Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực xác định các nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Thay \({z_1},\,\,{z_2}\) vào biểu thức \({\left| {{z_1} + i} \right|^2} + {\left| {{z_2} + i} \right|^2}\), sử dụng công thức \(\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 4z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + 3i\\{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right.\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left| {{z_1} + i} \right|^2} + {\left| {{z_2} + i} \right|^2}\\ = {\left| {2 + 3i + i} \right|^2} + {\left| {2 - 3i + i} \right|^2}\\ = {\left| {2 + 4i} \right|^2} + {\left| {2 - 2i} \right|^2}\\ = \left( {{2^2} + {4^2}} \right) + \left( {{2^2} + {2^2}} \right) = 28\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tìm nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Tính \(\left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\{z_2} =  - 1 - 2i\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}z_1^2 =  - 3 - 4i \Rightarrow \left| {z_1^2} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5\\z_2^2 =  - 3 + 4i \Rightarrow \left| {z_2^2} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}}  = 5\end{array} \right.\).

Vậy \(\left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 5 + 5 = 10\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Từ biểu thức bài cho, tìm số phức \(z\) sau đó thay số phức \(z\) vừa tìm được vào các phương trình ở các đáp án để chọn đáp án đúng.

Hoặc giải các phương trình ở các đáp án đã cho, tìm phương trình chứa nghiệm là số phức \(z\) đã tìm được ở trên.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Theo đề bài ta có: \(z + 2\overline z  = 6 + i\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + bi + 2\left( {a - bi} \right) = 6 + i\\ \Leftrightarrow a + bi + 2a - 2bi = 6 + i\\ \Leftrightarrow 3a - bi = 6 + i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 6\\ - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - i.\end{array}\)

+) Đáp án A: \({z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 - i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow z = 2 - i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình đã cho trên tập số phức sau đó thay các nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) vào các đáp án và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} - 2z + 1 =  - 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 2i\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = \sqrt 2 i\\z - 1 =  - \sqrt 2 i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\( + )\,\,{z_1}{z_2} = \left( {1 + \sqrt 2 i} \right)\left( {1 - \sqrt 2 i} \right)\) \( = 1 - 2{i^2} = 1 + 2 = 3\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

\( + )\,\,{z_1} + {z_2} = 1 + \sqrt 2 i + 1 - \sqrt 2 i = 2\) \( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3  + \sqrt 3 \) \( = 2\sqrt 3  \ne 2\)\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Chọn D

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt: \(\Delta  < 0\) hoặc \(\Delta ' < 0\).

- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì \(\Delta ' < 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5\).

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

\( \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right)\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm phức của phương trình đã cho.

- Tìm số phức w rồi suy ra phần thực: Số phức \(w = a + bi\) có phần thực là a.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 - i\end{array} \right.\)

Khi đó \(w = z_1^2 + z_2^2 = {\left( {2 + i} \right)^2} + {\left( {2 - i} \right)^2} = 6\).

Vậy phần thực của số phức w là \(a = 6\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Tính \(\left| {{z_1}} \right|,\,\,\left| {{z_2}} \right|\) và thay vào tính giá trị biểu thức \(\dfrac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}} + \dfrac{1}{{\left| {{z_2}} \right|}}\), sử dụng công thức tính môđun của số phức \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(9{z^2} + 6z + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} =  - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}i\\{z_2} =  - \dfrac{1}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}i\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3}}  = \sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(\dfrac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}} + \dfrac{1}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Vi-ét: Phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(2{z^2} + 4z + 3 = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - 2\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\left| {{z_1}{z_2} + i\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| { - \dfrac{3}{2} + i.\left( { - 2} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \dfrac{5}{2}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\) có nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{c}{a}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 3z + 7 = 0\) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{1} = 7\).

Vậy \(T = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 7 + 7 = 14.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm không phải là số thực khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\).

Lời giải chi tiết:

Để phương trình \({z^2} + 2mz + 3m + 4 = 0\) có hai nghiệm không phải là số thực thì \(\Delta ' < 0\).

\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 4\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cách 1: Giải phương trình đã cho tìm \({z_1},\,\,{z_2}\) rồi tính biểu thức đề bài cho.

Cách 2: Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right]\) rồi tính modun hai vế.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \({z^2} - z + 1 = 0\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = 1\left( {{1^2} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 =  - 2\\ \Rightarrow \left| {z_1^3 + z_2^3} \right| = \left| { - 2} \right| = 2.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai trên tập số phức tìm số phức \({z_0}\).

- Tính số phức \(w = i{z_0}\).

- Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 3i\\z = 1 - 3i\end{array} \right.\).

Vì \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của của phương trình trên \( \Rightarrow {z_0} = 1 + 3i\).

Khi đó ta có: \(w = i{z_0} = i\left( {1 + 3i} \right) =  - 3 + i\).

