) và chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau thì \({x_0} < 0\) và \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}{S_{\left( H \right)}}\).

\( \Rightarrow \left| {{x_0}} \right| = \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{8}{3}\) (Do \({x_0} < 0\)).

Suy ra đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( { - \dfrac{8}{3};0} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2b - 16 = 0\\ - \dfrac{8}{3}a - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 8\\a =  - 6\end{array} \right.\).

Vậy \(a + 2b =  - 6 + 2.8 = 10\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\) ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^3} + 12x =  - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {S_H} = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( { - {x^2} + {x^3} - 12x} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^4}}}{4} - 6{x^2}} \right)} \right|_{ - 3}^0 + \left. {\left( { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + 6{x^2} + \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4\\ = \dfrac{{99}}{4} + \dfrac{{160}}{3} = \dfrac{{937}}{{12}}.\end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V =\pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y = {e^x};\,\,y = 1\), \(x = 0\), \(x = 2\) có thể tích bằng:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}} - 1} \right|dx}  = \left| {\left. {\pi \left( {\dfrac{1}{2}{e^{2x}} - x} \right)} \right|_0^2} \right| = \pi \left( {\dfrac{1}{2}{e^4} - \dfrac{5}{2}} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm của \(y = \sqrt {\ln x} \) và truc hoành.

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của \(y = \sqrt {\ln x} \) và truc hoành là nghiệm của phương trình

\(\sqrt {\ln x}  = 0 \Leftrightarrow \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Thể tích khối tròn xoay là giới hạn bởi \(y = \sqrt {\ln x} \), trục hoành và đường thẳng \(x = 3\) là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_1^3 {\ln xdx}  = \pi \left( {\left. {x\ln x} \right|_1^3 - \int\limits_1^3 {x.\dfrac{1}{x}dx} } \right)\\\,\,\,\, = \pi \left( {3\ln 3 - \int\limits_1^3 {dx} } \right) = \pi \left( {3\ln 3 - 2} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm của các hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2;y = x + 2\).

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của các hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2;y = x + 2\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 2 = x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy diện tích \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {{x^2} - 3x - 4} \right|dx}  = \dfrac{{125}}{6}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Khi đó diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) và \(y = x + 2\) là:

\(\begin{array}{l}V = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\, = 4 + 4 = 8\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \).

Trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) phương trình trên có 3 nghiệm \(x = 0,\,\,x = \pi ,\,\,x = 2\pi \).

Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin x;\) \(y = 0;\) \(x = 0;\) \(x = 2\pi \) quay quanh trục \(Ox\) là :

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{2\pi } {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\int\limits_0^\pi  {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx}  + \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx} } \right)\\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\left| {\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}xdx} } \right| + \left| {\int\limits_\pi ^{2\pi } {{{\sin }^2}xdx} } \right|} \right)\end{array}\)

Xét nguyên hàm: \(\int {{{\sin }^2}dx} \) ta có:

\(\int {{{\sin }^2}dx}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}V = \pi \left( {\left| {\left. {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x} \right|_0^\pi } \right| + \left| {\left. {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x} \right|_\pi ^{2\pi }} \right|} \right)\\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\dfrac{1}{2}\pi  + \dfrac{1}{2}.2\pi  - \dfrac{1}{2}\pi } \right) = {\pi ^2}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\).

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành có thể tích là

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}  = \dfrac{{16}}{{15}}\pi \)( sử dụng máy tính)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Diện tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 6{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right|dx} \\S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right|dx}  + \int\limits_2^4 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right|dx} \\S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right)dx} } \right|\\S = 4 + 4 = 8\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Chia diện tích cần tính thành những phần nhỏ.

- Diện tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x,\,\,y = \dfrac{1}{2}{x^2}\), đường thẳng \(x = 0,\,\,x = 1\).

\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {2x - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)dx}  = \dfrac{5}{6}\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2,\,\,y = \dfrac{1}{2}{x^2}\), đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 2\).

\( \Rightarrow {S_2} = \int\limits_1^2 {\left( {2 - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)dx}  = \dfrac{5}{6}\).

Vậy \(S = {S_1} + {S_2} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm giao của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

- Diện tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số:

Giao của đồ thị hàm số với trục \(Oy\) là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).

