50 bài tập phương trình mặt cầu mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ  \(Oxyz\), cho các điểm  \(A\left( {1,2, - 4} \right);{\text{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\text{ và   }} C\left( {2,2,3} \right)\). Mặt cầu (S)  đi qua  A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy)  có bán kính là :

  • A \(\sqrt {34} \)
  • B \(\sqrt {26} \)
  • C \(34\)
  • D \(26\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Tâm I thuộc mặt phẳng \(\left( {xOy} \right):{\text{ }}z = 0\)  nên ta có \(z = 0\) . Suy ra, giả sử \(I\left( {x,y,0} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\)  qua \(A,{\text{ }}B,{\text{ }}C\) nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}&{}\\{I{B^2} = I{C^2}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(4)}^2} = {{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2}}&{}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2} = {{(x - 2)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(3)}^2}}&{}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1}&{}\\{ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 10y = - 10}&{}\\{2x + 10y = 6}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}&{}\\{x = - 2}&{}\end{array}} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2,1,0} \right)\).

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm \(M\left( 2;2;2 \right),\) \(N\left( 4;0;2 \right),\) \(P\left( 4;2;0 \right),\) \(Q\left( 4;2;2 \right)\)  thì tâm I của (S) có tọa độ là :

  • A \(\left( -1;-1;0 \right)\)                         
  • B  \(\left( 3;1;1 \right)\)                          
  • C \(\left( 1;1;1 \right)\)                           
  • D  \(\left( 1;2;1 \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)\)

Thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu, suy ra hệ bốn phương trình bốn ẩn a, b, c, d. Giải hệ phương trình và suy ra tọa độ tâm \(I\left( -a;-b;-c \right)\) của mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)\)

Vì \(M,N,P,Q\in \left( S \right)\Rightarrow \) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {2^2} + {2^2} + 4a + 4b + 4c + d = 0\,\,\\{4^2} + {0^2} + {2^2} + 8a + 4c + d = 0\,\,\\{4^2} + {2^2} + {0^2} + 8a + 4b + d = 0\,\,\\{4^2} + {2^2} + {2^2} + 8a + 4b + 4c + d = 0\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b =  - 1\\c =  - 1\\d = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;1;1} \right)\) là tâm của mặt cầu.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 2;1;-1 \right)\), tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Phương trình mặt cầu (S) là:

  • A \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4\)                              
  • B  \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1\)
  • C  \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4\)                              

     

  • D \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=81\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Oyz).

Lời giải chi tiết:

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên bán kính của mặt cầu \(R=\left| {{x}_{I}} \right|=2\)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\). Phương trình mặt phẳng \((Q)\)chứa trục Ox và cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là

  • A  \((Q):\,\,2y+z=0\).                  
  • B  \((Q):\,\,2x-z=0\).                   
  • C  \((Q):\,\,y-2z=0\).                   
  • D  \((Q):\,\,2y-z=0\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\({{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\)

Trong đó,

\(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

\(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

\(R\): bán kính hình cầu.

Lời giải chi tiết:

\((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9\)

\(\Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I(3;-2;1)\), bán kính \(R=3\).

\((Q)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(r=2\)

Ta có:  \({{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+{{2}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow d=\sqrt{5}\)

Gọi \(\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của (Q). Khi đó \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với VTCP \(\overrightarrow{u}(1;0;0)\)của Ox  \(\Rightarrow 1.a+0.b+0.c=0\Leftrightarrow a=0\)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT \(\overrightarrow{n}(0;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là:

\(0.(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow by+cz=0\)

Khoảng cách từ tâm I đến (Q):

\(d=\frac{\left| b.(-2)+c.1 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{5}\Rightarrow {{\left( 2b-c \right)}^{2}}=5({{b}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4bc+4{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(b+2c)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2c\)

Cho \(c=-1\Rightarrow b=2\Rightarrow \overrightarrow{n}(0;2;-1)\). Phương trình mặt phẳng (Q): \(2y-z=0\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C (không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện : tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối OABC bằng \(\frac{3}{2}\). Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng 

  • A 3
  • B 2
  • C 4
  • D 1

Đáp án: B

Phương pháp giải:

 Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi. 

Lời giải chi tiết:

 

Kẻ \(OH\bot AB\,\,\left( H\in AB \right);\,\,OK\bot Ch\,\,\left( K\in CH \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot OH\\
AB \bot OC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OK\\
\left\{ \begin{array}{l}
OK \bot AB\\
OK \bot CH
\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {ABC} \right)
\end{array}\)

Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính OK.

Gọi \(A\left( a;0;0 \right);\,\,B\left( 0;b;0 \right);\,\,C\left( 0;0;c \right)\) ta có \({{V}_{ABC}}=\frac{1}{6}abc\). \(\begin{align} & \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( bc;ac;ab \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ABC}}}{{{V}_{OABC}}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{\frac{1}{6}abc}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}abc \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \end{align}\)

Xét tam giác vuông OCK có \(\frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow OK=2\)

Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2.

Chọn B.


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\)\(B\left( {4; - 7; - 9} \right)\), tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn  \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\) là mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\) bằng:

  • A \(T = 9\)
  • B \(T = 13\)
  • C \(T = 15\)
  • D \(T = 18\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\).

- Tính lần lượt các độ dài đoạn \(M{A^2};M{B^2}\) , sử dụng công thức \(M{A^2} = {\left( {{x_M} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_M} - {z_A}} \right)^2}\).

- Biểu thức tìm được có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 2,\,\,b =  - 1,\,\,c =  - 1\) , bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3}  = \sqrt 3 \).

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:

  • A \(3\)
  • B \(5\)
  • C \(\sqrt 3 \)
  • D \(\sqrt {23} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách hai điểm trong không gian.

- Thay các khoảng cách vào giả thiết rồi đưa phương trình về phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right);M\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2}\\M{C^2} = {x^2} + {y^2}{\left( {z - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6x - 6y - 6z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\end{array}\)

\( \Rightarrow R = \sqrt 3 \)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\) thuộc \(\Delta \) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(H\left( {1; - 1;0} \right)\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:

  • A \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)
  • B \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)
  • C \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
  • D \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in \Delta \) theo tham số \(t\).

