Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức $z=x+yi$có điểm biểu diễn là $M(x;y)$

Bước 2: Thay zvào đề bài $\Rightarrow$Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: $Ax+By+C=0.$

+) Đường tròn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.$

+) Parabol: $y=a.{{x}^{2}}+bx+c$

+) Elip: $\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $w=a+bi$ . Ta có

$\begin{array}{l}w = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + (b - 1)i = (3 + 4i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{a + (b - 1)i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left[ {a + (b - 1)i} \right](3 - 4i)}}{{25}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{1}{{25}}[3a + 4b - 4 + ( - 4a + 3b - 3)i]\end{array}$

 Theo giả thiết cho $\left| z \right|=4$  nên ta có

$\frac{1}{{{25}^{2}}}\left[ {{\left( 3a+4b-4 \right)}^{2}}+{{\left( -4a+3b-3 \right)}^{2}} \right]={{4}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(-4a+3b-3)}^{2}}={{100}^{2}}$

$\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}+25-50b={{100}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1={{20}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}={{20}^{2}}$

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $20$ .

Chọn A 

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức $z=x+yi$có điểm biểu diễn là $M(x;y)$

Bước 2: Thay zvào đề bài $\Rightarrow$Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: $Ax+By+C=0.$

+) Đường tròn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.$

+) Parabol: $y=a.{{x}^{2}}+bx+c$

+) Elip: $\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $w=a+bi$ . Ta có

$\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \frac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}$

 Theo giả thiết $\left| z-2 \right|=2$ nên ta có $\begin{array}{l}\frac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}$

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{2}$.

Chọn D 

Phương pháp giải:

Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất 

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Gọi $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow$$M\left( x;y \right)$.

Và $A\left( -\,1;0 \right),\,B\left( 1;0 \right)$.

Ta có $\left| z \right|=1\Rightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ $\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$. $\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=4.$

Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có $T=MA+2MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=\sqrt{5.4}=2\sqrt{5}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $\max T=2\sqrt{5}$.

Cách 2. Đặt $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z+1 \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ và $\left| z-1 \right|=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$.

Mặt khác $\left| z \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$, khi đó $T=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ $\Leftrightarrow T\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]}=\sqrt{10\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}=2\sqrt{5}\Rightarrow \max T=2\sqrt{5}.$

Chọn A

Phương pháp giải:

+) Rút z theo w, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

+) Biểu diễn hình học tất cả các yếu tố có trong bài toán.

+) Tìm điều kiện để P đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

$z + w = 3 + 4i \Rightarrow z = 3 + 4i - w \Rightarrow \left| {3 + 4i - 2w} \right| = 9 \Leftrightarrow \left| {w - \frac{3}{2} - 2i} \right| = \frac{9}{2}$

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I\left( {\frac{3}{2};2} \right)$ bán kính $R = \frac{9}{2}$.

Ta có: $T = \left| z \right| + \left| w \right| = \left| {w - 3 - 4i} \right| + \left| w \right|$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w, $A\left( {3;4} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z = 3 + 4i$. Dễ thấy I là trung điểm của OA.

Khi đó $P = MO + MA$

${P_{\max }} \Leftrightarrow OM = OA \Leftrightarrow MI \bot OA$.

Ta có: $OI = \sqrt {\frac{9}{4} + 4}  = \frac{5}{2}$, $IM = R = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow OM = \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{81}}{4}}  = \frac{{\sqrt {106} }}{2}$

$\Rightarrow {P_{\max }} = 2OM = \sqrt {106}$.

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

+) Biểu diễn lượng giác của số phức.

+) $\dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|,\,\,{z_2} \ne 0$

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức ${z_1}$ và ${z_2}$

Theo đề bài, ta có: $OA = 3,\,OB = 4,\,AB = \sqrt {41}$

$\Rightarrow \cos \widehat {AOB} = \dfrac{{{3^2} + {4^2} - 41}}{{2.3.4}} =  - \dfrac{2}{3}$

Đặt ${z_1} = 3\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right) \Rightarrow {z_2} = 4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \widehat {AOB}} \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \widehat {AOB}} \right)} \right) = 4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right),\,\,\left( {\alpha  = \widehat {AOB}} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{3\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right)}}{{4\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)}} = \dfrac{3}{4}.\left( {\cos \varphi  + i\,\sin \varphi } \right)\left( {\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) - i\,\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)$

$= \dfrac{3}{4}.\left[ {\left( {\cos \varphi .\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) + \sin \varphi .\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right) + i\left( {\,\sin \varphi .\cos \left( {\varphi  \pm \alpha } \right) - \cos \varphi .\sin \left( {\varphi  \pm \alpha } \right)} \right)} \right]$

$= \dfrac{3}{4}.\left[ {\cos \left( { \pm \alpha } \right) + i.\sin \left( { \pm \alpha } \right)} \right] = \dfrac{3}{4}.\left( {\cos \alpha  \pm i\sin \alpha } \right)$

$\Rightarrow b =  \pm \dfrac{3}{4}\sin \alpha  \Rightarrow \left| b \right| = \dfrac{3}{4}.\sqrt {1 - {{\left( { - \dfrac{2}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}$.

