20 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=4\). Biết tập hợp biểu diễn các số phức \(w=\left( 3+4i \right)z+i\) là một đường tròn. Tìm bán kính \(R\) 

của đường tròn đó.

  • A \(R=20\)                          
  • B  \(R=2\)                           
  • C  \(R=4\)                           
  • D  \(R=25\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức \(z=x+yi\)có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)

Bước 2: Thay zvào đề bài \(\Rightarrow \)Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax+By+C=0.\)

+) Đường tròn: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.\)

+) Parabol: \(y=a.{{x}^{2}}+bx+c\)

+) Elip: \(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(w=a+bi\) . Ta có

\(\begin{array}{l}w = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + (b - 1)i = (3 + 4i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{a + (b - 1)i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left[ {a + (b - 1)i} \right](3 - 4i)}}{{25}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{1}{{25}}[3a + 4b - 4 + ( - 4a + 3b - 3)i]\end{array}\)

 Theo giả thiết cho \(\left| z \right|=4\)  nên ta có

\(\frac{1}{{{25}^{2}}}\left[ {{\left( 3a+4b-4 \right)}^{2}}+{{\left( -4a+3b-3 \right)}^{2}} \right]={{4}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(-4a+3b-3)}^{2}}={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}+25-50b={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1={{20}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}={{20}^{2}}\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính bằng \(20\) .

Chọn A 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-2 \right|=2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w=\left( 1-i \right)z+i\) là một đường tròn. Tính bán kính \(r\) của đường tròn đó

  • A  \(r=\sqrt{2}\)                         
  • B  \(r=2\)            
  • C  \(r=4\)                                    
  • D  \(r=2\sqrt{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức \(z=x+yi\)có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)

Bước 2: Thay zvào đề bài \(\Rightarrow \)Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax+By+C=0.\)

+) Đường tròn: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.\)

+) Parabol: \(y=a.{{x}^{2}}+bx+c\)

+) Elip: \(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(w=a+bi\) . Ta có

\(\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}\)

 Theo giả thiết \(\left| z-2 \right|=2\) nên ta có \(\begin{array}{l}\frac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt{2}\).

Chọn D 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z+1 \right|+2\left| z-1 \right|.\)  

  • A \(\max T=2\sqrt{5}.\) 
  • B \(\max T=3\sqrt{5}.\) 
  • C \(\max T=2\sqrt{10}.\) 
  • D \(\max T=3\sqrt{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất 

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Gọi \(z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \)\(M\left( x;y \right)\).

Và \(A\left( -\,1;0 \right),\,B\left( 1;0 \right)\).

Ta có \(\left| z \right|=1\Rightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\) \(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\). \(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=4.\)

Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có \(T=MA+2MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{5.4}=2\sqrt{5}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(\max T=2\sqrt{5}\).

Cách 2. Đặt \(z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z+1 \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\) và \(\left| z-1 \right|=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\).

Mặt khác \(\left| z \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\), khi đó \(T=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\) \(\Leftrightarrow T\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]}=\sqrt{10\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}=2\sqrt{5}\Rightarrow \max T=2\sqrt{5}.\)

Chọn A


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

 Cho  số phức \(z\) và \(w\) thỏa mãn \(z + w = 3 + 4i\) và \(\left| {z - w} \right| = 9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| z \right| + \left| w \right|\).

  • A \(Max\,T = \sqrt {176} \)    
  • B \(Max\,T = 14\)                      
  • C \(Max\,T = 4\)                        
  • D  \(Max\,T = \sqrt {106} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Rút z theo w, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

+) Biểu diễn hình học tất cả các yếu tố có trong bài toán.

+) Tìm điều kiện để P đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

 

\(z + w = 3 + 4i \Rightarrow z = 3 + 4i - w \Rightarrow \left| {3 + 4i - 2w} \right| = 9 \Leftrightarrow \left| {w - \frac{3}{2} - 2i} \right| = \frac{9}{2}\)

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm \(I\left( {\frac{3}{2};2} \right)\) bán kính \(R = \frac{9}{2}\).

Ta có: \(T = \left| z \right| + \left| w \right| = \left| {w - 3 - 4i} \right| + \left| w \right|\)

 

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w, \(A\left( {3;4} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = 3 + 4i\). Dễ thấy I là trung điểm của OA.