- Tính khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,Ax + By + Cz + D = 0\): \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

- Tính độ dài đoạn thẳng \(IH\): \(IH = \sqrt {{{\left( {{x_H} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_H} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_H} - {z_I}} \right)}^2}} \) .

- Giải phương trình \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R\) tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(I \in \Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) nên ta gọi \(I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)\).

Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) tại điểm \(H\left( {1; - 1;0} \right)\) nên ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5} \\ \Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30\\ \Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(R = IH = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho\(A\left( {2;0;4} \right)\) và \(B\left( {0; - 6;0} \right)\), M là điểm bất kì thỏa mãn \(3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{{280}}A{B^2}\). Khi đó M thuộc mặt cầu có bán kính là giá trị nào dưới đây?

  • A \(3\)
  • B \(9\)
  • C \(\sqrt {56} \)
  • D \(56\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xét điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm I.

- Phân tích đẳng thức đề bài cho bằng cách chèn điểm I. Từ đó tính được MI.

- Kết luận M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính MI không đổi.

Lời giải chi tiết:

Xét điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) + 2\left( {0 - x} \right) = 0\\3\left( {0 - y} \right) + 2\left( { - 6 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( {0 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y =  - \dfrac{{12}}{5}\\z = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\).

Mà \(A{B^2} = {2^2} + {6^2} = {4^2} = 56\).

Xét

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + \dfrac{{672}}{{25}} + \dfrac{{1008}}{{25}} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = 9 \Leftrightarrow MI = 3.\end{array}\)

Vậy M luôn chạy trên mặt cầu tâm \(I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)\), bán kính R = MI = 3.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 9\). Từ điểm A(4;0;1) nằm ngoài mặt cầu, kẻ một tiếp tuyến bất kì đến (S) với tiếp điểm M. Tập hợp điểm M là đường tròn có bán kính bằng:

  • A \(\dfrac{3}{2}\)
  • B \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
  • C \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
  • D \(\dfrac{5}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;4), bán kính R = 3.

Gọi H là giao điểm của IA là mặt phẳng chứa đường tròn là tập hợp các điểm M. Khi đó H là tâm đường tròn tập hợp tiếp điểm, bán kính r = HM.

Ta có: \(IA = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuong IAM có: \(AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}}  = \sqrt {18 - 9}  = 3\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông IAM có: \(MH = \dfrac{{IM.AM}}{{IA}} = \dfrac{{3.3}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) và \(\left( {{S_2}} \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

  • A \(\dfrac{7}{4}\)
  • B \( - \dfrac{1}{4}\)
  • C \(\dfrac{{10}}{3}\)
  • D \(1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng giao tuyến.

+) Tâm của đường tròn giao tuyến là giao điểm của \({I_1}{I_2}\) và mặt phẳng giao tuyến với \({I_1},\,\,{I_2}\) lần lượt là tâm của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng giao tuyến của 2 mặt cầu là

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {y - 2} \right)^2} - {\left( {z + 1} \right)^2} = 16 - 9\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 - 2y + 1 - 4z + 4 - 2x - 1 + 4y - 4 - 2z - 1 = 7\\ \Leftrightarrow  - 4x + 2y - 6z - 7 = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y + 6z + 7 = 0\,\,\left( P \right)\end{array}\)

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;1;2} \right)\), bán kính \({R_1} = 4\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \({I_1}\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow \Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{6}\).

Gọi \(I = \left( P \right) \cap \Delta  \Rightarrow I\left( {1 + 4t;1 - 2t;2 + 6t} \right)\).

\(I \in \left( P \right) \Rightarrow 4\left( {1 + 4t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 6\left( {2 + 6t} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow 56t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{3}{8}\).

\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right) \Rightarrow a + b + c =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{4} = 1\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}\). Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat{AMB}={{60}^{0}};\,\,\widehat{BMC}={{90}^{0}};\,\widehat{CMA}={{120}^{0}}\) có dạng \(M\left( a;b;c \right)\) với \(a<0\). Tổng \(a+b+c\) bằng:          

  • A 2
  • B -2
  • C 1
  • D  \(\frac{10}{3}\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính độ dài đoạn thẳng IM với I là tâm mặt cầu.

Tham số hóa tọa độ điểm M, sau đó dựa vào độ dài IM để tìm điểm M.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;2;-3 \right)\), bán kính \(R=3\sqrt{3}\)

Đặt \(MA=MB=MC=a\).

Tam giác \(MAB\) đều \(\Rightarrow AB=a\)

Tam giác \(MBC\) vuông tại M \(\Rightarrow BC=a\sqrt{2}\)

Tam giác \(MCA\) có \(\widehat{CMA}={{120}^{0}}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B \(\Rightarrow \Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn nhỏ có đường kính \(AC\)\(\Rightarrow HA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông \(IAM\) có:

\(\frac{1}{H{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{I{{A}^{2}}}\Rightarrow \frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{27}\Leftrightarrow a=3=MA\)

 

\(\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}={{3}^{2}}+27=36\)

\(\begin{array}{l}
M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + t; - 2 + t;1 + t} \right) \Leftrightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\
\Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = \frac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( { - 1; - 2;1} \right)\\
M\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = - 2\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 2
\end{array}\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(A\left( {0;0;2} \right),\,\,B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( S \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(\dfrac{3}{4}\)
  • C \(\dfrac{{21}}{4}\)
  • D \(\dfrac{{19}}{4}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \), xác định tọa độ điểm \(I\).

+) Biến đổi biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách chèn điểm \(I\).

+) Tìm vị trí của \(M\) trên \(\left( S \right)\) để \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất và tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2 - 2a = 0\\ - b + 2 - 2b = 0\\2 - c - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = \dfrac{2}{3}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA}  + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}\\ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\\I{B^2} = {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4\) không đổi \( \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),\,\,M \in \left( S \right)\).

Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) .