Bài toán trở thành: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\), \(y = 0,\,\,x =  - 1,\,\,x = 0\).

Khi đó diện tích cần tính là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}dx} \\S =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)dx} \\S =  - \left. {\left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0\\S =  - \left( {3\ln 2 - \left( { - 1 + 3\ln 3} \right)} \right)\\S =  - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3\\S = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\).

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi \(y = {x^2} - 4x + 4,\)\(y = 0,\)\(x = 0,\)\(x = 3\) xung quanh trục \(Ox\) là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|} \right)\\\,\,\,\,\pi \left( {\dfrac{{32}}{5} + \dfrac{1}{5}} \right) = \dfrac{{33\pi }}{5}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm.

- Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x  \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

Ta xác định được \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\).

Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:

- \({S_1}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y =  - x\), \(x = 0,\,\,x = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - \left( { - x} \right)} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{7}{6}\end{array}\)

- \({S_2}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2\), \(x = 1,\,\,x = 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x  - \left( {x - 2} \right)} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{{19}}{6}\end{array}\)

Vậy diện tích cần tính là: \(S = {S_1} + {S_2} = \dfrac{7}{6} + \dfrac{{19}}{6} = \dfrac{{13}}{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 4\).

- Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

- Tính \({S_1} = {S_{OABC}} - {S_2}\).

- Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta thấy \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 4\) nên \({S_2} = \int\limits_0^4 {\dfrac{1}{4}{x^2}dx}  = \dfrac{{16}}{3}.\)

Ta có: \(OABC\) là hình vuông cạnh \(4\) nên \({S_{ABCO}} = {4^2} = 16\).

\( \Rightarrow {S_1} = {S_{OABC}} - {S_2} = 16 - \dfrac{{16}}{3} = \dfrac{{32}}{3}.\)

Vậy \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{32}}{3}:\dfrac{{16}}{3} = 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = 0\,\,\left( {a < 0} \right)\), ta có \({S_1} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx}  = m\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = 0,\,\,x = b\,\,\left( {b > 0} \right)\), ta có \({S_2} = \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx}  =  - n\).

Vậy diện tích cần tính là \(S = {S_1} + {S_2} = m - n.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\),\(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{8}{3} + \dfrac{5}{{12}} = \dfrac{{37}}{{12}}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(\left( H \right)\) là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thanh khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(y = \sqrt x \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

Xét \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \)\( \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^\pi  {x{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}dx}  \approx 1,775\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số.

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) và trục Ox là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 18{x^2};y = 18x\) là nghiệm của phương trình: \(18{x^2} = 18x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thj hàm số \(y = 18{x^2};\) \(y = 18x\) là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {18{x^2} - 18x} \right|d{\rm{x}}}  =  - \int\limits_0^1 {\left( {18{x^2} - 18x} \right)dx}  = 3\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm của các hàm số \(y = {x^2} - 2x - 2;y = x + 2\).

- Áp dụng công thức tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt x  =  - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\x = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {x - {x^2}} \right|dx}  = \dfrac{{2\pi }}{3}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{2}.\left( {\int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt 3 .4{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{4} + \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{\sqrt 3 .4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{4}} } } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt 3 }{3} \end{array}\)

Vậy \(0 < a < 2\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng ứng dụng của tích phân trong tính thể tích của khối tròn xoay

Lời giải chi tiết:

Độ dài cạnh của tam giác đều cắt trục Ox là \(a = 2.\sqrt {1 - {x^2}} \)

Diện tích tam giác đều đó là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4\left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)\)

Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {Sdx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng ứng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh diện tích của parabol: \({S_1} = \frac{4}{3}Rh.\)

\({S_2} = {S_{ABCD}} - {S_1} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = ...\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)

 \(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{4}{3}Rh = \frac{4}{3}.HC.OH = \frac{4}{3}.2.2 = \frac{{16}}{3}\,{m^2}.\\{S_{ABCD}} = {4^2} = 16\\ \Rightarrow {S_2} = {S_{ABCD}} - {S_1} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{m^2}.\\ \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{16}}{3}:\frac{{32}}{3} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn A. 

