25 bài tập ứng dụng tích phân trong hình học mức độ nhận biết

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]f(x)<0;x[a;b]. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b. Khẳng định nào dưới đây sai ? 

  • A S=baf(x)dx.
  • B S=baf(x)dx.
  • C S=ba|f(x)|dx.
  • D S=|baf(x)dx|.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx, nhận xét dấu của f(x) trên [a; b] và phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Mặt khác f(x)<0;x[a;b]S=baf(x)dx.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi x=1;x=2;y=0;y=x22x.

  • A S=83.
  • B S=43.
  • C S=23.
  • D S=163.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc [-1;2].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx, chia đoạn [-1;2] thành các đoạn nhỏ và tính diện tích hình phẳng

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm x22x=0[x=0[1;2]x=2[1;2]

Do đó diện tích hình phẳng cần tính là S=21|x22x|dx=01|x22x|dx+20|x22x|dx

=|01(x22x)dx|+|20(x22x)dx|=|(x33x2)|01|+|(x33x2)|20|=43+43=83.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Kí hiệu S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=xsinx,y=0x=0,x=π. Khẳng định nào dưới đây đúng ?

  • A tanS3=1.
  • B cosS2=1.
  • C sinS=1.
  • D cos2S=1.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc [0;π].

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm xsinx=0[x=0sin0=0[x=0[0;π]x=π[0;π]

Diện tích hình phẳng cần tính là S=π0|x.sinx|dx=π0x.sinxdx (x[0;π]xsinx>0).

Đặt {u=xdv=sinxdx{du=dxv=cosxS=x.cosx|π0+π0cosxdx=(sinxx.cosx)|π0=π

Vậy S=πcos2S=cos2π=1.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào ?

  • A V=ba[f(x)g(x)]2dx.                                       
  • B  V=π.ba|f2(x)g2(x)|dx.            
  • C V=π.ba[f(x)g(x])2dx.                                       
  • D  V=π.ba|f(x)g(x)|dx.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),y=g(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.ba|f2(x)g2(x)|dx.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức V=π.ba(f2(x)g2(x))dx.

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y=2+sinx, trục hoành và các đường thẳng x=0,x=π. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

  • A  V=2(π+1).                                      
  • B V=2π(π+1).                                          
  • C   V=2π2.       
  • D  V=2π.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức V=ππ0f2(x)dx.

=ππ0(2+sinx)2dx=ππ0(sinx+2)dx=π(2xcosx)|π0=π(2π+1)+π=2π(π+1).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b).

  • A V=πbaf2(x)dx.          
  • B  V=baf2(x)dx.                        
  • C V=πbaf(x)dx.                              
  • D  V=ba|f(x)|dx.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích V cần tìm là V=πbaf2(x)dx.

 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx+1;x=0;x=7π6 và trục hoành là S được biển diễn dưới dạng 3a+7πb+c, với a,b,cZ. Tính tổng T=3a+2b+c.

  • A T=10
  • B T=19
  • C T=12
  • D T=15

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Lời giải chi tiết:

Do sinx+10;xR, suy ra diện tích cần tính là:

S=7π60|sinx+1|dx=7π60(sinx+1)dx=(cosx+x)|7π60=32+7π6+1.

Mặt khác S=3a+7πb+c(a,b,cZ){a=2b=6c=1T=3.2+2.6+1=19.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(1)>0>f(0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),y=0,x=1x=1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

  • A S=11f(x)dx.
  • B S=01f(x)dx+10|f(x)|dx.
  • C S=|11f(x)dx|.
  • D S=11|f(x)|dx.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x),y=0,x=a,x=bS=ba|f(x)|dx

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi {y=f(x),y=0x=1,x=1S=11|f(x)|dx.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng phần tô đậm trong hình vẽ là 

  • A S=02f(x)dx+20f(x)dx.        
  • B S=20f(x)dx+10f(x)dx.
  • C S=02f(x)dx10f(x)dx.        
  • D S=12f(x)dx.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), x = a, x = b là S=ba|f(x)|dx, lưu ý dấu của f(x) trên mỗi đoạn xác định.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy trên đoạn {x[2;0]f(x)0x[0;1]f(x)0.