Khi đó \(P = MO + MA\)

\({P_{\max }} \Leftrightarrow OM = OA \Leftrightarrow MI \bot OA\).

Ta có: \(OI = \sqrt {\frac{9}{4} + 4}  = \frac{5}{2}\), \(IM = R = \frac{9}{2}\)

\( \Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{81}}{4}}  = \frac{{\sqrt {106} }}{2}\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = 2OM = \sqrt {106} \).

Chọn đáp án D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {41} \). Xét số phức \(z = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó \(\left| b \right|\) bằng:

  • A   \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).       
  • B \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\). 
  • C \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).   
  • D \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Biểu diễn lượng giác của số phức.

+) \(\dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|,\,\,{z_2} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1}\) và \({z_2}\)

Theo đề bài, ta có: \(OA = 3,\,OB = 4,\,AB = \sqrt {41} \)

\( \Rightarrow \cos \widehat {AOB} = \dfrac{{{3^2} + {4^2} - 41}}{{2.3.4}} =  - \dfrac{2}{3}\)

Đặt \({z_1} = 3\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right) \Rightarrow {z_2} = 4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \widehat {AOB}} \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \widehat {AOB}} \right)} \right) = 4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right),\,\,\left( {\alpha  = \widehat {AOB}} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{3\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right)}}{{4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)}} = \dfrac{3}{4}.\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right)\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) - i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)\)

\( = \dfrac{3}{4}.\left[ {\left( {\cos \varphi .\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + \sin \varphi .\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right) + i\left( {\,\sin \varphi .\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) - \cos \varphi .\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{3}{4}.\left[ {\cos \left( { \pm \alpha } \right) + i.\sin \left( { \pm \alpha } \right)} \right] = \dfrac{3}{4}.\left( {\cos \alpha  \pm i\sin \alpha } \right)\)

\( \Rightarrow b =  \pm \dfrac{3}{4}\sin \alpha  \Rightarrow \left| b \right| = \dfrac{3}{4}.\sqrt {1 - {{\left( { - \dfrac{2}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\).

Cách 2:

Ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {41}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{3}{4}\\\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} - 1} \right| = \dfrac{{\sqrt {41} }}{4}\end{array} \right.\)

\(z = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\,\, \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt {41} }}{4}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = \dfrac{9}{{16}}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = \dfrac{{41}}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \dfrac{9}{{16}} - {a^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + \dfrac{9}{{16}} - {a^2} = \dfrac{{41}}{{16}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \dfrac{5}{{16}}\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(\left| b \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho ba số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) phân biệt thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 3\) và \(\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  = \overline {{z_3}} \). Biết \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) trên mặt phẳng phức. Tính góc \(\angle ACB\).

  • A \({150^0}\)
  • B \({90^0}\)
  • C \({120^0}\)
  • D \({45^0}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Do \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\). Gọi \(A',\,\,B',C'\) là các điểm đối xứng \(A,B,C\) qua \(Ox \Rightarrow \) \(A',\,\,B',C'\) lần lượt là các điểm biểu diễn số các số phức \(\overline {{z_1}} ,\,\,\overline {{z_2}} ,\,\,\overline {{z_3}} \) nên theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC = OA' = OB' = OC' = 3\\\left| {\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC'} } \right| = 3\end{array} \right.\)

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(A'B'\) ta có: \(\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  = 2\overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OC'}  \Rightarrow D'\) là trung điểm của \(OC'\)\( \Rightarrow OD = \dfrac{3}{2}\).

Xét tam giác \(OA'B'\) ta có: \(O{D^2} = \dfrac{{OA{'^2} + OB{'^2}}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{9}{4} = \dfrac{{9 + 9}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4} \Rightarrow A'B' = 3\sqrt 3  = AB\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(\cos \angle AOB = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}} = \dfrac{{9 + 9 - 27}}{{2.3.3}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \angle AOB = {120^0}\).

Gọi \(D\) là điểm đối xứng \(D'\) qua \(Ox\). Do \(D'\) là trung điểm của \(A'B'\) nên \(D\) là trung điểm của \(AB\).

\(D'\) là trung điểm của \(OC' \Rightarrow D\) là trung điểm của \(OC\).