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

- Với \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {2f\left( x \right) - x} \right]dx}  = 2\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_{ - 1}^3 {xdx} \\\,\,\,\, = 2\left( {F\left( 3 \right) - F\left( { - 1} \right)} \right) - \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^3\\\,\,\,\, = 2\left( {\dfrac{{11}}{2} - 2} \right) - \left( {\dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2}} \right) = 3.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4 - \left| x \right|\) với trục hoành để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4 - \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 4 - \left| x \right|\) và trục hoành là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {4 - \left| x \right|} \right|dx}  = \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {x + 4} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} \\\,\,\,\, = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ - 4}^0 + \left. {\left( {4x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4\\\,\,\,\, = 8 + 8 = 16.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {\dfrac{1}{3}f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = \dfrac{1}{9}\pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow {V_1} = 9{V_2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = 2x - 4\) là:

\({x^2} - 4 = 2x - 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Gọi \({S_0}\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4,\,\,y = 2x - 4.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_0} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4 - \left( {2x - 4} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {2x - 4 - {x^2} + 4} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {{x^2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{4}{3}\\ \Rightarrow S = 2{S_0} = 2.\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Gắn hệ tọa độ vào hình vẽ đã cho.

- Viết phương trình đường parabol tạo thành cánh hoa.

- Áp dụngứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính diện tích phần tráng men.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Parbol đi qua gốc tọa độ và điểm \(A,\,\,B\) có phương trình \(y = \dfrac{{{x^2}}}{2}\).

Parbol đi qua gốc tọa độ và điểm \(B,\,\,C\) có phương trình \(x = \dfrac{{{y^2}}}{2} \Leftrightarrow {y^2} = 2x \Leftrightarrow y = \sqrt {2x} \,\,\left( {x \ge 0} \right)\).

Diện tích 1 cánh hoa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \dfrac{{{x^2}}}{2}\);\(y = \sqrt {2x} \), đường thẳng \(x = 2;\,\,x = 0\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x}  - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)dx}  = \dfrac{4}{3}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích phần tráng men là: \(S = 4{S_1} = \dfrac{16}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy số tiền cần phải trả là \(T = 24.\dfrac{16}{3} = 128\) triệu.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\), tính vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng.

+) \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \)

+) Sử dụng giả thiết S(0) = 0 để tìm hằng số C.

+) Tìm GTLN của biểu thức S(t).

Lời giải chi tiết:

Vận tốc của con cá là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - \frac{t}{5} + 4\)

Vận tốc thực của con cá khi khi bơi ngược dòng là \(v\left( t \right) - 2 = \frac{{ - t}}{5} + 4 - 2 = \frac{{ - t}}{5} + 2\)

Quãng đường con cá bơi được trong thời gian t kể từ lúc bắt đầu là

\(S\left( t \right) = \int\limits_0^t {\left( { - \frac{t}{5} + 2} \right)dt}  =  - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t + C\)

Mà \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) =  - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t =  - \frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 20t} \right) =  - \frac{1}{{10}}{\left( {t - 10} \right)^2} + 10 \le 10\,\,\forall t\)

Vậy khoảng cách xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng là 10 km.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm \(D\left( t \right) = \int {D'\left( t \right)dt} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(D\left( t \right) = \int {D'\left( t \right)dt}  = \int {90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12t} dt} \)

Đặt \(\sqrt {{t^2} + 12t}  = y \Rightarrow {t^2} + 12t = {y^2} \Leftrightarrow \left( {2t + 12} \right)dt = 2ydy \Leftrightarrow \left( {t + 6} \right)dt = ydy\)

\( \Rightarrow D\left( t \right) = \int {90{y^2}dy}  = 30{y^3} + C = 30{\left( {\sqrt {{t^2} + 12t} } \right)^3} + C\)

Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu tiên sẽ được tính \(1610640 - 30\sqrt {{{\left( {{4^2} + 12.4} \right)}^3}}  = 1595280\)

Vậy công thức tính tiền nợ nần là \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}}  + 1595280\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, suy ra các nghiệm \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\).