Cách 2:

Ta có: $\left| {{z_1}} \right| = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {41}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{3}{4}\\\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} - 1} \right| = \dfrac{{\sqrt {41} }}{4}\end{array} \right.$

$z = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\,\, \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt {41} }}{4}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = \dfrac{9}{{16}}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = \dfrac{{41}}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \dfrac{9}{{16}} - {a^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + \dfrac{9}{{16}} - {a^2} = \dfrac{{41}}{{16}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = \dfrac{5}{{16}}\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\\a =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left| b \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}$.

Chọn: D

Lời giải chi tiết:

Do ${z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}$ lần lượt được biểu diễn bởi các điểm $A,\,\,B,\,\,C$. Gọi $A',\,\,B',C'$ là các điểm đối xứng $A,B,C$ qua $Ox \Rightarrow$ $A',\,\,B',C'$ lần lượt là các điểm biểu diễn số các số phức $\overline {{z_1}} ,\,\,\overline {{z_2}} ,\,\,\overline {{z_3}}$ nên theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC = OA' = OB' = OC' = 3\\\left| {\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC'} } \right| = 3\end{array} \right.$

Gọi $D'$ là trung điểm của $A'B'$ ta có: $\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  = 2\overrightarrow {OD'}  = \overrightarrow {OC'}  \Rightarrow D'$ là trung điểm của $OC'$$\Rightarrow OD = \dfrac{3}{2}$.

Xét tam giác $OA'B'$ ta có: $O{D^2} = \dfrac{{OA{'^2} + OB{'^2}}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{9}{4} = \dfrac{{9 + 9}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4} \Rightarrow A'B' = 3\sqrt 3  = AB$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $OAB$ ta có:

$\cos \angle AOB = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}} = \dfrac{{9 + 9 - 27}}{{2.3.3}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \angle AOB = {120^0}$.

Gọi $D$ là điểm đối xứng $D'$ qua $Ox$. Do $D'$ là trung điểm của $A'B'$ nên $D$ là trung điểm của $AB$.

$D'$ là trung điểm của $OC' \Rightarrow D$ là trung điểm của $OC$.

Xét tứ giác $OACB$ có hai đường chéo $OC,\,\,AB$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow OACB$ là hình bình hành $\Rightarrow \angle ACB = \angle AOB = {120^0}$.

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z = x + yi$. Gọi $A,\,\,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ ta có $AB = 4$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {z - 6} \right)\left( {8 + \overline {zi} } \right) = \left( {x + yi - 6} \right)\left( {8 + \overline {\left( {x + yi} \right)i} } \right) = \left[ {\left( {x - 6} \right) + yi} \right]\left( {8 - xi - y} \right)\\ = \left[ {\left( {x - 6} \right) + yi} \right]\left[ {\left( {8 - y} \right) - xi} \right] = \left( {x - 6} \right)\left( {8 - y} \right) + xy + \left[ {\left( {8 - y} \right)y - \left( {x + 6} \right)x} \right]i\\ = 8x - xy - 48 + 6y + xy - \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 8y} \right)i\\ = 8x + 6y - 48 - \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 8y} \right)i\end{array}$

Theo bài ra ta có ${x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0$.

$\Rightarrow A,B \in \left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 8y = 0$ là đường tròn tâm $\left( {4;3} \right)$ bán kính $R = 5$.

Xét điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = 4\overrightarrow {OM}$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ ta có : $H{I^2} = {R^2} - H{B^2} = 21,\,\,IM = \sqrt {H{I^2} + H{M^2}}  = \sqrt {22}$.

$\Rightarrow$ M thuộc đường tròn $\left( T \right)$ tam $I\left( {3;4} \right)$ bán kính $R' = \sqrt {22}$.

Ta có : $\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {4\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM$

$\Rightarrow {\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = \left| {OI - R'} \right| = 5 - \sqrt {22}$.