Xét tứ giác \(OACB\) có hai đường chéo \(OC,\,\,AB\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow OACB\) là hình bình hành \( \Rightarrow \angle ACB = \angle AOB = {120^0}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Giả sử \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4.\) Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng:

  • A \(5 - \sqrt {21} \)      
  • B \(20 - 4\sqrt {21} \)
  • C \(20 - 4\sqrt {22} \)
  • D \(5 - \sqrt {22} \)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = x + yi\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) ta có \(AB = 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right) = \left( {x + yi - 6} \right)\left( {8 + \overline {\left( {x + yi} \right)i} } \right) = \left[ {\left( {x - 6} \right) + yi} \right]\left( {8 - xi - y} \right)\\ = \left[ {\left( {x - 6} \right) + yi} \right]\left[ {\left( {8 - y} \right) - xi} \right] = \left( {x - 6} \right)\left( {8 - y} \right) + xy + \left[ {\left( {8 - y} \right)y - \left( {x + 6} \right)x} \right]i\\ = 8x - xy - 48 + 6y + xy - \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 8y} \right)i\\ = 8x + 6y - 48 - \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 8y} \right)i\end{array}\)

Theo bài ra ta có \({x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\).

\( \Rightarrow A,B \in \left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0\) là đường tròn tâm \(\left( {4;3} \right)\) bán kính \(R = 5\).

Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = 4\overrightarrow {OM} \)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có : \(H{I^2} = {R^2} - H{B^2} = 21,\,\,IM = \sqrt {H{I^2} + H{M^2}}  = \sqrt {22} \).

\( \Rightarrow \) M thuộc đường tròn \(\left( T \right)\) tam \(I\left( {3;4} \right)\) bán kính \(R' = \sqrt {22} \).

Ta có : \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {4\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM\)

\( \Rightarrow {\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = \left| {OI - R'} \right| = 5 - \sqrt {22} \).

Vậy \({\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 4\left( {5 - \sqrt {22} } \right) = 20 - 4\sqrt {22} \).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện  \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).

  • A \({\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 5 \).
  • B \({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\).
  • C \({\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} \).
  • D \({\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 5 \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(M,A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z,\,\,{z_1} =  - 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\)

Khi đó,  \(\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow MA - MB = 2\sqrt 5 \), với \(A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {2;3} \right)\)

Nhận xét: \(AB = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow MA - MB = AB \Rightarrow B\) trên đoạn thẳng \(MB\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}t\overrightarrow {AB} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow M\left( {2 + 2t;3 + t} \right)\\ \Rightarrow \left| z \right| = OM = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {3 + t} \right)}^2}}  = \sqrt {5{t^2} + 14t + 13} ,\,\,t \ge 0.\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = 5{t^2} + 14t + 13,\,\,t \in \left[ {0; + \infty } \right),\,\,\,\,f'\left( t \right) = 10t + 14 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

\(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 13\)

\( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13}  \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;3} \right)\,\,\,\left( {M \equiv B} \right).\)

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:

  • A \(4\)                                                      
  • B \(2\left( {\sqrt {29}  - 3} \right)\)                                                     
  • C \(8\)                                                      
  • D \(2\left( {\sqrt {29}  - 5} \right)\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có :

+) \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {0;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\). 

\(\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( { - 5; - 2} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\).

Đặt  \(T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|\)

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z - \overline z  = 2bi\).

\( \Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|\).

 

Gọi \(M\left( {0;2b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(2bi\), \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(w\).

\( \Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}\).

Do \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow  - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow  - 4 \le 2b \le 4\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đoạn \(AB\) với \(A\left( { - 4;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow M\left( { - 4; - 2} \right),\,\,N\left( {0; - 2} \right)\).

Vậy \({T_{\min }} = 2.4 = 8\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính mô đun của số phức \(z + i\).

  • A \(\left| {z + i} \right| = \sqrt {61} \).
  • B \(\left| {z + i} \right| = 5\sqrt 2 \).
  • C \(\left| {z + i} \right| = 3\sqrt 5 \).
  • D

    \(\left| {z + i} \right| = 2\sqrt {41} \).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski \({\left( {ax + by} \right)^2}\,\, \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Do \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) nên \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5\)

\(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left( {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right) = 4a + 2b + 3 \Rightarrow 4a + 2b + 3 - M = 0\)

Để tồn tại số phức z như trên thì M  thỏa mãn điều kiện: đường thẳng \(4x + 2y + 3 - M = 0\,\,\left( \Delta  \right)\) và đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) có điểm chung\( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R\), với \(I\left( {3;4} \right),R = \sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\)