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là: \(M\left( { - 3;1} \right).\)

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định tổng và tích của hai số phức đã cho. Từ đó lập phương trình \({z^2} - Sz + P = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - 3i + 2 + 3i = 4\\\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 13\end{array} \right. \Rightarrow 2 - 3i\) và \(2 + 3i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 4z + 13 = 0.\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức của phương trình đã cho (Chú ý \({z_1}\)có phần ảo âm).

- Suy ra \({z_1};\,\,{z_2}\) rồi tính số phức \({z_1} + 2{z_2}\) và kết luận phần ảo của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 3i\\z = 1 - 3i\end{array} \right.\).

Vì \({z_1}\)có phần ảo âm nên ta có \({z_1} = 1 - 3i,\,\,{z_2} = 1 + 3i\).

Khi đó \({z_1} + 2{z_2} = 1 - 3i + 2\left( {1 + 3i} \right)\)\( = 3 + 3i\).

Vậy số phức \({z_1} + 2{z_2}\) có phần thực và phần ảo lần lượt là \(3;\,\,3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Tìm các điểm \(M,\,\,N\). Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

- Tính độ dài đoạn thẳng \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2} + {{\left( {{z_N} - {z_M}} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 4z + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 5 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 5 i\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {2;\sqrt 5 } \right)\) và \(N\left( {2; - \sqrt 5 } \right)\).

Vậy \(MN = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 5  - \sqrt 5 } \right)}^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tìm \({z_1},\,\,{z_2}\).

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({z^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 3i\\{z_2} =  - 3i\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overline {{z_1}}  =  - 3i\\\overline {{z_2}}  = 3i\end{array} \right. \Rightarrow \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Sử dụng dữ kiện để tìm \({z_1};\,\,{z_2}\) rồi tính số phức w.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({z^2} - 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 =  - 3 - 12i\).

Vậy phần ảo của số phức w là \( - 12.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình từ đó suy ra giá trị của P.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2{x^2} - 4x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = z\\x = 1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = w\end{array} \right.\) . 

Khi đó \(P = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\rm{w}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} + \dfrac{1}{{1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} = \dfrac{4}{9}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai trên tập số phức.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow z = 1 \pm \sqrt 2 i\)

Do \({z_1}\) là nghiệm phức có phần ảo dương nên \({z_1} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow i{z_1} = i - \sqrt 2 \): có phần thực bằng \( - \sqrt 2 \).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực trên tập số phức là hai số phức liên hợp.

Lời giải chi tiết:

Do \(z =  - 3 + 4i\) là một nghiệm của \({z^2} + az + b = 0\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\) nên \(\overline z  =  - 3 - 4i\) cũng là nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}z + \overline z  =  - a\\z\overline z  = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 6\\b = 25\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 25\end{array} \right. \Rightarrow a - b =  - 19\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai ẩn \(z\) sau đó sử dụng công thức nhân số phức để tính \(i{z_0}.\)

Lời giải chi tiết:

\({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 1 + 3i\\z =  - 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow {z_0} =  - 1 + 3i\) do số phức có phần ảo dương.

\( \Rightarrow i{z_0} = i\left( { - 1 + 3i} \right) =  - i + 3{i^2} =  - 3 - i.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Số tập con của tập có \(n\) phần tử là \({2^n}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\) là phương trình bậc 2 trên tập số phức nên luôn có 2 nghiệm.

Suy ra tập \(S\) có hai phần tử nên số tập con của \(S\) là \({2^2} = 4.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Giải phương trình đã cho tìm hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\)  rồi tính modul của số phức đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {1 + 2}  = \sqrt 3 \\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {1 + 2}  = \sqrt 3 \end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \left| {z_1^3.z_2^4} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^3}.{\left| {{z_2}} \right|^4} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^3}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^7} = 27\sqrt 3 .\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình tìm \({z_1};\,\,{z_2}\).

+) Thay \({z_1};\,\,{z_2}\) vào tính \(w\).

Lời giải chi tiết:

\({z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} =  - 2 + i\\{z_2} =  - 2 - i\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}} = {\left( {1 - 2 + i} \right)^{100}} + {\left( {1 - 2 - i} \right)^{100}}\\\,\,\,\,\, = {\left( {i - 1} \right)^{100}} + {\left( { - 1 - i} \right)^{100}} = {\left( {i - 1} \right)^{100}} + {\left( {i + 1} \right)^{100}}\\\,\,\,\, = {\left( {{{\left( {i - 1} \right)}^2}} \right)^{50}} + {\left( {{{\left( {i + 1} \right)}^2}} \right)^{50}} = {\left( { - 2i} \right)^{50}} + {\left( {2i} \right)^{50}}\\\,\,\,\, = {2.2^{50}}.{i^{50}} = {2^{51}}.{\left( {{i^4}} \right)^{12}}.{i^2} = {2^{51}}.1.\left( { - 1} \right) =  - {2^{51}}\end{array}\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Xét với điều kiện của \(a > 2,\) giải phương trình bậc hai ẩn \(z.\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ' = 1 - a.\)

\( \Rightarrow \) Với mọi \(a > 2 \Rightarrow \Delta  < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phức và hai nghiệm phức này thỏa mãn \({z_2} = \overline {{z_1}} .\)

Giả sử: \({z_1} = x + yi \Rightarrow {z_2} = x - yi.\)

\( \Rightarrow {z_1} + {z_2} = 2x \Rightarrow \) đáp án A đúng.

