Lời giải chi tiết:

\({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\)            (1)

+) Với  \(z = 0\)  thì  \(1 = 0\)  ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\)  không là nghiệm của phương trình (1)

+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:

\(\left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - \left( {z - \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2} = 0{\text{          }}(2)\)

Đặt \(t = z - \dfrac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)

Phương trình (2) có dạng: \({t^2} - t + \dfrac{5}{2} = 0\)(3)

Ta có: \(\Delta  = 1 - 4.\dfrac{5}{2} =  - 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + 3i}}{2};t = \dfrac{{1 - 3i}}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta  = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 - 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta  = {(1 - 3i)^2} + 16 = 8 - 6i = {(3 - i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 - i;{z_4} =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 - i; - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}; - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}} \right\}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Thay số phức \(z = 1 + i\) vào phương trình và biến đổi.

- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vì \(z = 1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow b + c + \left( {b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(T = b + c = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Phương trình bậc hai có 1 nghiệm \(z = a + bi\) thì nghiệm thứ 2 có dạng \(z = a - bi\).

- Áp dụng định lý Vi-et: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\), \({x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có 1 nghiệm phức \({z_1} = 1 - 3i \Rightarrow {z_2} = 1 + 3i\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - a\\{z_1}.{z_2} = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 10\end{array} \right.\)

Khi đó \(T = 2{a^3} + 2{b^3} + 3 = 1987\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\)

Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Mà \({z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}} \Rightarrow b =  \pm {2019^{1010}}\)

Vậy \(z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý viet.

- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} - 4x + \dfrac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{d}\end{array} \right.\)

Ta có \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\)

Đặt \(A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)\)

Vì tam giác OAB đều nên \(OA = AB \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \dfrac{4}{3}\)

Mà \(\dfrac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{{16}}{3}\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right. \Rightarrow P = c + 2d = 22\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm một nghiệm \(z\).

- Tính \({z^3}\), từ đó phân tích \({z^{2019}},\,\,{z^{2018}}\) theo \({z^3}\) và tính giá trị biểu thức \(M\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\).

Chọn 1 nghiệm của phương trình trên là \(z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\), ta có \({z^3} =  - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{z^{2019}} = {\left( {{z^3}} \right)^{673}} = {\left( { - 1} \right)^{673}} =  - 1\\{z^{2018}} = {\left( {{z^3}} \right)^{672}}.{z^2} = {\left( { - 1} \right)^{672}}.{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2} =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}M =  - 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{{ - 1}} + \dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} + 5\\M =  - 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{{ - 1}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + 5\\M = 2.\end{array}\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.

Lời giải chi tiết:

TH1: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thực thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = \sqrt 3 \\{z_0} =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} = \sqrt 3  \Leftrightarrow 3 + 3 + {a^2} - 2a = 0\)  (vô nghiệm).

Nếu phương trình có nghiệm \({z_0} =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow 3 - 3 + {a^2} - 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

TH2: Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm phức, tức là có hai nghiệm phức liên hợp.

Ta có: \(\Delta  = 3 - 4\left( {{a^2} - 2a} \right) =  - 4{a^2} + 8a + 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > \dfrac{{2 + \sqrt 7 }}{2}\\a < \dfrac{{2 - \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - \sqrt 3  \pm i\sqrt {4{a^2} - 8a - 3} }}{2}\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3  \Rightarrow \dfrac{{3 + 4{a^2} - 8a - 3}}{4} = 3 \Leftrightarrow 4{a^2} - 8a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy, có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi-et với phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}{z_2} = 14\end{array} \right.\)

Ta có \(z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = {6^2} - 2.14 = 8\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Modun của số phức \(z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\)

\( \Rightarrow \) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2\\{z_1}{z_2} = 3\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow z = 2{z_1} + 2{z_2} + {z_1}{z_2}i = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + {z_1}{z_2}i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.2 + 3i = 4 + 3i.\\ \Rightarrow \overline z  = 4 - 3i\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Vi – et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn \(a{{z}^{2}}+bz+c=0,\,\,a\ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(3{{z}^{2}}-z+4=0\). Áp dụng định lý Vi-ét:  \(\left\{ \begin{align}  {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{1}{3} \\  {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\)

\(P=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{{{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\frac{{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\frac{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-2.\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{\frac{1}{9}-\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}=-\frac{23}{12}\)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Số phức \(z={{z}_{0}}\) là một nghiệm của phương trình \(f\left( z \right)=0 \) nếu \(f\left( {{z_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z=1-i\) là nghiệm của phương trình nên:

             \({{\left( 1-i \right)}^{2}}+(2-m)(1-i)+2=0\)

