Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$, nhận xét dấu của f(x) trên [a; b] và phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$

Mặt khác $f\left( x \right) < 0;\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow S =  - \,\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc [-1;2].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$, chia đoạn [-1;2] thành các đoạn nhỏ và tính diện tích hình phẳng

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0\, \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr   x = 2 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr}  \right.$

Do đó diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int\limits_{ - \,1}^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,1}^0 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}$

$= \left| {\int\limits_{ - \,1}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - \,1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - {x^2}} \right)} \right|_0^2} \right| = {4 \over 3} + {4 \over 3} = {8 \over 3}.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$.

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   \sin 0 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr   x = \pi  \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr}  \right.$

Diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int\limits_0^\pi  {\left| {x.\sin x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^\pi  {x.\sin x\,{\rm{d}}x}$ ($x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x\sin x > 0$).

Đặt $\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - \,\cos x \hfill \cr}  \right.\,\, \Rightarrow \,\,S =  - \,\left. {x.\cos x} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {\cos x\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\sin x - x.\cos x} \right)} \right|_0^\pi  = \pi$

Vậy $S = \pi \, \Rightarrow \,\,\cos 2S = \cos 2\pi  = 1.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|\text{d}x}.$

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right)\text{d}x}.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}.$

$=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( \sqrt{2+\sin x} \right)}^{2}}\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2 \right)\,\text{d}x}=\pi \left. \left( 2x-\cos x \right) \right|_{0}^{\pi }=\pi \left( 2\pi +1 \right)+\pi =2\pi \left( \pi +1 \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích $V$ cần tìm là $V=\pi \,\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$

Lời giải chi tiết:

Do $\sin x + 1 \ge 0;\,\,\forall x \in R$, suy ra diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^{{{7\pi } \over 6}} {\left| {\sin x + 1} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{{{7\pi } \over 6}} {\left( {\sin x + 1} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( { - \cos x + x} \right)} \right|_0^{{{7\pi } \over 6}} = {{\sqrt 3 } \over 2} + {{7\pi } \over 6} + 1.$

Mặt khác $S = {{\sqrt 3 } \over a} + {{7\pi } \over b} + c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in Z} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b = 6 \hfill \cr   c = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow T = 3.2 + 2.6 + 1 = 19.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \matrix{  y = f\left( x \right),\,\,y = 0 \hfill \cr   x =  - \,1,\,\,x = 1 \hfill \cr}  \right.$ là $S = \int\limits_{ - \,1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} .$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), x = a, x = b là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$, lưu ý dấu của f(x) trên mỗi đoạn xác định.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy trên đoạn $\left\{ \matrix{  x \in \left[ { - \,2;0} \right]\,\, \Rightarrow \,\,f\left( x \right) \ge 0 \hfill \cr   x \in \left[ {0;1} \right]\,\, \Rightarrow f\left( x \right) \le 0 \hfill \cr}  \right..$

Khi đó $S = \int\limits_{ - \,2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{2}}x\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)\,\text{d}x}.$

$=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\pi \left( \sqrt{3}-\frac{\pi }{3} \right)=\pi \left( a-\frac{\pi }{3} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align}  & a=\sqrt{3} \\ & b=3 \\\end{align} \right..$

Vậy $T={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+2.3=9.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt}$

Lời giải chi tiết:

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ tư đến giây thứ 10 là:

$S = \int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)dt}  = \left. {\left( {{t^3} + 5t} \right)} \right|_4^{10} = 1050 - 84 = 966\,\,\left( m \right)$

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức $S = \int\limits_{}^{} {v\left( t \right)dt}$

+) Sử dụng giả thiết $S\left( 2 \right) = 10$ để tìm hằng số C.

+) Tính S(30) 

Lời giải chi tiết:

Quãng đường đi được tại thời gian t là $S = \int\limits_{}^{} {\left( {3t + 2} \right)dt}  = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + C$

Mà $S\left( 2 \right) = 10 \Rightarrow 6 + 4 + C = 10 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t$

Tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là $S\left( {30} \right) = \frac{{{{3.30}^2}}}{2} + 2.30 = 1410\,\,\left( m \right)$

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức $v\left( t \right) = \left( {S\left( t \right)} \right)',\,a\left( t \right) = \left( {v\left( t \right)} \right)'$

+) Tính a(2).