    \({z_1} - {z_2} = 2yi \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}{z_2}}} = \dfrac{{{{\left( {x + yi} \right)}^2} + {{\left( {x - yi} \right)}^2}}}{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right)}} = \dfrac{{2{x^2} - 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} \Rightarrow \) đáp án D đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi – ét.

Lời giải chi tiết:

\({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2\\{z_1}{z_2} = 4\end{array} \right.\)

\(P = \dfrac{{z_1^2}}{{{z_2}}} + \dfrac{{z_2^2}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^3 + z_2^3}}{{{z_1}{z_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^3} - 3{z_1}{z_2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}}{{{z_1}{z_2}}} = \dfrac{{{2^3} - 3.4.2}}{4} =  - 4\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Vi – et cho phương trình \({z^2} - mz + 2m - 1 = 0\) trong tập số phức ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a} = m\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a} = 2m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó: \(z_1^2 + z_2^2 =  - 10 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} =  - 10\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 2\left( {2m - 1} \right) =  - 10 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 12 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \pm 2\sqrt 2 i\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm \({z_1},\,\,{z_2}\), thay vào biểu thức \({({z_1} - 1)^{2018}} + {({z_2} - 1)^{2018}}\) và tính giá trị của biểu thức đó.

Lời giải chi tiết:

\({z^2} - 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 2 - i\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{({z_1} - 1)^{2018}} + {({z_2} - 1)^{2018}}\\ = {(2 + i - 1)^{2018}} + {(2 - i - 1)^{2018}}\\ = {(1 + i)^{2018}} + {(1 - i)^{2018}}\\ = {\left( {{{(1 + i)}^2}} \right)^{1009}} + {\left( {{{(1 - i)}^2}} \right)^{1009}}\\ = {\left( {2i} \right)^{1009}} + {\left( { - 2i} \right)^{1009}}\\ = {2^{2009}}.{i^{20019}} - {2^{2009}}.{i^{1009}} = 0\end{array}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Tìm tổng \(S=z+\overline{z}\) và tích \(P=z.\overline{z}\), khi đó \(z;\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({{Z}^{2}}-SZ+P=0\).

Lời giải chi tiết:

\(\overline{z}=a-bi\Rightarrow z+\overline{z}=2a;\,\,z.\overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Rightarrow z;\overline{z}\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2az+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

 Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm \(z=1+2i\) thì chọn đáp án đó.

Cách 2: Thay nghiệm \(z=1+2i\) vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó. 

Lời giải chi tiết:

 +) Xét phương trình: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 2z + 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} =  - 2 \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 2{i^2}\)

\(\Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 i \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z - 1 = \sqrt 2 i\\z - 1 = - \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Xét phương trình: \({{z}^{2}}+2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}+2z+4+1=0\Leftrightarrow {{\left( z+2 \right)}^{2}}=-1={{i}^{2}}\) 

\( \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right| = i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z + 2 = i\\
z + 2 = - i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - 2 + i\\
z = - 2 - i
\end{array} \right. \Rightarrow \)loại đáp án B.

+) Xét phương trình: \({{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+4=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=-4=-4{{i}^{2}}\) 

\( \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = 2i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z - 1 = 2i\\
z - 1 = - 2i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 1 + 2i\\
z = 1 - 2i
\end{array} \right. \Rightarrow \) chọn đáp án C.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình trở thành phương trình bậc hai.

Giải phương trình bậc hai, kết hợp điều kiện để loại nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \(\frac{4z-3-7i}{z-i}=z-2i\) (điều kiện \(z\ne i\))

                      \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 4z - 3 - 7i = (z - 2i)(z - i)\\ \Leftrightarrow 4z - 3 - 7i = {z^2} - iz - 2iz + 2{i^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} - (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0\end{array}\)

Có: \(\Delta ={{\left( 4+3i \right)}^{2}}-4(1+7i)=16+24i+9{{i}^{2}}-4-28i\)

           \(=3-4i=4-2.2i+{{i}^{2}}={{\left( 2-i \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{\left( 2-i \right)}^{2}}}=\left| 2-i \right|\)

 \(\Rightarrow \) Phương trình có \(2\)  nghiệm là: \({{z}_{1}}=\frac{4+3i+2-i}{2}=3+i;{{z}_{2}}=\frac{4+3i-2+i}{2}=1+2i\)(thỏa mãn)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0,a,b,c\in R \right)\)

- Tính \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\).