             \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 2i + {i^2} + 2 - 2i - m + mi + 2 = 0\\ \Leftrightarrow ( - 1 + i)m =  - 4 + 4i\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 + 4i}}{{ - 1 + i}} = 4\end{array}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai nhận \(z={{z}_{1}},z={{z}_{2}}\) làm nghiệm là: \(\left( z-{{z}_{1}} \right)\left( z-{{z}_{2}} \right)=0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z=2+3i;\overline{z}=2-3i\)

Nếu \(z\) và \(\overline{z}\) là \(2\)  nghiệm của một phương trình thì:

               \(\left[ z-(2+3i) \right]\left[ z-(2-3i) \right]=0\)

               \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {z^2} - (2 - 3i)z - (2 + 3i)z + (2 + 3i)(2 - 3i) = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - 4z + 13 = 0\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai.

- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

- Thay vào biểu thức cần tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \(z+\frac{1}{z}=-1\Leftrightarrow {{z}^{2}}+z+1=0\)

Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-1;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1\)

Khi đó \(P={{z}_{1}}^{3}+{{z}_{2}}^{3}=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}^{2} \right)=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-3{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=-1.(1-3)=2\)

Chọn C

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\).

- Số phức \(z=a+bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( a;b \right)\).

- Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(\left(\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \({{z}^{2}}-2z+5=0\)

Có: \(\Delta '=1-5=-4=4{{i}^{2}}\)

   \(\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{4{{i}^{2}}}=2i\)

\(\Rightarrow \) Phương trình có \(2\)  nghiệm là: \({{z}_{1}}=1+2i;{{z}_{2}}=1-2i\)

Khi đó: \(A\left( 1;2 \right),B(1;-2)\)

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là: \(\left( 1;0 \right)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Định lý vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Thay vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\sqrt{3};{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=7\)

Khi đó: \(M={{z}_{1}}^{4}+{{z}_{2}}^{4}={{\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}^{2}.{{z}_{2}}^{2}\)

                  \(={{\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right]}^{2}}-2{{z}_{1}}^{2}.{{z}_{2}}^{2}\)

                  \(={{\left[ {{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-2.7 \right]}^{2}}-{{2.7}^{2}}=23\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Số phức \(z=a+bi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( a;b \right)\).                                                                  

Điều kiện để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) là \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\) hoặc \(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{z}_{2}}={{(1+i)}^{2}}=1+2i+{{i}^{2}}=2i\)

   \(\Rightarrow A(1;1),B(0;2),C(a;-1)\)

Khi đó: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1)\Rightarrow A{{B}^{2}}=2\)

              \(\overrightarrow{BC}=(a;-3)\Rightarrow B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+9\)

             \(\overrightarrow{AC}=(a-1;-2)\Rightarrow A{{C}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+4={{a}^{2}}-2a+5\)

Để \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) thì \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\)

                                    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 5 = 2 + {a^2} + 9\\ \Leftrightarrow a =  - 3\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Giả sử\(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).\) Giả phương trình ban đầu để tìm được nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để đánh giá cho cho \(b.\) Đưa \({{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\) về một hàm cho \(b\) và sử dụng ước lượng cho \(b\) ở phần trước để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Tính toán ta tìm được hai nghiệm \({{z}_{1}}=\frac{1-i\sqrt{2016}}{2},{{z}_{2}}=\frac{1+i\sqrt{2016}}{2}.\)

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right).\) Từ \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1\) ta suy ra

\(\begin{align} & \,\,\,\,\left| \left( a+bi \right)-\frac{1-i\sqrt{2016}}{2} \right|=1\Leftrightarrow 1={{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( b+\frac{\sqrt{2016}}{2} \right)}^{2}}\le 1 \\ & \Rightarrow -1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\le b\le 1-\frac{\sqrt{2016}}{2}\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Áp dụng \(\left( 1 \right)\) ta nhận được

\(\begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left| {z - {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {a + bi} \right) - \frac{{1 + i\sqrt {2016} }}{2}} \right|^2} = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)^2} - 4b\frac{{\sqrt {2016} }}{2} = 1 - 2b\sqrt {2016} \\
\ge 1 - 2\left( {1 - \frac{{\sqrt {2016} }}{2}} \right)\sqrt {2016} = 1 - 2\sqrt {2016} + 2016 = {\left( {\sqrt {2016} - 1} \right)^2}.
\end{array}\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là \(\sqrt{2016}-1.\)

Đạt được khi và chỉ khi

\(b=1-\frac{\sqrt{2016}}{2},a=\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị \({{m}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Viết lại phương trình đã cho thành \({{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}.\)