Vậy ${\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 4\left( {5 - \sqrt {22} } \right) = 20 - 4\sqrt {22}$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $M,A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z,\,\,{z_1} =  - 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i$

Khi đó,  $\left| {z + 2 - i} \right| - \left| {z - 2 - 3i} \right| = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow MA - MB = 2\sqrt 5$, với $A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {2;3} \right)$

Nhận xét: $AB = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow MA - MB = AB \Rightarrow B$ trên đoạn thẳng $MB$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}t\overrightarrow {AB} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow M\left( {2 + 2t;3 + t} \right)\\ \Rightarrow \left| z \right| = OM = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {3 + t} \right)}^2}}  = \sqrt {5{t^2} + 14t + 13} ,\,\,t \ge 0.\end{array}$

Xét $f\left( t \right) = 5{t^2} + 14t + 13,\,\,t \in \left[ {0; + \infty } \right),\,\,\,\,f'\left( t \right) = 10t + 14 > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)$

$f\left( t \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 13$

$\Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13}  \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow M\left( {2;3} \right)\,\,\,\left( {M \equiv B} \right).$

Chọn: C

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có :

+) $\left| z \right| = 2 \Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm ${I_1}\left( {0;0} \right)$ bán kính ${R_1} = 2$. 

$\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm ${I_2}\left( { - 5; - 2} \right)$ bán kính ${R_2} = 1$.

Đặt  $T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|$

Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z - \overline z  = 2bi$.

$\Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|$.

Gọi $M\left( {0;2b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $2bi$, $N$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

$\Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}$.

Do $\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow  - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow  - 4 \le 2b \le 4$.

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M$ là đoạn $AB$ với $A\left( { - 4;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow M\left( { - 4; - 2} \right),\,\,N\left( {0; - 2} \right)$.

Vậy ${T_{\min }} = 2.4 = 8$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ${\left( {ax + by} \right)^2}\,\, \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Do $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5$ nên ${\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5$

$M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left( {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right) = 4a + 2b + 3 \Rightarrow 4a + 2b + 3 - M = 0$

Để tồn tại số phức z như trên thì M  thỏa mãn điều kiện: đường thẳng $4x + 2y + 3 - M = 0\,\,\left( \Delta  \right)$ và đường tròn ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5$ có điểm chung$\Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R$, với $I\left( {3;4} \right),R = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33$

${M_{\max }} = 33$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y + 3 - 33 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - 2x\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {15 - 2x - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow z = 5 + 5i \Leftrightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow z + i = \sqrt {25 + 36}  = \sqrt {61}$.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\dfrac{z}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{i - a}}{{1 - a\left( {a - 2i} \right)}} \Leftrightarrow z = \dfrac{{i - a}}{{1 - {a^2} + 2ai}}\sqrt {{a^2} + 1} \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{i - a}}{{ - {{\left( {a - i} \right)}^2}}}\sqrt {{a^2} + 1}  \Leftrightarrow z = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{a - i}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} \left( {a + i} \right)}}{{{a^2} - {i^2}}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} \left( {a + i} \right)}}{{{a^2} + 1}} \Leftrightarrow z = \dfrac{{a + i}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}i\end{array}$

$M$ là điểm biểu diễn số phức $z \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }};\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)$.

Ta có ${\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}} = 1 \Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn ${x^2} + {y^2} = 1$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$ bán kính $R = 1$.

Khi đó $I{M_{\min }} = IO - R = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}}  - 1 = 5 - 1 = 4$.

Chọn A

Phương pháp giải:

+) Số phức $z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ có mô đun $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki với hai bộ số $\left( {a;b} \right),\,\,\left( {x;y} \right)$ ta có ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$

+) Dấu “=” xảy ra khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}$

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức $z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$

Theo đề bài $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow \left| {x + 1 + yi} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3$

Ta có $T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = \left| {x + 4 + \left( {y - 1} \right)i} \right| + \left| {x - 2 + \left( {y + 1} \right)i} \right|$

$= \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 ${T^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right)^2}$ $\le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]$

${T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x + 22} \right) = 4\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 10} \right) = 52$ (vì ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3$)

Từ đó $T \le 2\sqrt {13}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 3\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 3} \right)^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y = \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y =  - \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy ${T_{\max }} = 2\sqrt {13} .$

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z,{z_1},{z_2}$.

- Sử dụng phương pháp hình học nhận xét GTNN của $T$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = \left| {z + 3 - 4i} \right| \Leftrightarrow {\left| {z - 1 + 2i} \right|^2} = {\left| {z + 3 - 4i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2x - 3y + 5 = 0\end{array}$  

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $d:2x - 3y + 5 = 0$.