\({M_{\max }} = 33\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y + 3 - 33 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - 2x\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {15 - 2x - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow z = 5 + 5i \Leftrightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow z + i = \sqrt {25 + 36}  = \sqrt {61} \).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho số thực \(a\) thay đổi và số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{z}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{i - a}}{{1 - a\left( {a - 2i} \right)}}\). Trên mặt phẳng tọa độ, gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\). Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(I\left( { - 3;4} \right)\) (khi \(a\) thay đổi) là:

  • A 4
  • B 3
  • C 5
  • D 6

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{z}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{i - a}}{{1 - a\left( {a - 2i} \right)}} \Leftrightarrow z = \dfrac{{i - a}}{{1 - {a^2} + 2ai}}\sqrt {{a^2} + 1} \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{i - a}}{{ - {{\left( {a - i} \right)}^2}}}\sqrt {{a^2} + 1}  \Leftrightarrow z = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{a - i}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} \left( {a + i} \right)}}{{{a^2} - {i^2}}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} \left( {a + i} \right)}}{{{a^2} + 1}} \Leftrightarrow z = \dfrac{{a + i}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}i\end{array}\)

\(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }};\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)\).

Ta có \({\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}} = 1 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = 1\).

Khi đó \(I{M_{\min }} = IO - R = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}}  - 1 = 5 - 1 = 4\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 .\) Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right|\).

  • A  \(2\sqrt {46} \)                               
  • B \(2\sqrt {13} \)                                
  • C  \(2\sqrt {26} \)                               
  • D  \(2\sqrt {23} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {a;b} \right),\,\,\left( {x;y} \right)\) ta có \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

+) Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo đề bài \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow \left| {x + 1 + yi} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\)

Ta có \(T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = \left| {x + 4 + \left( {y - 1} \right)i} \right| + \left| {x - 2 + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)

\( = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 \({T^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right)^2}\) \( \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\)

\({T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x + 22} \right) = 4\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 10} \right) = 52\) (vì \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\))

Từ đó \(T \le 2\sqrt {13} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 3\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 3} \right)^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y = \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y =  - \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({T_{\max }} = 2\sqrt {13} .\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho 3 số phức \(z\), \({z_1}\),  \({z_2}\) thỏa  mãn \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = \left| {z + 3 - 4i} \right|\), \(\left| {{z_1} + 5 - 2i} \right| = 2\), \(\left| {{z_2} - 1 - 6i} \right| = 2\). Tính giá trị nhỏ  nhất của biểu thức \(T = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| + 4\).

  • A \(\frac{{2\sqrt {3770} }}{{13}}\).
  • B \(\frac{{\sqrt {10361} }}{{13}}\).        
  • C \(\frac{{\sqrt {3770} }}{{13}}\).
  • D \(\frac{{\sqrt {10361} }}{{26}}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z,{z_1},{z_2}\).

- Sử dụng phương pháp hình học nhận xét GTNN của \(T\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = \left| {z + 3 - 4i} \right| \Leftrightarrow {\left| {z - 1 + 2i} \right|^2} = {\left| {z + 3 - 4i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2x - 3y + 5 = 0\end{array}\)  

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(d:2x - 3y + 5 = 0\).

Đặt \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\,\left( {{a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R}} \right)\)  ta có:

\(\left| {{z_1} + 5 - 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + 5 - 2i} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + 5} \right)^2} + {\left( {{b_1} - 2} \right)^2} = 4\)  nên tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường tròn tâm \(A\left( { - 5;2} \right)\) bán kính \(R = 2\).

\(\left| {{z_2} - 1 - 6i} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left| {{z_2} - 1 - 6i} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{a_2} - 1} \right)^2} + {\left( {{b_2} - 6} \right)^2} = 4\)  nên tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường tròn tâm \(B\left( {1;6} \right)\) bán kính \(R = 2\).

Dựng hình:

Gọi điểm \({M_1},{M_2}\) lần lượt biểu diến các số phức \({z_1},{z_2}\) thì:

\(T = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| + 4 = M{M_1} + M{M_2} + 4 = \left( {M{M_1} + 2} \right) + \left( {M{M_2} + 2} \right) \ge MA + MB\)

Gọi \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(d\) thì \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Khi đó \(T \ge MA + MB \ge AB'\).