Khi đó S=12|f(x)|dx=02|f(x)|dx+10|f(x)|dx=02f(x)dx10f(x)dx.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hình phẳng giới hạn bởi D={y=tanx;y=0;x=0;x=π3}. Thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh trục OxV=π(aπb), với a,bR. Tính T=a2+2b.

  • A T=6.                            
  • B    T=9.                           
  • C T=12.                           
  • D T=3.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật tròn xoay cần tính là V=ππ30tan2xdx=ππ30(1cos2x1)dx.

=π(tanxx)|π30=π(3π3)=π(aπ3){a=3b=3.

Vậy T=(3)2+2.3=9.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là v(t)=3t2+5(m/s). Quãng đường máy bay bay từ giây thứ tư đến giây thứ 10 là:

  • A 36m                             
  • B \(252m\)                             
  • C    1134m                               
  • D 966m

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức S=t2t1v(t)dt

Lời giải chi tiết:

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ tư đến giây thứ 10 là:

S=104(3t2+5)dt=(t3+5t)|104=105084=966(m)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t)=3t+2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm t=2s thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t=30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

  • A 1410m                     
  • B   1140m                             
  • C   300m                                
  • D  240m

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức S=v(t)dt

+) Sử dụng giả thiết S(2)=10 để tìm hằng số C.

+) Tính S(30) 

Lời giải chi tiết:

Quãng đường đi được tại thời gian t là S=(3t+2)dt=3t22+2t+C

S(2)=106+4+C=10C=0S(t)=3t22+2t

Tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là S(30)=3.3022+2.30=1410(m)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình S(t)=t33t2+4t  trong đó t tính bằng giây (s), S tính bằng mét (m). Gia tốc của xe máy lúc t=2s bằng:

  • A 4 m/s2                     
  • B  6 m/s2                 
  • C 8 m/s2                        
  • D 12 m/s2

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức v(t)=(S(t)),a(t)=(v(t))

+) Tính a(2).

Lời giải chi tiết:

Vận tốc tại thời điểm t là: v(t)=(S(t))=3t26t+4

Gia tốc tại thời điểm t là : a(t)=(v(t))=6t6

Suy ra gia tốc tại thời điểm t = 2s là a(2)=6.26=6(m/s2)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tính thể tích khi S={y=x24x+6;y=x22x+6} quay quanh trục Ox.

  • A V=3.
  • B V=π3.   
  • C V=π.
  • D  V=3π.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số tìm ra các cận x = a và x = b.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),x=a,x=b quanh trục Ox là: V=π.baf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của hai parabol là x24x+6=x22x+6[x=0x=1.

Thể tích vật tròn xoay cần tính là V=π10|(x24x+6)2(x22x+6)2|dx

=π10(12x336x2+24x)dx=π(3x412x3+12x2)|10=3π.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m/s và có gia tốc được xác định bởi công thức a=2t+1(m/s2). Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

  • A 10 m/s                   
  • B  9 m/s                                   
  • C 11 m/s                                 
  • D 12 m/s

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức v(t)=a(t)dt

+) Sử dụng giả thiết v(0)=5 để tìm hằng số C.

+) Tính v(10) = ?

Lời giải chi tiết:

Ta có v(t)=2t+1dt=2ln(t+1)+C

Mà vận tốc ban đầu là 5 m/s, tức là v(0)=52ln(0+1)+C=5C=5v(t)=2ln(t+1)+5

Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là v(10)=2ln11+510(m/s)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a;  x=b (a<b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

  • A V=2πbaf2(x)dx 
  • B V=π2baf2(x)dx                 
  • C V=π2baf(x)dx                  
  • D V=πbaf2(x)dx

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thể tích của vật tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a;  x=b  (a<b)  khi quay quanh trục Ox là: V=πbaf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Theo lý thuyết, chọn đáp án D.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b). Thể tích của khối của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

  • A V=πbaf2(x)dx              
  • B V=2πbaf2(x)dx              
  • C    V=π2baf2(x)dx     
  • D V=π2baf(x)dx

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x=a;x=bV=πbaf2(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V=πbaf2(x)dx

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b) xung quanh trục Ox?