Vậy \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3MI_{\min }^2 + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0; - 4} \right)\). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

  • A \(116\pi .\)
  • B \(29\pi .\)
  • C \(16\pi \)
  • D \(\dfrac{{29\pi }}{4}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\).

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{O^2} = I{B^2}\\I{O^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) tìm tọa độ điểm \(I\).

- Tính bán kính mặt cầu \(R = OI\).

- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\)\( \Rightarrow I{O^2} = I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {z + 4} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 9 = 0\\4y + 4 = 0\\8z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\y =  - 1\\z =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2}; - 1;2} \right)\). Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(R = IO = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 1 + 4}  = \sqrt {\dfrac{{29}}{4}} \).

Váy diện tích cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{29}}{4} = 29\pi .\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Gọi S là tổng diện tích của ba hình tròn đó. Khi đó S bằng:

  • A   \(32\pi \).                               
  • B \(36\pi \).                                
  • C \(38\pi \).                                
  • D \(16\pi \).

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

 

\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {1; - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Gọi M, N, P là các hình chiếu vuông góc của I lên 3 mặt phẳng;  \({r_1};{r_2};{r_3}\) là bán kính của đường tròn giao tuyến tương ứng.

Khi đó, A, I, P, N là 4 đỉnh của một hình hộp chữ nhật, ta có: \(I{M^2} + I{P^2} + I{N^2} = I{A^2} = {0^2} + {3^2} + {1^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow {R^2} - r_1^2 + {R^2} - r_2^2 + {R^2} - r_3^2 = 10 \Leftrightarrow 3.16 - \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = 10 \Leftrightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = 38\)

Tổng diện tích của ba hình tròn đó là: \(S = \pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = 38\pi \).

Chọn: C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) có phương trình:

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 10 = 0\).
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z + 18 = 0\).
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 10 = 0\).
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 18 = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính \(IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \) là độ dài bán kính mặt cầu.

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I\left( {1; - 2;3} \right);\,\,A\left( { - 1;2;1} \right)\)\( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {24} .\)

Vì mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) nên bán kính của mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {24} \).

Mặt cầu có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right);\,\,R = \sqrt {24} \) có phương trình là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 24\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 10 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và hai điểm \(M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).\) Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM+EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E.\)

  • A  \(x-2y+2z+8=0.\) 
  • B \(2x+y-2z-9=0.\) 
  • C \(2x+2y+z+1=0.\) 
  • D \(2x-2y+z+9=0.\) 

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất 

Lời giải chi tiết:

Xét mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right),\) bán kính \(R=3.\)

Ta có \(MI=NI=3\sqrt{5}>3=R\)\(\Rightarrow \,\,M,\,\,N\) nằm bên ngoài khối cầu \(\left( S \right).\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)\) và \(E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.\)

Lại có \({{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)\).

Để \({{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}\)

Khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(IH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).\)

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(2x-2y+z+9=0.\)

Chọn D


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{3}\). Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {5;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với 

  • A  \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 56\).  
  • B  \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 54\).
  • C  \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt {56} \).  
  • D \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 110\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian:

      \(d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) , với \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(\Delta \) và M là điểm bất kì thuộc \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {1; - 3;5} \right) \in d\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} \left( {4;4; - 6} \right)\).

Đường thẳng d có 1 VTCP : \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)  \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6; - 24; - 12} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {{24}^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {54} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {5;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với d có bán kính \(R = d\left( {I;d} \right) = \sqrt {54} \) có phương trình là:

\({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 54\).

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {7; - 2;2} \right)\) và \(B\left( {1;2;4} \right)\). Phương trình nào dưới đây

là  phương trình mặt cầu đường kính \(AB?\)

  • A \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\sqrt {14} \)
  • B \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14\)
  • C \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 56\)
  • D \({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 14\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) nhận trung điểm \(I\) của \(AB\) làm tâm và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\)

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.\)  suy ra \(I\left( {4;0;3} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt {14} \)

Mặt cầu đường kính \(AB\) nhận trung điểm \(I\left( {4;0;3} \right)\) của \(AB\) làm tâm và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14\) .

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hai hàm số \(y = {x^2} + x - 1\) và \(y = {x^3} + 2{x^2} + mx - 3\). Giá trị của tham số \(m\) để đồ thị của hai hàm số có 3 giao điểm phân biệt và 3 giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng 3 thuộc vào khoảng nào dưới đây?

  • A \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\).
  • B \(\left( { - 4; - 2} \right)\).
  • C \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D \(\left( { - 2;0} \right)\).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} + 2{x^2} + mx - 3 = {x^2} + x - 1 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2 = 0\).

Đặt

\(\begin{array}{l}y = {x^2} + x - 1 \Rightarrow {y^2} = {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2}\\ = {x^4} + {x^2} + 1 + 2{x^3} - 2{x^2} - 2x = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1\end{array}\)

Chia \({y^2}\) cho \(g\left( x \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{y^2} = g\left( x \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 3\\ \Rightarrow {y^2} =  - m{x^2} - {x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + m\left( {y - x + 1} \right) + \left( {m - 1} \right)x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x + my + m - 3 = 0\,\,\,\left( C \right)\end{array}\)

\(\left( C \right)\) có bán kính bằng 3 (gt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{m}{2}} \right)^2} - m + 3 = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{4} - m - \dfrac{{23}}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + 3\sqrt 3  \approx 7,2\\m = 2 - 3\sqrt 3  \approx  - 3,2\end{array} \right.\end{array}\)

Sử dụng MTCT thử lại \(m = 2 - 3\sqrt 3 \) thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Sưu tầm: FB Strong Team Toán VD - VDC

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;0; - 5} \right)\) bán kính \(r = 4\) và điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\). Các đường thẳng qua M  tiếp xúc với (S) tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính R bằng bao nhiêu?

  • A  \(R = \dfrac{{12}}{5}\).       
  • B  \(R = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\).                                        
  • C  \(R = 3\).                               
  • D  \(R = \dfrac{5}{2}\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(IM = \sqrt {0 + {3^2} + {4^2}}  = 5 > r\)

Khi đó, \(AM \bot AI \Rightarrow \Delta AIM\) vuông tại A  \( \Rightarrow A\) di chuyển trên mặt cầu (S’) tâm J đường kính IM cố định.