Đặt ${z_1} = {a_1} + {b_1}i,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\,\left( {{a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R}} \right)$  ta có:

$\left| {{z_1} + 5 - 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + 5 - 2i} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + 5} \right)^2} + {\left( {{b_1} - 2} \right)^2} = 4$  nên tập hợp điểm biểu diễn số phức ${z_1}$ là đường tròn tâm $A\left( { - 5;2} \right)$ bán kính $R = 2$.

$\left| {{z_2} - 1 - 6i} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left| {{z_2} - 1 - 6i} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{a_2} - 1} \right)^2} + {\left( {{b_2} - 6} \right)^2} = 4$  nên tập hợp điểm biểu diễn số phức ${z_2}$ là đường tròn tâm $B\left( {1;6} \right)$ bán kính $R = 2$.

Dựng hình:

Gọi điểm ${M_1},{M_2}$ lần lượt biểu diến các số phức ${z_1},{z_2}$ thì:

$T = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| + 4 = M{M_1} + M{M_2} + 4 = \left( {M{M_1} + 2} \right) + \left( {M{M_2} + 2} \right) \ge MA + MB$

Gọi $B'$ đối xứng với $B$ qua $d$ thì $MA + MB = MA + MB' \ge AB'$.

Khi đó $T \ge MA + MB \ge AB'$.

Qua $B\left( {1;6} \right)$ viết phương trình đường thẳng vuông góc với $d:2x - 3y + 5 = 0$ ta được $d':3x + 2y - 15 = 0$.

$H = d \cap d'$ nên $H\left( {\frac{{35}}{{13}};\frac{{45}}{{13}}} \right) \Rightarrow B'\left( {\frac{{57}}{{13}};\frac{{12}}{{13}}} \right) \Rightarrow AB' = \frac{{2\sqrt {3770} }}{{13}}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp hình học.

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$, đường thẳng $x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + \overline z } \right| \ge 12\\\left| {z - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi + x - yi} \right| \ge 12\\\left| {x - yi - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x} \right| \ge 12\\\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  \le 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le  - 6\end{array} \right.\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \le 8\end{array} \right.\end{array}$

Diệnt tích hình (H) là diện tích phần tô đậm hơn.

Ta có ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow y = 3 \pm \sqrt {8 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}$

Vậy $S = 2\int\limits_6^{4 + 2\sqrt 2 } {\left[ {3 + \sqrt {8 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}}  - 3} \right]dx}  \approx 2,28$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chọn điểm rơi: cho số phức ${z_1}$ nhận một giá trị đặc biệt, tìm ${z_2}$ rồi thay vào tìm $T$.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn ${z_1} = 6$ có điểm biểu diễn là $M\left( {6;0} \right)$.

Khi đó $\widehat {MON} = {60^0}$ nên chọn $N\left( {1;\sqrt 3 } \right)$ (hình vẽ) biểu diễn số phức $i{z_2}$

Suy ra điểm $N'\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)$ biểu diễn số phức ${z_2}$ hay ${z_2} = \sqrt 3  - i$.

Khi đó $T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {{6^2} + 9{{\left( {\sqrt 3  - i} \right)}^2}} \right| = 36\sqrt 3$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho số phức $z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.$

Modun của số phức $z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .$

Lời giải chi tiết:

Ta có:  ${\rm{w}} = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} \Rightarrow {\rm{w}}\left( {1 + z} \right) = 4 + iz \Leftrightarrow z\left( {{\rm{w}} - i} \right) = 4 - {\rm{w}}$

$\Rightarrow \sqrt 2 \left| {{\rm{w}} - i} \right| = \left| {4 - {\rm{w}}} \right|.\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt ${\rm{w}} = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 8x - 4y - 14 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 + {y^2} - 4y + 4 - 34 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 34\end{array}$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}}$ là đường tròn tâm $\left( { - 4;\,\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {34} .$

Chọn  A.

Phương pháp giải:

- Đưa các biểu thức trong môđun về dạng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2}$.

- Sử dụng công thức $\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|$.

- Đưa phương trình về dạng tích, chia các trường hợp.