\( \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(S\left( m \right)\) trên \(\left[ {1;3} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\eqalign{  & {2 \over 3}{x^3} - 3m{x^2} - 2{m^3} =  - {{{x^3}} \over 3} + m{x^2} - 5{m^2}x  \cr   &  \Leftrightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 3mx + 2{m^2}} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2}\left( {x - 2m} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = m \hfill \cr   x = 2m \hfill \cr}  \right. \cr} \)

\(m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow m < 2m\) và khi \(x \in \left( {m;2m} \right) \Rightarrow x < 2m \Rightarrow {x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3} < 0\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là:

\(\eqalign{  & S = \int\limits_m^{2m} {\left| {{x^3} - 4m{x^2} + 5{m^2}x - 2{m^3}} \right|dx}  = \int\limits_m^{2m} {\left( { - {x^3} + 4m{x^2} - 5{m^2}x + 2{m^3}} \right)dx}   \cr   &  = \left. {\left( { - {{{x^4}} \over 4} + 4m{{{x^3}} \over 3} - 5{m^2}{{{x^2}} \over 2} + 2{m^3}x} \right)} \right|_m^{2m} = {{{m^4}} \over {12}}  \cr   & m \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow {1 \over {12}} \le S \le {{27} \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{  N = {{27} \over 4} \hfill \cr   n = {1 \over {12}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow N - n = {{20} \over 3}. \cr} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ.

Xác định hàm số đường hình sin.

Xác định các đường giới hạn phần diện tích hình phẳng được tô xanh.

Áp dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường sin có chu kì bằng \(AB = 2\pi \) và biên độ bằng \(AM = {1 \over 2}AD = {5 \over 2} \Rightarrow \) Đường hình sin có phương trình \(y = - {5 \over 2}\sin x\).
Đường thẳng BC có phương trình \(x = \pi \).
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {5 \over 2}\sin x\), trục Ox, đường thẳng \(x = 0;\,\,x = \pi \) có \(S = \int\limits_0^\pi {\left| { - {5 \over 2}\sin x} \right|} dx = {5 \over 2}\int\limits_0^\pi {\sin xdx} = - \left. {{5 \over 2}\cos x} \right|_0^\pi = {5 \over 2} + {5 \over 2} = 5\,\,\left( m \right)\).
\( \Rightarrow \) Diện tích giải đất ông A dùng để trồng hoa là \(2S = 10\,\,\left( {{m^2}} \right)\), do đó kinh phí để trồng hoa là 1.000.000 đồng.
Chọn A.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy hợp lý, viết các phương trình đường tròn và phương trình parabol.

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh 4m nên ta có \(A\left( -2;2 \right);B\left( 2;2 \right),C\left( 2;-2 \right);D\left( -2;-2 \right)\), từ đó ta dễ dàng viết được phương trình đường tròn là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\) và phương trình 2 parabol là \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) và \(y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\).

Ta có: S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\) và parabol (P): \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) 

\(\begin{align}& \Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{3}}=4\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)dx}=15,23={{S}_{3}}\,\,\left( {{m}^{2}} \right) \\  & {{S}_{2}}+{{S}_{4}}=2\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{S}_{1}}-{{S}_{3}}=35,04\,\left( {{m}^{2}} \right) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Chi phí để trồng bồn hoa đó là: \(15,23.150+35,04.100\approx 5790\) (nghìn đồng).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ giao điểm, xác định diện tích hình phẳng để tìm giá trị tham số m.

+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \({{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\ge 0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I  \right).\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại bốn điểm phân biệt khi \(\left( I \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
- \frac{b}{a} > 0\\
\frac{c}{a} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 4m > 0\\
3 > 0\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{9}{4}\\
m > 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}.\)

Khi đó, gọi \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\,\,\,\left( 0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( I  \right).\)

Suy ra \(\left( * \right)\) có bốn nghiệm theo thứ tự phân biệt là \({{x}_{1}}=-\,\sqrt{{{t}_{2}}},\,\,{{x}_{2}}=-\,\sqrt{{{t}_{1}}},\,\,{{x}_{3}}=\sqrt{{{t}_{1}}},\,\,{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}.\)

Do tính đối xứng của \(\left( C \right)\) nên \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \,\int\limits_{0}^{{{x}_{3}}}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}}{\left( -\,{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-m \right)\,\text{d}x} \\ & \left. \Leftrightarrow \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right) \right|_{0}^{{{x}_{3}}}=\left. \left( -\,\frac{{{x}^{5}}}{5}+{{x}^{3}}-mx \right) \right|_{{{x}_{3}}}^{{{x}_{4}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}}=-\frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}+\frac{x_{3}^{5}}{5}-x_{3}^{3}+m{{x}_{3}} \\ & \Leftrightarrow -\frac{x_{4}^{5}}{5}+x_{4}^{3}-m{{x}_{4}}=0. \\\end{align}\)