Qua \(B\left( {1;6} \right)\) viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(d:2x - 3y + 5 = 0\) ta được \(d':3x + 2y - 15 = 0\).

\(H = d \cap d'\) nên \(H\left( {\frac{{35}}{{13}};\frac{{45}}{{13}}} \right) \Rightarrow B'\left( {\frac{{57}}{{13}};\frac{{12}}{{13}}} \right) \Rightarrow AB' = \frac{{2\sqrt {3770} }}{{13}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + \overline z } \right| \ge 12\\\left| {z - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 \end{array} \right..\) Diện tích của hình phẳng (H) là

  • A \(4\pi  - 4\)                         
  • B \(8\pi  - 8\)                             
  • C \(2\pi  - 4\)                              
  • D \(8\pi  - 4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp hình học.

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + \overline z } \right| \ge 12\\\left| {z - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi + x - yi} \right| \ge 12\\\left| {x - yi - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x} \right| \ge 12\\\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  \le 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le  - 6\end{array} \right.\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \le 8\end{array} \right.\end{array}\)

Diệnt tích hình (H) là diện tích phần tô đậm hơn.

Ta có \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow y = 3 \pm \sqrt {8 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Vậy \(S = 2\int\limits_6^{4 + 2\sqrt 2 } {\left[ {3 + \sqrt {8 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}  - 3} \right]dx}  \approx 2,28\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 6,\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1}\) và số phức \(i{z_2}\). Biết \(\widehat {MON} = {60^0}\). Tính \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right|\).

  • A \(T = 36\sqrt 2 \)
  • B \(T = 36\sqrt 3 \)
  • C \(T = 24\sqrt 3 \)
  • D \(T = 18\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chọn điểm rơi: cho số phức \({z_1}\) nhận một giá trị đặc biệt, tìm \({z_2}\) rồi thay vào tìm \(T\).

Lời giải chi tiết:

Ta chọn \({z_1} = 6\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {6;0} \right)\).

Khi đó \(\widehat {MON} = {60^0}\) nên chọn \(N\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) (hình vẽ) biểu diễn số phức \(i{z_2}\)

Suy ra điểm \(N'\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2}\) hay \({z_2} = \sqrt 3  - i\).

Khi đó \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {{6^2} + 9{{\left( {\sqrt 3  - i} \right)}^2}} \right| = 36\sqrt 3 \).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 .\) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) tập hợp điểm biểu diễn các số phức \({\rm{w}} = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}}\) là đường tròn có bán kính bằng:

  • A \(\sqrt {34} \)   
  • B \(26\)    
  • C \(34\)
  • D \(\sqrt {26} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Modun của số phức \(z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \({\rm{w}} = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} \Rightarrow {\rm{w}}\left( {1 + z} \right) = 4 + iz \Leftrightarrow z\left( {{\rm{w}} - i} \right) = 4 - {\rm{w}}\)

\( \Rightarrow \sqrt 2 \left| {{\rm{w}} - i} \right| = \left| {4 - {\rm{w}}} \right|.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \({\rm{w}} = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 8x - 4y - 14 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 + {y^2} - 4y + 4 - 34 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 34\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}}\) là đường tròn tâm \(\left( { - 4;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {34} .\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\) và số phúc \(w = z + 2 - 4i\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) là:

  • A \(\sqrt 2 \)
  • B \(\sqrt {10} \)
  • C \(1 + \sqrt 2 \)
  • D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đưa các biểu thức trong môđun về dạng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2}\).

- Sử dụng công thức \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

- Đưa phương trình về dạng tích, chia các trường hợp.

- Đặt \(w = a + bi\), suy ra số phức z, biến đổi và tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2z + 1 + 1} \right| = \left| {{z^2} - 2iz + {i^2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + 1} \right)}^2} - {i^2}} \right| = \left| {{{\left( {z - i} \right)}^2} - {1^2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\left| {z - i + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - i + 1} \right|\left( {\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z - i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - i + 1} \right| = 0\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i - 1\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(z = i - 1 \Rightarrow w = i - 1 + 2 - 4i = 1 - 3i\), khi đó \(\left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \).

TH2: \(\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\) (*).