+ \(\Delta >0\) thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\).

+ \(\Delta =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({{x}_{1,2}}=-\frac{b}{2a}\).

+ \(\Delta <0\) thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}\).

Lời giải chi tiết:

1) Sai vì nếu \(\Delta <0\) thì \(\sqrt{\Delta }=\pm i\sqrt{\left| \Delta  \right|}\) do đó phương trình có \(2\)  nghiệm phức

2) Đúng

3) Đúng

Vậy có \(2\)  mệnh đề đúng

Chọn C

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0,a,b,c\in C \right)\)

- Tính \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\).

- Tìm một căn bậc hai của \(\Delta \).

- Áp dụng công thức nghiệm \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\).

Tính nghiệm \(z\) thỏa mãn đề bài rồi tính \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \({{z}^{2}}+\left( 1+2i \right)z-17+19i=0\)

Có: \(\Delta ={{\left( 1+2i \right)}^{2}}-4(-17+19i)=1+4i+4{{i}^{2}}+68-76i\)

            \(=65-72i=81-2.9.4i+16{{i}^{2}}={{\left( 9-4i \right)}^{2}}\)

       \(\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{\left( 9-4i \right)}^{2}}}=\left| 9-4i \right|\)

\(\Rightarrow \)Phương trình có \(2\) nghiệm: \({{z}_{1}}=\frac{-1-2i+9-4i}{2}=4-3i\) (thỏa mãn), \({{z}_{2}}=\frac{-1-2i-9+4i}{2}=-5+i\)(loại)

Do đó: \({z^2} = a + bi \Leftrightarrow {\left( {4 - 3i} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow 16 - 24i + 9{i^2} = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b =  - 24\end{array} \right. \Rightarrow a.b{\rm{ }} =  - 168\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phương pháp. Kiểm tra trực tiếp từng kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Với \(a\ne 0\) ta có phương trình \(a{{z}^{2}}+bz+c=0\) (*)  là phương trình bậc hai ẩn z có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac.\)

Xét trong tập số phức thì phương trình  (*) luôn có nghiệm \(\Rightarrow \) D đúng.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{b}{a}.\)

\(\Rightarrow \) Khi \(b=0\) ta có: \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Rightarrow \) A đúng.

+) Xét \(\Delta <0\) ta có phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt: \(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=\frac{-b+i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2a} \\ & {{z}_{2}}=\frac{-b-i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2a} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow \) B đúng.

+) Xét \(\Delta >0\Rightarrow \) phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt: \(\left[ \begin{align} & {{z}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \\  & {{z}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) C sai.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4}-{z^2}-2 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)({z^2} - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + 1 = 0\\{z^2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ { \pm \sqrt 2 ; \pm i} \right\}\)

Chọn B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4}-1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)({z^2} - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + 1 = 0\\{z^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ { \pm 1; \pm i} \right\}\)

Chọn C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^4} - 2{z^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2} \right)({z^2} - 4) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + 2 = 0\\{z^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 2 = 2{i^2}\\{z^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\sqrt 2 \\z = \pm 2\end{array} \right.\end{array}\)

Giả sử: \({z_1} = i\sqrt 2 ;{z_2} =  - i\sqrt 2 ;{z_3} = 2;{z_4} =  - 2\)

\( \Rightarrow P = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {{z_3}} \right|.\left| {{z_4}} \right| = \left| {i\sqrt 2 } \right|.\left| { - i\sqrt 2 } \right|.\left| 2 \right|.\left| { - 2} \right| = 8\)

Chọn B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 1 = 0\\{z^2} - z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\{z^2} - z + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Phương trình: \(z^2 – z + 1 = 0\) có \( \Delta = 1 – 4 = -3 = 3i^2\)

                        \( \Rightarrow z = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{2};z = \dfrac{{1 - i\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ { - 1;\dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{1 - i\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)

Chọn B

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + i = 0\\{z^2} - 2iz - 1 = 0\end{array} \right.\)

+) Phương trình \({z^2} + i = 0 \Rightarrow {z^2} =  - i \Rightarrow \) z là một căn bậc hai của \(-i\).

Gọi \(z = a + bi\) là một căn bậc hai của \(-i\) ta có  

\(\begin{array}{l}{z^2} = - i \Leftrightarrow {a^2} + 2abi - {b^2} = - i\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\2ab = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right.\\2ab = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{a^2} = - 1\,\,\left( {vn} \right)\\2{a^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\a = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình trên có hai nghiệm.

+) Phương trình: \({z^2}-2iz-1 = 0 \Leftrightarrow {z^2}-2iz + {i^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {z-i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Chọn D