Do đó, A di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu (S) và mặt cầu (S’).

Dựng AH vuông góc IM tại H. Suy ra bán kính đường tròn (C) là : \(R = AH\).

Ta có: \(IH = \dfrac{{I{A^2}}}{{IM}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = \dfrac{{16}}{5} \Rightarrow HM = 5 - \dfrac{{16}}{5} = \dfrac{9}{5}\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {IH.HM}  = \sqrt {\dfrac{{16}}{5}.\dfrac{9}{5}}  = \dfrac{{12}}{5}\)

Vậy, các đường thẳng qua M  tiếp xúc với (S) tại các tiếp điểm thuộc đường tròn có bán kính \(R = \dfrac{{12}}{5}\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(1;2; - 3)\) biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua  \(A(1;0;4)\).

  • A \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 53\)
  • B \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {53} \)
  • C \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {53} \)
  • D \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) đi qua \(A\) có bán kính \(R = IA\), suy ra phương trình mặt cầu

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = I{A^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {53} \)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt {53} \) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 53.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho \(A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;0;6} \right),\,\,D\left( {2;4;6} \right)\). Quỹ tích điểm \(M\) để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\) là \(\left( S \right)\) có phương trình:

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - x; - y; - z} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( { - x;4 - y; - z} \right)\\\overrightarrow {MC}  = \left( { - x; - y;6 - z} \right)\\\overrightarrow {MD}  = \left( {2 - x;4 - y;6 - z} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \left( { - 4x + 4; - 4y + 8; - 4z + 12} \right)\)

* \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 4x + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4y + 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4z + 12} \right)}^2}}  = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\end{array}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 11 = 0\), \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 8 = 0\). \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(T\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

  • A \(T\left( {3;1;2} \right)\)
  • B \(T\left( {1;2;3} \right)\)
  • C \(T\left( {2;1;3} \right)\)
  • D \(T\left( {3;2;1} \right)\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

* Ta có \(I\left( {1; - 2;1} \right)\).

* Lập phương trình \(\left( d \right)\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

   +) \(\overrightarrow {{a_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;3;1} \right)\).

   +) \(d\) qua \(I \Rightarrow d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z - 1}}{1}\).

* Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}d\\\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 7 = 0\\x - 2z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow T\left( {3;1;2} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho \(\left( P \right):\,\,2x + 2y + z + 10 = 0,\,\,\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\). Biết \(\left( P \right)\) không cắt \(\left( S \right)\). \(M\) di động trên \(\left( S \right)\)  Khi đó \(d{\left( {M;\left( P \right)} \right)_{\max }}\) là:

  • A 5
  • B 6
  • C 7
  • D 8

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

* Qua \(I\) vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( S \right)\) tại \(A,B\). Khi \(M \equiv A\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right)\) lớn nhất.

* Khoảng cách lớn nhất \( = IM + IH = R + d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

Ta có \(R = 2;\,\,d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 2 + 1 + 10} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 5\).

\( \Rightarrow d{\left( {M;\left( P \right)} \right)_{\max }} = 2 + 5 = 7\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 6 = 0\). Biết \(\left( {{S_1}} \right)\) cắt \(\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là \(\left( C \right)\). Tính \({R_C}\).

  • A \(\sqrt {\dfrac{{99}}{{12}}} \)
  • B \(\sqrt {\dfrac{{77}}{{12}}} \)
  • C \(\sqrt {\dfrac{{55}}{{12}}} \)
  • D \(2\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

* Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(\left( C \right)\). Phương trình \(\left( P \right):\,\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)\)

\( \Rightarrow 2x + 2y + 2z - 3 = 0\).

* \({I_1}\left( {0;0;0} \right),\,\,{I_1}H = d\left( {{I_1};\left( P \right)} \right)3 = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 4} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {12} }}\).

* Xét tam giác vuông \({I_1}AH:\,\,\)

\(AH = {R_C} = \sqrt {{I_1}{A^2} - {I_1}{H^2}}  = \sqrt {9 - \dfrac{9}{{12}}}  = \sqrt {\dfrac{{99}}{{12}}} \).

Chọn A.   

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A, B thay đổi trên mặt cầu  \({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25\) thỏa mãn \(AB = 6\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(O{A^2} - O{B^2}\) là

  • A \(12\)                
  • B \(6\)                          
  • C \(10\)                          
  • D \(24\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB\).

Ta có: \(O{A^2} - O{B^2} = \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {BA} .2\overrightarrow {OH} \).

\( = \overrightarrow {BA} .2\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IH} } \right) = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI}  + 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH} \).

Do \(IH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IH}  = 0 \Rightarrow O{A^2} - O{B^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {OI} \).

\( = 2BA.OI.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {OI} } \right) \le 2BA.OI = 2.6.\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}}  = 12\).

Vậy \(\max \left( {O{A^2} - O{B^2}} \right) = 12\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp đi qua 4 điểm \(A\left( {2;0;0} \right),\,\,B\left( {1;3;0} \right),\,\,C\left( { - 1;0;3} \right),\,\,D\left( {1;2;3} \right)\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

  • A \(R = 2\sqrt 2 \)
  • B \(R = \sqrt 6 \)
  • C \(R = 6\)
  • D \(R = 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua bốn điểm \(A,B,C,D \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IB = IC\\IC = ID\end{array} \right.\).

 

+) Giải hệ 3 phương trình tìm \(a;b;c\). Tính \(R = IA\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua bốn điểm \(A,B,C,D \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IB = IC\\IC = ID\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + 4 =  - 2a + 1 - 6b + 9\\ - 2a + 1 - 6b + 9 = 2a + 1 - 6c + 9\\2a + 1 =  - 2a + 1 - 4b + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\ - 4a - 6b + 6c = 0\\4a + 4b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}}  = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \end{array}\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \dfrac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A(0;2;0)\)\(,B(2; - 6; - 2)\) Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn tích \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

  • A  \( - 1.\)                                   
  • B  \(1.\)                                       
  • C  \(3.\)                                       
  • D  \(2.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).