Mà \(a={{x}_{4}}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) nên suy ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x_4^4 - 3x_4^2 + m = 0\\
- \,\frac{{x_4^5}}{5} + x_4^3 - m{x_4} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
m = - \frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
- \,{a^4} + 3{a^2} = - \,\frac{{{a^4}}}{5} + {a^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \,{a^4} + 3{a^2}\\
\left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 0\\
{a^2} = \frac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \frac{5}{4}
\end{array} \right..\)

Kết hợp với điều kiện \(0<m<\frac{9}{4}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m=\frac{5}{4}\) là giá trị cần tìm.

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính thể tính khối trụ, khối cầu và ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể tròn xoay.

Lời giải chi tiết:

\({V_1}\) là thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ đi bốn lần thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi vật thể bị giới hạn bởi các đường \(x = 2\sqrt y ;\,\,x = 0;\,\,y = 0;\,\,x = 4\) quay quanh trục Oy.

\( \Rightarrow {V_1} = \pi {.4^2}.8 - 4\pi \int\limits_0^4 {2ydy}  = 64\pi \)

\({V_2}\) là thể tích khối cầu có bán kính bằng 4 trừ đi 2 lần thể tích khối cầu có bán kính bằng 2.

\( \Rightarrow {V_2} = \frac{4}{3}\pi \left( {{4^3} - {{2.2}^3}} \right) = 64\pi \)

Vậy \({V_1} = {V_2}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right);\,\,x = a;\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx - 1 = d{x^2} + ex + \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = 0\end{array}\)

Dễ thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt \( - 3; - 1;2\) nên

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = a{x^3} + 2a{x^2} - 5ax + 6a\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\( - \dfrac{3}{2} = 6a \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| { - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx}  + \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{16}}{3} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{63}}{4} = \dfrac{{253}}{{48}}\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Gắn trục tọa độ Oxy, xác định phương trình Elip và phương trình Parabol.

+) Ứng dụng tích phân để tính diện tích phần tô đậm \({S_1}\).

+) Tính diện tích phần không tô đậm: \({S_2} = {S_{\left( E \right)}} - {S_1}\).

+) Tính kinh phí.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình elip : \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow y =  \pm \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\).

Do \(MN = 2 \Rightarrow {x_N} = 1,\,\,{x_M} =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình \(\left( E \right) \Rightarrow 1 + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow 4{y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow M\left( { - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(\left( E \right) \Rightarrow 1 + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow 4{y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ \pm \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow N\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Gọi phương trình Parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( P \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0; - 1} \right);\,\,\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\,\,\left( { - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a + b + c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a - b + c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a + c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 1\\b = 0\\c =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right){x^2} - 1\)

Do đó diện tích phần tô đậm là \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} - \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right){x^2} + 1} \right)dx}  \approx 2,6692\).

Diện tích Elip là \({S_E} = \pi ab = \pi .2.1 = 2\pi  \Rightarrow \) Diện tích phần còn lại để trang trí đèn led là \({S_2} = {S_{\left( E \right)}} - {S_1} \approx 3,6140\).

Vậy kinh phí là: \(200\,\,000.{S_1} + 500\,\,000.{S_2} \approx 2\,\,340\,\,840 \approx 2\,\,341\,\,000\) (đồng).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Gắn hệ trục tọa độ lên mặt thiết diện ngang. Viết phương trình elip.

- Tính diện tích phần thiết diện chỉ chứa dầu.

- Tính thể tích phần dầu trong thùng, sử dụng công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích một phần elip tính được ở trên, \(h\) là chiều dài của thùng chứa dầu.

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình elip \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{{0,{8^2}}} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm 0,8\sqrt {1 - {x^2}} \).

Diện tích thiết diện có chứa dầu là phần diện tích được gạch chéo trong hình.