Nếu \({{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3.\) Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)

Nếu \({{m}_{0}}<9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}.\)

Do

\(\begin{array}{l}{z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt {9 - {m_0}} } \right)^2} = {\left( {3 + \sqrt {9 - {m_0}} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - \sqrt {9 - {m_0}} = 3 + \sqrt {9 - {m_0}} \\3 - \sqrt {9 - {m_0}} = - 3 - \sqrt {9 - {m_0}} \,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {9 - {m_0}} = 0 \Leftrightarrow {m_0} = 9\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Nếu \({{m}_{0}}>9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là \({{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.\)

Khi đó \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}\)

Do đó \({{m}_{0}}>9\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do bài toán đòi hỏi \({{m}_{0}}\in \left( 0;20 \right)\) nên \({{m}_{0}}\in \left\{ 10;11;....;19 \right\}.\)

Vậy có \(10\) giá trị thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Lời giải chi tiết:

\({z^4} - 2{z^3} - {z^2} - 2z + 1 = 0\)

Vì \(z{\text{ }} = {\text{ }}0\) không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho \({z^2} \ne 0\) , ta được:

\({z^2} - 2{\text{z}} - 1 - \dfrac{2}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - 2\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 1 = 0\)

 \( \Leftrightarrow {\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 3 = 0\)

Đặt \(t = z + \dfrac{1}{z}\) phương trình trở thành:  

\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 3\end{array} \right.\)

+) Với \(t =  - 1 \Leftrightarrow z + \dfrac{1}{z} =  - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)

+) Với \(t = 3 \Leftrightarrow z + \dfrac{1}{z} = 3 \Leftrightarrow {z^2} - 3z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {\dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

Chọn D

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^6}-9{z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^3} - 1} \right)\left( {{z^3} - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + z + 1} \right)\left( {z - 2} \right)\left( {{z^2} + 2{\rm{z}} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 2\\{z^2} + z + 1 = 0\\{z^2} + 2{\rm{z}} + 4 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Phương trình: \({z^2} + {\text{ }}z + 1 = 0\) có \(\Delta  = 1-4 =  - 3 = 3{i^2} \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)

+) Phương trình: \({z^2} + 2z + 4 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 =  - 3 = 3{i^2} \Rightarrow z =  - 1 \pm i\sqrt 3 \)

Vậy phương trình có 6 nghiệm phân biệt.

Chọn D

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^3} - \left( {2i - 1} \right){z^2} + (3 - 2i)z + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - 2iz + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\{z^2} - 2iz + 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Phương trình: \({z^2}-2iz + 3 = 0\) có \(\Delta ' = {i^2} - 3 =  - 4 = 4{i^2} \Rightarrow z = 3i;z =  - i\)

Do đó các nhận xét 1; 3; 4 là đúng.

Nhận xét 2 sai vì cả 3 nghiệm đều thuộc tập số phức.

Nhận xét 5 sai vì \(3i\) và \( - i\) không phải là hai số phức liên hợp.

Chọn B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^3} + (1 - 2i){z^2} + (1 - i)z - 2i = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - i} \right)\left[ {{z^2} + \left( {1 - i} \right)z + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i\\{z^2} + (1 - i)z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

 +) Giải phương trình \({z^2} + \left( {1-i} \right)z + 2 = 0\) ta tìm được 2 nghiệm phức khác \(i\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt.

Chọn D

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)(z + 2)({z^2} - 2z + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\z + 2 = 0\\{z^2} - 2z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - 2\\{z^2} - 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

 +) Phương trình: \({z^2}-2z + 2 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 2 =  - 1 = {i^2}\)

 \( \Rightarrow z = 1 + {\text{ }}i;z = 1-i.\)

Giả sử: \({z_1} = 1;{z_2} =  - 2;{z_3} = 1 + i;{z_4} = 1 - i\)

\( \Rightarrow S = \dfrac{1}{{{z_1}^2}} + \dfrac{1}{{{z_2}^2}} + \dfrac{1}{{{z_3}^2}} + \dfrac{1}{{{z_4}^2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{{(1 + i)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(1 - i)}^2}}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{2i}} + \dfrac{1}{{ - 2i}} = \dfrac{5}{4}\)

Chọn A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4} - 4{z^3} + 14{z^2} - 36z + 45 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 9} \right)({z^2} - 4{\rm{z}} + 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + 9 = 0\\{z^2} - 4{\rm{z}} + 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

  +) Phương trình: \({z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 9 = 9{i^2} \Leftrightarrow z =  \pm 3i\)