- Đánh giá GTNN của tích \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) đạt được dựa vào điểm \(E\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow E\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(AB = 6\sqrt 2 \).

Ta có :

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)\) \( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\left( {\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA} .\overrightarrow {EB} \)

\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\overrightarrow 0  - \overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EB}  = M{E^2} - \dfrac{1}{4}A{B^2}\)

Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) đạt GTNN khi \(ME\) đạt GTNN.

Lại có : \(ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE\)

\( \Rightarrow ME\) đạt \(GTNN\) khi \(M \equiv N\) với \(N = IE \cap \left( S \right)\).

Đường thẳng \(IE\) đi qua \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IE}  = \left( {2; - 4; - 2} \right)\) hay \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {IE}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) làm VTCP nên \(IE:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

\(N = IE \cap \left( S \right)\) nên \({\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \dfrac{9}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \dfrac{9}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 =  - \dfrac{1}{2}\\t - 1 =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\\N\left( { - \dfrac{3}{2};3;\dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)

\(M{E_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\) khi \(M \equiv N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c =  - \dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{1}{2} = 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho \(A\left( {0;1;2} \right),\,\,B\left( {2; - 2;1} \right),\,\,C\left( { - 2;0;1} \right),\,\,\left( P \right):\,\,2x + 2y + z - 3 = 0\). \(\left( S \right)\) có tâm \(I \in \left( P \right)\) và đi qua \(A,B,C\) có phương trình là:

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 89\)
  • B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 89\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 90\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( P \right) \Rightarrow 2a + 2b + c - 3 = 0\\IA = IB \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\IB = IC \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b + c - 3 = 0\\4a - 6b - 2c = 4\\ - 8a + 4b =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;3; - 7} \right)\end{array}\)

* \(R = IA = \sqrt {4 + 4 + 81}  = \sqrt {89} \).

* Phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 89\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;5; - 2} \right)\) và tiếp xúc với các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x = 1,\,\,\left( \beta  \right):y = 1,\,\,\left( \gamma  \right):z =  - 1\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:

  • A \(4\).     
  • B \(1\)
  • C \(3\sqrt 2 \).      
  • D \(3\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), ta có: \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {I;\left( \gamma  \right)} \right)\)

\( \Rightarrow R = \left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right| = \left| {c + 1} \right|\)

Do \(M\)thuộc miền \(x > 1,\,\,y > 1,\,\,z <  - 1\) và \(M \in \left( S \right)\) nên \(I\left( {a;b;c} \right)\) cũng thuộc miền \(x > 1,\,\,y > 1,\,\,z <  - 1\)\( \Rightarrow a > 1,\,\,b > 1,\,\,c <  - 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = R + 1\\b = R + 1\\c =  - R - 1\end{array} \right.\)

Mặt khác \(IM = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3\).

Chọn: D  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Lập phương trình \(\left( S \right)\) có \(R = 3\) và tiếp xúc với \(\left( P \right):\,\,x + 2y + 2z + 3 = 0\) tại \(M\left( {1;1; - 3} \right)\) biết \({x_I} > 0\).

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
  • B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)
  • D \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 9\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

* \({\overrightarrow a _{IM}} = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;2} \right)\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(IM:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z =  - 3 + 2t\end{array} \right.\).

* \(I \in IM \Rightarrow I\left( {t + 1;2t + 1;2t - 3} \right)\).

* \(IM = 3 \Leftrightarrow {t^2} + 4{t^2} + 4{t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {2;3; - 1} \right)\\I\left( {0; - 1; - 5} \right)\,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right.\).

* Phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

 Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 0;1;1 \right),\,B\left( 3;0;-1 \right),\,C\left( 0;21;-19 \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\). Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \(\overrightarrow{OM}\) là

  • A \(\sqrt{110}\).                        
  • B \(3\sqrt{10}\).                                  
  • C  \(\frac{3\sqrt{10}}{5}\).                               
  • D  \(\frac{\sqrt{110}}{5}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm \(I\) sao cho  \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

- Biến đổi \(3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\) qua dạng vecto và đánh giá giá trị nhỏ nhất của tổng.

Lời giải chi tiết:

+) Mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\) có tâm \(J\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \(R=1\).

+) Tìm \(I\):  \(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}\)

Ta có: \(A\left( 0;1;1 \right),\,B\left( 3;0;-1 \right),\,C\left( 0;21;-19 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}\left( -{{x}_{I}};1-{{y}_{I}};1-{{z}_{I}} \right),\,\,\overrightarrow{AB}\left( 3;-1;-2 \right),\,\,\overrightarrow{AC}\left( 0;20;-20 \right)\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & -{{x}_{I}}=-\frac{2.3+0}{6} \\ & 1-{{y}_{I}}=-\frac{2.\left( -1 \right)+20}{6} \\ & 1-{{z}_{I}}=-\frac{2.\left( -2 \right)+\left( -20 \right)}{6} \\\end{align} \right.\Rightarrow I\left( 1;4;-3 \right)\)

+) Ta có:

\(\begin{align}  & 3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}} \\ & =6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}.\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)=6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0} \\ & =6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}} \\\end{align}\)

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất \(\Rightarrow M\)là giao điểm của đoạn thẳng \(IJ\) và  mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(\overrightarrow{JI}=\left( 0;3;-4 \right)\)

\(\Rightarrow \)Tọa độ điểm \(M\)thuộc đoạn IJ có dạng \(\left( 1;1+3t;1-4t \right),\,\,t\in \left[ 0;1 \right]\)

Mặt khác \(M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( 1+3t \right) \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( 1-4t \right) \right)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{1}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{1}{5} \\ & t=-\frac{1}{5}\,(L) \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t=\frac{1}{5}\)  \(\Rightarrow M\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right)\Rightarrow OM=\frac{3\sqrt{10}}{5}\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {3;3;0} \right),\,\,B\left( {3;0;3} \right),\,\,C\left( {0;3;3} \right),\,\,D\left( {3;3;3} \right)\). Lập phương trình \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)
  • C \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 27\)
  • D \({\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{{27}}{4}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IB = IC\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6b + 9 =  - 6c + 9\\ - 6a + 9 =  - 6b + 9\\0 =  - 6a + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{3}{2} \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).