Lời giải chi tiết:

Vận tốc tại thời điểm t là: $v\left( t \right) = \left( {S\left( t \right)} \right)' = 3{t^2} - 6t + 4$

Gia tốc tại thời điểm t là : $a\left( t \right) = \left( {v\left( t \right)} \right)' = 6t - 6$

Suy ra gia tốc tại thời điểm t = 2s là $a\left( 2 \right) = 6.2 - 6 = 6\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số tìm ra các cận x = a và x = b.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),x=a,x=b$ quanh trục Ox là: $V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của hai parabol là ${{x}^{2}}-4x+6=-\,{{x}^{2}}-2x+6\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\ & x=1 \\\end{align} \right..$

Thể tích vật tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{\left( {{x}^{2}}-4x+6 \right)}^{2}}-{{\left( -\,{{x}^{2}}-2x+6 \right)}^{2}} \right|\text{d}x}$

$=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 12{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+24x \right)\text{d}x}=\pi \left. \left( 3{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=3\pi .$

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$

+) Sử dụng giả thiết $v\left( 0 \right) = 5$ để tìm hằng số C.

+) Tính v(10) = ?

Lời giải chi tiết:

Ta có $v\left( t \right) = \int {\dfrac{2}{{t + 1}}dt}  = 2\ln \left( {t + 1} \right) + C$

Mà vận tốc ban đầu là 5 m/s, tức là $v\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow 2\ln \left( {0 + 1} \right) + C = 5 \Leftrightarrow C = 5 \Rightarrow v\left( t \right) = 2\ln \left( {t + 1} \right) + 5$

Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là $v\left( {10} \right) = 2\ln 11 + 5 \approx 10\,\,\left( {m/s} \right)$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích của vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a;\ \ x=b\ \ \left( a<b \right)$  khi quay quanh trục Ox là: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.$

Lời giải chi tiết:

Theo lý thuyết, chọn đáp án D.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x=a;x=b$ là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành là: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\,y = g\left( x \right),\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ quanh trục Ox là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} dx$

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ xung quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Tính thời điểm mà vật dừng lại $\left( {v\left( t \right) = 0} \right)$.

+) Sử dụng công thức $S = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt}$

Lời giải chi tiết:

Khi vật dừng lại ta có $v\left( t \right) = 160 - 10t = 0 \Rightarrow t = 16\,\,\left( s \right)$

Vậy quãng đường mà vật chuyển động từ thởi điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại là $S = \int\limits_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt}  = 1280\,\,\left( m \right)$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm suy ra các nghiệm $x=a;\,\,x=b$ , khi đó diện tích cần tính là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$ .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:$2x+1={{x}^{2}}-x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow S=\int\limits_{1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-x+3-2x-1 \right|dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|dx}$, sử dụng MTCT ta có:

Vậy $S=\frac{1}{6}.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích $m = \dfrac{4}{3}$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $m = \dfrac{1}{3}$ tại các điểm $m = 1$ có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x < 0$ tại điểm có hoành độ $0$ là$2$ là : $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích $m = \dfrac{4}{3}$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $m = \dfrac{1}{3}$ tại các điểm $m = 1$ có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $\ln \left( {{x^2} + 3x + 1} \right) + {x^2} + 3x < 0$ tại điểm có hoành độ $0$ là$2$ là : $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$và các đường thẳng $x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$và các đường thẳng $x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng $x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)$ và các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.}$

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} - x;$ $y = 2x - 2;$ $x = 0;$ $x = 3$ được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - x - \left( {2x - 2} \right)} \right|dx}$ $= \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx.}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng $x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)$ và các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.}$

Lời giải chi tiết:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =  - {x^2} + 2x,\,\,y =  - 3,\,\,x = 1,\,\,x = 2$ được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 2x + 3} \right|dx}$ $= \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)dx}$

Chọn C.