  • A V=baf2(x)dx        
  • B V=πbaf2(x)dx
  • C

    V=πbaf(x)dx

  • D V=ba|f(x)|dx

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x),x=a,x=b(a<b) quanh trục Ox là: V=πba[f2(x)g2(x)]dx

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b) xung quanh trục Ox là: V=πbaf2(x)dx

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=16010t(m/s). Quãng đường mà vật chuyển động từ thởi điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại là:

  • A 1028m                      
  • B   1280m                             
  • C   1308m                                
  • D \(1380m\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tính thời điểm mà vật dừng lại (v(t)=0).

+) Sử dụng công thức S=t2t1v(t)dt

Lời giải chi tiết:

Khi vật dừng lại ta có v(t)=16010t=0t=16(s)

Vậy quãng đường mà vật chuyển động từ thởi điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại là S=160(16010t)dt=1280(m)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=2x+1 và đồ thị hàm số y=x2x+3

  • A
     S=17                             
  • B  S=18                              
  • C  S=16                    
  • D  S=16

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm suy ra các nghiệm x=a;x=b , khi đó diện tích cần tính là S=ba|f(x)g(x)|dx .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:2x+1=x2x+3x23x+2=0[x=1x=2

S=21|x2x+32x1|dx=21|x23x+2|dx, sử dụng MTCT ta có:

Vậy S=16.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b) là:

  • A S=ab|f(x)|dx               
  • B   S=baf(x)dx                  
  • C         S=ba|f(x)|dx                  
  • D S=abf(x)dx

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b(a<b)S=ba|f(x)|dx.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x=a,x=b(a<b)có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(axb)S(x).

  • A V=π2ba|S(x)|dx
  • B V=baS(x)dx
  • C V=πbaS(x)dx
  • D V=πbaS2(x)dx

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích m=43 của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục m=13 tại các điểm m=1 có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ln(x2+3x+1)+x2+3x<0 tại điểm có hoành độ 02 là : V=baS(x)dx.

Lời giải chi tiết:

Công thức tính thể tích m=43 của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục m=13 tại các điểm m=1 có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ln(x2+3x+1)+x2+3x<0 tại điểm có hoành độ 02 là : V=baS(x)dx.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x),y=g(x)và các đường thẳng x=a,x=b(a<b).

  • A ba|f(x)g(x)|dx
  • B ba|f2(x)g2(x)|dx
  • C |ba[f(x)g(x)]dx|
  • D ba[f(x)g(x)]dx

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x)và các đường thẳng x=a,x=b(a<b) là: S=ba|f(x)g(x)|dx.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y=g(x)và các đường thẳng x=a,x=b(a<b) là: S=ba|f(x)g(x)|dx.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2x, y=2x2, x=0, x=3 được tính bởi công thức:

  • A S=|30(x23x+2)dx|
  • B S=21|x23x+2|dx
  • C S=30|x23x+2|dx
  • D S=21|x2+x2|dx

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x=a,x=b(a<b) và các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) là: S=ba|f(x)g(x)|dx.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2x; y=2x2; x=0; x=3 được tính bởi công thức:

S=30|x2x(2x2)|dx =30|x23x+2|dx.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+2x,y=3,x=1,x=2 được tính bởi công thức nào dưới đây?

  • A S=π21(x2+2x+3)2dx
  • B S=21(x2+2x3)dx
  • C S=21(x2+2x+3)dx
  • D S=21(x22x3)dx

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x=a,x=b(a<b) và các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) là: S=ba|f(x)g(x)|dx.

Lời giải chi tiết:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+2x,y=3,x=1,x=2 được tính bởi công thức:

S=21|x2+2x+3|dx =21(x2+2x+3)dx

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.