* \(R = IA = \sqrt {\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{27}}{4}} \).

* Phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{{27}}{4}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(\left( \Delta  \right):\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) ; \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 2 = 0\) ; \(\left( Q \right):\,\,x + 2y - 2z + 4 = 0\). Lập phương trình \(\left( S \right)\) có tâm \(I \in \left( \Delta  \right)\) và tiếp xúc với \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\).

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y = 0\)
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6z + 3 = 0\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 6z - 18 = 0\)
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y - 6z + 18 = 0\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

* \(I \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow I\left( { - 3t + 2;2t + 1;2t + 1} \right)\).

* \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\)\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| { - 3t + 2 + 2\left( {2t + 1} \right) - 2\left( {2t + 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{{\left| { - 3t + 2 + 2\left( {2t + 1} \right) - 2\left( {2t + 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }}\\ \Leftrightarrow \left| { - 3t} \right| = \left| { - 3t + 6} \right| \Leftrightarrow  - 3t = 3t - 6 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( { - 1;3;3} \right)\end{array}\)

* \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{3}{3} = 1\).

* Phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y - 6z + 18 = 0\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 1 = 0,\,\,\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 2z - 23 = 0\). \(\left( P \right) \cap \left( S \right) = \left( C \right)\). Tính \({R_C}\).

  • A \(\sqrt {22} \)
  • B \(\sqrt {24} \)
  • C \(5\)
  • D \(\sqrt {26} \)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

* \(I\left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow IJ = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 2 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1\).

* \({R_S} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {1 + 1 + 23}  = 5\).

* \({R_C} = \sqrt {R_S^2 - I{J^2}}  = \sqrt {25 - 1}  = \sqrt {24} \).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=14\) và điểm \(A\left( 1;-1;-6 \right)\). Tìm trên trục Oz điểm B sao cho đường thẳng AB tiếp xúc với (S)?

  • A \(B\left( 0;0;-\frac{19}{3} \right)\)                
  • B  \(B\left( 0;0;\frac{19}{3} \right)\)                

     

  • C \(B\left( 0;0;-\frac{3}{19} \right)\)               
  • D  \(B\left( 0;0;\frac{3}{19} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra điểm \(A\in \left( S \right)\)

+) Gọi điểm B có dạng \(B\left( 0;0;a \right)\in Oz\)

+) AB tiếp xúc với (S) tại A \(\Leftrightarrow AB\bot IA\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IA}=0\) , giải phương trình tìm a.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(B\left( 0;0;a \right)\in Oz\).

Ta thấy \({{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -1+2 \right)}^{2}}+{{\left( -6+3 \right)}^{2}}=14\Rightarrow A\in \left( S \right)\), mà AB tiếp xúc với (S) \(\Rightarrow AB\) tiếp xúc với (S) tại A.

\(\Rightarrow AB\bot IA\) tại A \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IA}=0\) , với I là tâm của mặt cầu (S), \(I\left( -1;-2;-3 \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;a+6 \right),\,\,\overrightarrow{IA}=\left( 2;1;-3 \right)\)

\(\Leftrightarrow -2+1-3\left( a+6 \right)=0\Leftrightarrow -3a-19=0\Leftrightarrow a=-\frac{19}{3}\)

Vậy \(B\left( 0;0;-\frac{19}{3} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-4y-4z=0\) và điểm \(A\left( 4;4;0 \right)\). Tìm tọa độ điểm B thuộc (S) sao cho tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ).

  • A  \(\left[ \begin{array}{l}B\left( {0; - 4;4} \right)\\B\left( {4;0;4} \right)\end{array} \right.\)                       
  • B \(\left[ \begin{array}{l}B\left( {0;4; - 4} \right)\\B\left( {4;0;4} \right)\end{array} \right.\)                        
  • C \(\left[ \begin{array}{l}B\left( {0; - 4; - 4} \right)\\B\left( {4;0;4} \right)\end{array} \right.\)                     
  • D  \(\left[ \begin{array}{l}B\left( {0;4;4} \right)\\B\left( {4;0;4} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi điểm \(B\left( x,y,z \right)\in \left( S \right)\).

Tam giác OAB đều \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = OB\\OA = AB\end{array} \right.\), giải hệ phương trình tìm B.

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm \(B\left( x,y,z \right)\in \left( S \right)\).

Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( S \right)\\OA = OB\\OA = AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \in \left( S \right)\\O{A^2} = O{B^2}\\O{A^2} = A{B^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\\{4^2} + {4^2} + {0^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\\{4^2} + {4^2} + {0^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 32\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 32\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được hai nghiệm \(\left( a;b;c \right)\) là \(\left( 0;4;4 \right)\) hoặc \(\left( 4;0;4 \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( 1;2;1 \right),\,\,B\left( 3;-\,1;1 \right)\) và \(C\left( -\,1;-\,1;1 \right).\) Gọi \(\left( {{S}_{1}} \right)\) là mặt cầu có tâm \(A,\) bán kính bằng \(2;\) \(\left( {{S}_{2}} \right)\) và \(\left( {{S}_{3}} \right)\) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là \(B,\,\,C\) và bán kính đều bằng \(1.\) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\,\,\left( {{S}_{2}} \right),\,\,\left( {{S}_{3}} \right)\,\,?\)

  • A \(5.\)                                   
  • B  \(7.\)                                    
  • C  \(6.\)                                     
  • D  \(8.\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là \(\left( P \right):ax+by+cz+d=0.\)

Vì\(d\left( {B;\left( P \right)} \right) \)=\( d\left( {C ;\left( P \right)} \right) = 1\) suy ra \(mp\,\,\left( P \right)\)//\(BC\) hoặc đi qua trung điểm của \(BC.\)

TH1. Với \(mp\,\,\left( P \right)\)//\(BC\)\(\Rightarrow \,\,a=0\Rightarrow \,\,\left( P \right):by+cz+d=0\) suy ra \(d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2b+c+d \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2\)

Và \(d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{\left| -\,b+c+d \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align} & \left| 2b+c+d \right|=2\left| -\,b+c+d \right| \\& \left| -\,b+c+d \right|=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4b = c + d\\
c + d = 0
\end{array} \right.\\
\left| { - \,b + c + d} \right| = \sqrt {{b^2} + {c^2}} 
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3\left| b \right| = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \\
\left| b \right| = \sqrt {{b^2} + {c^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8{b^2} = {c^2} \Rightarrow c = \pm \,2\sqrt 2 \,b\\
c = 0 \Rightarrow d = 0
\end{array} \right.\)suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn. 