Đặt \(w = z + 2 - 4i = a + bi\) \( \Rightarrow z = \left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i - i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 5} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 3} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 5} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2a + 1 + 10b + 25 =  - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a + 4b + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a + b + 2 = 0\end{array}\)

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\).

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức w, \(M \in d\).

Khi đó ta có \(\left| w \right| = OM \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = d\left( {O;d} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Kết hợp 2 TH ta có \({\left| w \right|_{\min }} = \sqrt 2 \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Xét các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 2i} \right| + \left| {z - 6 - 2i} \right|\).

  • A \(7\)
  • B \(2\sqrt {53} \)
  • C \(2\sqrt {58} \)
  • D \(4\sqrt {13} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)}}{5} + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right|}}{5} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 - 4i + 5i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 + i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {2 + i} \right|.\left| {z + \dfrac{{ - 8 + i}}{{2 + i}}} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\); \(A\left( {0;2} \right);\,\,B\left( {6;2} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \(2i;\,\,6 + 2i\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(M\) để \(MA + MB\) lớn nhất, \(M\) chạy trên đường tròn  tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow N\left( {3;2} \right)\).

Ta có \({\left( {MA + MB} \right)_{\max }} \Leftrightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow MN = NI + R = 4 + 3 = 7\). Khi đó \(M\left( {3; - 5} \right)\).

Vậy \({\left( {MA + MB} \right)_{\max }} = 2\sqrt {{3^2} + {7^2}}  = 2\sqrt {58} \).

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho \(\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overline z  + 1 + i} \right|\). Tính \(M + m\)

  • A \(2\sqrt 5 \)
  • B \(2\)
  • C \(6\)
  • D

    \(1 + \sqrt 5 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(\overline z \), sử dụng các công thức \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|,\,\,\overline {z + w}  = \overline z  + \overline w \).

- Biểu diễn hình học và tìm GTLN, GTNN của \(\left| {\overline z  + 1 + i} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {iz - 2i - {i^2}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {z - 2 - i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| i \right|\left| {z - 2 - i} \right| = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {z - 2 - i} \right| = 1 \Rightarrow \left| {\overline {z - 2 - i} } \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\overline z  + \overline { - 2 - i} } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z  - 2 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z  - \left( {2 - i} \right)} \right| = 1\end{array}\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\overline z \) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(\overline z \), \(N\left( { - 1; - 1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z =  - 1 - i\).

Khi đó ta có: \(\left| {\overline z  + 1 + i} \right| = \left| {\overline z  - \left( { - 1 - i} \right)} \right| = MN\) với \(M \in \left( C \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{N_{\min }} = IN - R = 3 - 1 = 2\\M{N_{\max }} = IN + R = 3 + 1 = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m = 2,\,\,M = 4\).

Vậy \(M + m = 4 + 2 = 6\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho \(z \in \mathbb{C}\) thỏa mãn \(\left| {\overline z  + 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|;\)\(\left( {z - 3 - 3i} \right)\left( {\overline z  - 3 + 3i} \right) = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| {z - 2} \right|\) là:

  • A \(\sqrt {13} .\)
  • B \(\sqrt {10} .\)
  • C \(\sqrt {13}  + 1\)
  • D \(\sqrt {10}  + 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Dựa vào từng giả thiết tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Gọi \(M,\,\,A\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z\) và \(2\), khi đó ta có \(\left| {z - 2} \right| = MA\).

- Vẽ hình và tìm vị trí của \(M\) để \(MA\) lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {z - 3 - 3i} \right)\left( {\overline z  - 3 + 3i} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left[ {a - 3 + \left( {b - 3} \right)i} \right]\left[ {a - 3 - \left( {b - 3} \right)i} \right] = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} - \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)i + \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)i + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {3;3} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Lại theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {\overline z  + 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a - \left( {b - 2} \right)i} \right| \le \left| {a + \left( {b - 4} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \le {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4b + 4 \le {a^2} + {b^2} - 8b + 16\\ \Leftrightarrow 4b \le 12\\ \Leftrightarrow b \le 3\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(y = 3\) chứa trục \(Ox\) (Tính cả bờ).

Gọi \(M,\,\,A\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z\) và \(2\), khi đó ta có \(\left| {z - 2} \right| = MA\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{A_{\max }} \Leftrightarrow M\left( {4;3} \right)\). Khi đó \(MA = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Các bài liên quan:

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.