  +) Phương trình: \({z^2}-4z + 5 = 0\) có \(\Delta ' = 4 - 5 =  - 1 = {i^2} \Rightarrow z = 2 \pm i\)   

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {2 + i;2 - i;3i; - 3i} \right\}\)

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Vì \(z = 1 + i\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i + 3{i^2} + {i^3} + a(1 + 2i + {i^2}) + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow 1 + 3i - 3 - i + a + 2ai - a + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c - 2} \right) + \left( {2a + b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b + 2 = 0\\b + c - 2 = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(z = 2\) là nghiệm của phương trình nên:

\({2^3} + a{.2^2} + b.2 + c = 0 \Leftrightarrow 4a + 2b + c + 8 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\b + c = 2\\4a + 2b + c = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

+) Nếu \(z\) là một nghiệm phức của phương trình bậc hai thì \(\overline{z}\) cũng là nghiệm của phương trình bậc hai đó.

+) Tìm hai nghiệm phức của phương trình bậc hai đã cho.

+) Xác định các điểm biểu diễn A, B.

+) \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\Delta '={{b}^{2}}-c<0\Leftrightarrow {{b}^{2}}<C\)

Gọi \(z=x+yi\) la 1 nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\Rightarrow \overline{z}=x-yi\) cũng là một nghiệm của phương trình.

Ta có

\(\begin{array}{l}z + \overline z  = 2x =  - 2b \Leftrightarrow x =  - b\\z.\overline z  = {x^2} + {y^2} = c \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {c - {b^2}} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z =  - b + \sqrt {c - {b^2}} i \Rightarrow A\left( { - b;\sqrt {c - {b^2}} } \right)\\\overline z  =  - b - \sqrt {c - {b^2}} i \Rightarrow B\left( { - b; - \sqrt {c - {b^2}} } \right)\end{array} \right.\\OA \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {b^2} - \left( {c - {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình phức và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} =  - 3\\{z^2} = 2\end{array} \right.\)

\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} + {z^2} - 6 = 0 \Rightarrow z_1^2 = z_2^2 =  - 3;\,\,\,z_3^2 = z_4^2 = 2\)

\(T = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 =  - 3 - 3 + 2 + 2 =  - 2\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

- Thay vào biểu thức bài cho để tìm .

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-m;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=3i\)

         \(\Rightarrow {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}=8\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=8\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2.3i = 8\\ \Leftrightarrow {m^2} = 8 + 6i = {\left( {3 + i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 + i\\m =  - 3 - i\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm.

- Kết hợp điều kiện để loại nghiệm.

- Thay nghiệm thỏa mãn vào biểu thức cần tính giá trị.

Lời giải chi tiết:

Phương trình : \({{z}^{2}}+4z+20=0\)

Có: \(\Delta '=4-20=-16=16{{i}^{2}}\)

      \(\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{16{{i}^{2}}}=4i\)

Phương trình có \(2\)  nghiệm là: \({{z}_{1}}=-2-4i;{{z}_{2}}=-2+4i\)

Khi đó:  \({{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{(-2)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=20\) và \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4;{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=20\)

       \(\Rightarrow \left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left( -4 \right)}^{2}}-2.20=-24\)

Vậy \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2} \right)=20+2(-24)=-28\)

Chọn A

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\,\,\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\).

\(\Rightarrow P=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}=f\left( a;b \right)\).

Ta có \(f\left( a;b \right)=f\left( b;a \right)\,\,\forall a,b\), ta dự đoán dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=k\).

\(\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\sqrt{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}} \right]}\ge \frac{m\left( a-2 \right)+n\left( b+2 \right)}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\).

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}\frac{m}{a-2}=\frac{n}{b+2} \\ a=b=k \\ \end{align} \right.\). Chọn \(m=k-2,\,\,n=k+2\).

\(\Rightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{\left( k-2 \right)\left( a-2 \right)+\left( k+2 \right)\left( b+2 \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}=\frac{k\left( a+b \right)-2a+2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}\)

Tương tự :

\(\begin{align}\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\ge \frac{k\left( a+b \right)+2a-2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}} \\ \sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{\left[ 1\left( a+3 \right)+1\left( b+3 \right) \right]}^{2}}}=\frac{a+b+6}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)

Cộng vế với vế ta có: \(P\ge \frac{2k\left( a+b \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{16}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\) cần chọn số \(k\) sao cho \(\frac{2k}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow k=-\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Khi đó \(P\ge 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}\).

Vậy \(m=q=2;\,\,n=6;\,\,p=3 \,\,\Rightarrow m+n+p+q=2+6+3+2=13\).

Chọn B.

(Sưu tầm Group FB: Strong Team Toán VD – VDC).