TH2. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(BC\)\(\Rightarrow \)\(\left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y+1 \right)+c\left( z-1 \right)=0\)

Do đó \(d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{3\left| b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2;\,\,\,d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{2\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1\)

Suy ra \(\left\{ \begin{align} & 3\left| b \right|=4\left| a \right| \\& 2\left| a \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\\end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left| b \right| = 4\left| a \right|\\
2\left| a \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left| b \right| = 4\left| a \right|\\
3{a^2} = {b^2} + {c^2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Chọn \(a=3\) suy ra 

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| b \right| = 4\\
{b^2} + {c^2} = 27
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = \pm \,4\\
{c^2} = 11
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {3;4;\sqrt {11} } \right),\,\,\left( {3; - \,4;\sqrt {11} } \right)\\
\left( {3;4; - \,\sqrt {11} } \right),\,\,\left( {3; - \,4; - \,\sqrt {11} } \right)
\end{array} \right\}.\)

Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 3;-2;6 \right),\,\,B\left( 0;1;0 \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25\). Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,ax+by+cz-2=0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T=a+b+c.\)

  • A \(T=3\)                                     
  • B \(T=5\)                                   
  • C  \(T=2\)                                   
  • D  \(T=4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì \(d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}.\)

+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB. Ta có : \(IH\le IK\)

\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}=I{{H}_{\max }}=IK\Leftrightarrow H\equiv K\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & B\in \left( P \right)\Rightarrow b-2=0\Leftrightarrow b=2 \\ & A\in \left( P \right)\Rightarrow 3a-2b+6c-2=0\Rightarrow a+2c=2\Rightarrow a=2-2c \\\end{align}\)

Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : \(\left( P \right):\,\,\left( 2-2c \right)x+2y+cz-2=0\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\), bán kính \(R=5\).

Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB. Ta có : \(IH\le IK\)

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì \(d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}=I{{H}_{\max }}=IK\Leftrightarrow H\equiv K.\)

 

Ta có : \(\overrightarrow{AB}=\left( -3;3;-6 \right)=-3\left( 1;-1;2 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB : \(\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=2t \\ \end{align} \right.,\,\,K\in AB\Rightarrow K\left( t;1-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( t-1;-t-1;2t-3 \right)\)

Vì \(IK\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow \left( t-1 \right)-\left( -t-1 \right)+2\left( 2t-3 \right)=0\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow K\left( 1;0;2 \right)\)

\(d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\max }}=I{{H}_{\max }}=IK\Leftrightarrow H\equiv K\Rightarrow H\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( 0;-2;-1 \right)\) là 1 VTPT của (P).

\(\Rightarrow \overrightarrow{IH}\) và vector pháp tuyến \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\,\left( 2-2c;2;c \right)\) cùng phương

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = k\overrightarrow {IH} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - 2c = 0\\
2 = - 2k\\
c = - k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 1\\
k = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow a = 2 - 2c = 0\\
\Rightarrow T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3
\end{array}\)

Chọn A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu (S2) có tâm J(2;1;5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S) (S) Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị \(M+m\) bằng?

  • A \(8\sqrt{3}\)                
  • B  9                                 
  • C 8                                            
  • D   \(\sqrt{15}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Giả sử (P) tiếp xúc với (S), (S) lần lượt tại A,B

Gọi \(IJ\cap \left( P \right)=M\) ta kiểm tra được J là trung điểm IM do \(\frac{IA}{JB}=\frac{MI}{MJ}=2\)  suy ra \(M\left( 2;1;9 \right)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) suy ra \(\left( P \right):\,a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & d\left( I;\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\  & d\left( J;\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=3\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c}+\frac{b}{c}+9 \right|\)

Đặt \(t=\frac{2a}{c}+\frac{b}{c}\Leftrightarrow \frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) ta được \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{1}{2}\left| t+9 \right|\)

Thay \(\frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) vào (1) ta thu được \({{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\frac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}-4\frac{a}{c}t+{{t}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}\)

Suy ra \(\frac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O;\left( P \right) \right)\le \frac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M=\frac{9+\sqrt{15}}{2};m=\frac{9-\sqrt{15}}{2}\)

Suy ra \(M+m=9\) .

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

  • A 6
  • B 14
  • C 12
  • D 10

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gắn hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính quả bóng chính là bán kính của mặt cầu

Lời giải chi tiết:

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi \(I\left( a;a;a \right)\) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và \(R=a.\)

\(\Rightarrow \) phương trình mặt cầu của quả bóng là

\(\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a \right)}^{2}}+{{\left( z-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Giả sử \(M\left( x;y;z \right)\) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho \(d\left( M;\left( Oxy \right) \right)=1,\,\,d\left( M;\left( Oyz \right) \right)=2,\,\,d\left( M;\left( Oxz \right) \right)=3\)

Khi đó \(z=1;\,\,x=2;\,\,y=3\,\,\Rightarrow \,\,M\left( 2;3;1 \right)\in \left( S \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \({{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  & {{R}_{1}}={{a}_{1}}=\frac{7-\sqrt{7}}{2} \\ & {{R}_{2}}={{a}_{2}}=\frac{7+\sqrt{7}}{2} \\\end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{d}_{1}}+{{d}_{2}}=2\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)=14.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(H\left( {1;\,2; - 2} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(H\) và cắt các trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC.\)

  • A \(\frac{{81\pi }}{2}\)                                  
  • B \(\frac{{243\pi }}{2}\)                       
  • C \(81\pi \)                   
  • D \(243\pi \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ các điểm A, B, C.