Ta tính diện tích phần không gạch chéo \({S_1}\) là phần hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = 0,4\) với một phần elip phía trên trục hoành có phương trình \(y = 0,8\sqrt {1 - {x^2}} \).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(0,4 = 0,8\sqrt {1 - {x^2}}  \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích phần không gạch chéo: \({S_1} = \int\limits_{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {0,8\sqrt {1 - {x^2}}  - 0,4} \right)dx}  \approx 0,49\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích elip: \(S = \pi ab = \pi .1.0,8 \approx 2,51\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần gạch chéo: \({S_2} = S - {S_1} = 2,51 - 0,49 = 2,02\left( {{m^2}} \right)\).

Thể tích dầu là: \(V = {S_2}.h = 2,02.3,5 \approx 7,08\left( {{m^3}} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} + a = x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {1 - 2a} \\{x_2} = 1 + \sqrt {1 - 2a} \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {a < \frac{1}{2}} \right).\)

Đặt \(t = \sqrt {1 - 2a} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = 1 - 2a \Leftrightarrow a = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.\)

Xét hàm số:\(g\left( x \right) = {x^2} - x + a\) và \(\int {g\left( x \right)dx}  = G\left( x \right) + C.\)

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {g\left( x \right)dx}  = G\left( {{x_1}} \right) - G\left( 0 \right)\\{S_2} =  - \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {g\left( x \right)dx}  = G\left( {{x_1}} \right) - G\left( {{x_2}} \right)\end{array} \right..\)

Lại có: \({S_1} = {S_2} \Rightarrow G\left( {{x_2}} \right) = G\left( 0 \right) \Rightarrow \frac{1}{6}x_2^3 - \frac{1}{2}x_2^2 + a{x_2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x_2^2 - 3{x_2} + 6a = 0 \Rightarrow {\left( {1 + t} \right)^2} - 3\left( {1 + t} \right) + 6\left( {\frac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 - 3t - 3 + 3 - 3{t^2} = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{t^2} - t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = \frac{{1 - \frac{1}{4}}}{2} = \frac{3}{8}\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn  C.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình (1) trở thành \({t^2} - 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\).

Vì đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{9}{4}\,\,\,\left( * \right)\).

Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt \(0 < {t_1} < {t_2}\), áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 3\\{t_1}{t_2} = m\end{array} \right.\). Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \( - \sqrt {{t_2}}  <  - \sqrt {{t_1}}  < \sqrt {{t_1}}  < \sqrt {{t_2}} \).

Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên \({S_1} = {S_2}\), do đó theo bài ra ta có \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}\).

Ta có:

\({S_2} = \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f\left( x \right)dx} \)

\({S_3} = \int\limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f\left( x \right)dx} \)  (do \(f\left( x \right)\) là hàm chẵn).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow  - 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f\left( x \right)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f\left( x \right)dx}  = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f\left( x \right)dx}  = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {\left( {{x^4} - 3{x^2} + m} \right)dx}  = 0\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)} \right|_0^{\sqrt {{t_2}} } = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} - {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}}  = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\dfrac{{{t^2}}}{5} - t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{t_2^2}}{5} - {t_2} + m = 0\,\,\,\left( {Do\,\,{t_2} > 0} \right)\\ \Leftrightarrow t_2^2 - 5{t_2} + 5m = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Mà \({t_2}\) là nghiệm của phương trình \({t^2} - 3t + m = 0\) nên \(t_2^2 - 3{t_2} + m = 0\) và \({t_2} = \dfrac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2}\).

Do đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 - 3{t_2} + m - 2{t_2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m\end{array}\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 - 4m}  = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 - 4m}  = 4m - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 3 > 0\\9 - 4m = 16{m^2} - 24m + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{4}\\16{m^2} - 20m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{3}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4}\,\,\left( {tm\,\,*} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 10 - 4 = 6.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải các phương trình hoành độ giao điểm để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}2{x^2} = \dfrac{{{x^2}}}{8} \Leftrightarrow x = 0\\2{x^2} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\\dfrac{{{x^2}}}{8} =  - x + 6 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {x \ge 0} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \int\limits_0^{\dfrac{3}{2}} {\left( {2{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{8}} \right)dx}  + \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^4 {\left( { - x + 6 - \dfrac{{{x^2}}}{8}} \right)dx}  = \dfrac{{185}}{{24}}\).

Chọn C.