- Đặt $w = a + bi$, suy ra số phức z, biến đổi và tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {{z^2} - 2iz - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2z + 1 + 1} \right| = \left| {{z^2} - 2iz + {i^2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + 1} \right)}^2} - {i^2}} \right| = \left| {{{\left( {z - i} \right)}^2} - {1^2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\left| {z - i + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - i + 1} \right|\left( {\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z - i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - i + 1} \right| = 0\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = i - 1\\\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $z = i - 1 \Rightarrow w = i - 1 + 2 - 4i = 1 - 3i$, khi đó $\left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10}$.

TH2: $\left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|$ (*).

Đặt $w = z + 2 - 4i = a + bi$ $\Rightarrow z = \left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i$.

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b + 4} \right)i - i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 5} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 3} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 5} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2a + 1 + 10b + 25 =  - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a + 4b + 8 = 0\\ \Leftrightarrow a + b + 2 = 0\end{array}$

Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng $d:\,\,x + y + 2 = 0$.

Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức w, $M \in d$.

Khi đó ta có $\left| w \right| = OM \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} = d\left( {O;d} \right)$ $= \dfrac{{\left| {0 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$.

Kết hợp 2 TH ta có ${\left| w \right|_{\min }} = \sqrt 2$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)}}{5} + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right|}}{5} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right) + 5i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 - 4i + 5i} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z - 8 + i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {2 + i} \right|.\left| {z + \dfrac{{ - 8 + i}}{{2 + i}}} \right| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| {z - 3 + 2i} \right| = 3\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( {3; - 2} \right)$ bán kính $R = 3$.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$; $A\left( {0;2} \right);\,\,B\left( {6;2} \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $2i;\,\,6 + 2i$.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $M$ để $MA + MB$ lớn nhất, $M$ chạy trên đường tròn  tâm $I\left( {3; - 2} \right)$ bán kính $R = 3$.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB \Rightarrow N\left( {3;2} \right)$.

Ta có ${\left( {MA + MB} \right)_{\max }} \Leftrightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow MN = NI + R = 4 + 3 = 7$. Khi đó $M\left( {3; - 5} \right)$.

Vậy ${\left( {MA + MB} \right)_{\max }} = 2\sqrt {{3^2} + {7^2}}  = 2\sqrt {58}$.

Chọn C

Phương pháp giải:

- Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức $\overline z$, sử dụng các công thức $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|,\,\,\overline {z + w}  = \overline z  + \overline w$.

- Biểu diễn hình học và tìm GTLN, GTNN của $\left| {\overline z  + 1 + i} \right|$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| {iz - 2i + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {iz - 2i - {i^2}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {z - 2 - i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| i \right|\left| {z - 2 - i} \right| = 1\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {z - 2 - i} \right| = 1 \Rightarrow \left| {\overline {z - 2 - i} } \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\overline z  + \overline { - 2 - i} } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z  - 2 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\overline z  - \left( {2 - i} \right)} \right| = 1\end{array}$.

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\overline z$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {2; - 1} \right)$, bán kính $R = 1$.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $\overline z$, $N\left( { - 1; - 1} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z =  - 1 - i$.

Khi đó ta có: $\left| {\overline z  + 1 + i} \right| = \left| {\overline z  - \left( { - 1 - i} \right)} \right| = MN$ với $M \in \left( C \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M{N_{\min }} = IN - R = 3 - 1 = 2\\M{N_{\max }} = IN + R = 3 + 1 = 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow m = 2,\,\,M = 4$.

Vậy $M + m = 4 + 2 = 6$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Dựa vào từng giả thiết tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$.

- Gọi $M,\,\,A$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $2$, khi đó ta có $\left| {z - 2} \right| = MA$.

- Vẽ hình và tìm vị trí của $M$ để $MA$ lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = a + bi$$\Rightarrow \overline z  = a - bi.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {z - 3 - 3i} \right)\left( {\overline z  - 3 + 3i} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left[ {a - 3 + \left( {b - 3} \right)i} \right]\left[ {a - 3 - \left( {b - 3} \right)i} \right] = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} - \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)i + \left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)i + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {3;3} \right)$, bán kính $R = 1$.

Lại theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {\overline z  + 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a - \left( {b - 2} \right)i} \right| \le \left| {a + \left( {b - 4} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \le {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4b + 4 \le {a^2} + {b^2} - 8b + 16\\ \Leftrightarrow 4b \le 12\\ \Leftrightarrow b \le 3\end{array}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $y = 3$ chứa trục $Ox$ (Tính cả bờ).

Gọi $M,\,\,A$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $2$, khi đó ta có $\left| {z - 2} \right| = MA$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{A_{\max }} \Leftrightarrow M\left( {4;3} \right)$. Khi đó $MA = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13}$.

Chọn A.