Lập phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz bằng phương trình đoạn chắn.

Từ đó tìm được các điểm A, B, C. Từ đó tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Gọi \(A\left( {a;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b;\,0} \right),\,\,C\left( {0;\,0;\,c} \right)\) lần lượt thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,Oy,\,Oz.\)

Khi đó ta có phương trình  \(\left( \alpha  \right)\) đi qua các điểm \(A,\,\,B,\,\,C:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\)

\(H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo đề bài ta có \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {AC} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {1 - a;\,\,2; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - b;\,\,c} \right)\\\overrightarrow {BH}  = \left( {1;\,2 - b; - 2} \right),\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - a;\,0;\,c} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b - 2c = 0\\ - a - 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2c\\b =  - c\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{ - 2c}} + \frac{2}{{ - c}} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow  - \frac{9}{{2c}} = 1 \Leftrightarrow c =  - \frac{9}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2c = 9\\b =  - c = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {9;\,\,0;\,\,0} \right)\\B\left( {0;\,\frac{9}{2};\,0} \right)\\C\left( {0;\,0; - \frac{9}{2}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Gọi \(I\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác \(OABC.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16\) và điểm \(A(1;2;3)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng.

  • A

     \(10\pi \).                               

  • B

     \(36\pi \).                               

  • C

     \(38\pi \).                               

  • D  \(33\pi \).

Đáp án: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 6;0;0 \right);\,\,B\left( 0;6;0 \right);\,\,C\left( 0;0;6 \right)\). Hai mặt cầu có phương trình \(\left( {{S}_{1}} \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0\) và \(\left( {{S}_{2}} \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0\) cắt nhau theo đường tròn (C). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA?

  • A

     \(4\)                                        

  • B

     Vô số                         

  • C

     \(1\)                                       

  • D  \(3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (C) \(\Rightarrow K\in \left( P \right)\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA.

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC), chứng minh K’ là trọng tâm tam giác ABC.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua K’ và vuông góc với (ABC) \(\Rightarrow K\in d\).

\(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow \) Tìm tọa độ điểm K.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 1;1;0 \right)\), mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}\left( 4;-1;-1 \right)\).

Dễ thấy điểm \(M\left( 1;1;1 \right)\) thuộc cả hai mặt cầu \(\Rightarrow M\in \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt phẳng (P) chứa (C) vuông góc với \({{I}_{1}}{{I}_{2}}\) và đi qua M. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là:

\(3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0\).

Gọi K là tâm của mặt cầu cần tìm ta có \(K\in \left( P \right)\). Gọi A’; B’; C’ lần lượt là hình chiếu của K trên AB, BC, CA ta có \(KA'=KB'=KC'\).

Gọi K’ là hình chiếu của K trên (ABC) ta  chứng minh được \(K'A\bot AB;\,\,K'B\bot BC;\,\,K'C\bot CA\) và \(K'A'=K'B'=K'C'\Rightarrow K'\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Mà tam giác ABC đều \(\Rightarrow K'\) là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow K'\left( 2;2;2 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z=6\).

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua K’ và vuông góc với (ABC) là: \(d:\,\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\Rightarrow K\in d\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow K=\left( P \right)\cap d\Rightarrow K\left( t+2;t+2;t+2 \right)\)

Thay vào phương tình mặt phẳng (P) \(\Rightarrow 3\left( t+2 \right)-2\left( t+2 \right)-\left( t+2 \right)=0\Rightarrow \) Phương trình có vô số nghiệm.

Vậy có vô số điểm K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( 2;\,2;\,1 \right)\), \(N\left( \frac{-8}{3};\,\frac{4}{3};\,\frac{8}{3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(OMN\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\). 

  • A \({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1\).
  • B  \({{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\). 
  • C \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1\). 
  • D \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

 Tìm tọa độ tâm nội tiếp của tam giác qua đường phân giác hoặc công thức tính nhanh 

Lời giải chi tiết:

 Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(OMN\).

Ta áp dụng tính chất sau : “ Cho tam giác \(OMN\) với \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN, ta có \(a.\overrightarrow{IO}+b.\overrightarrow{IM}+c.\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}\), với \(a=MN\), \(b=ON\), \(c=OM\) ”.

Ta có \(OM=3,\) \(ON=4,\) \(MN=5\)\(\Rightarrow \)\(5.\overrightarrow{IO}+4.\overrightarrow{IM}+3.\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}\) \(\Leftrightarrow \)\({{x}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{-8}{3} \right)}{3+4+5}=0;\,\,\,{{y}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{4}{3} \right)}{3+4+5}=1;\,\,\,{{z}_{I}}=\frac{5.0+4.2+3.\left( \frac{8}{3} \right)}{3+4+5}=1\)

Mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình \(y=0\).

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) nên mặt cầu có bán kính \(R=d\left( I,\left( Oxz \right) \right)=1\).

Vậy phương trình mặt cầu là: \({{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;\ 0;\ 2 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 0;\ 1;\ 1 \right).\) Xét các điểm \(B,\ C,\ D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\ AC,\ AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:

  • A \(\frac{8}{3}\)                                                
  • B \(4\)                                       
  • C   \(\frac{4}{3}\)                                                
  • D  \(8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam diện vuông tại \(A:\ \ R=IA=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}.\)

+) Thể tích tam diện vuông: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1;\ 1;-1 \right)\Rightarrow R=IA=\sqrt{3}.\)

Lại có: \(A:\ \ R=IA=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}=12\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}\le 4\Leftrightarrow AB.AC.AD\le 8. \\ & \Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD\le \frac{1}{6}.8=\frac{4}{3}. \\\end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( {4;2;3} \right),\,\,C\left( {3;4;3} \right)\). Gọi \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right),\,\,\left( {{S_3}} \right)\) là các mặt cầu có tâm \(A,\,\,B,\,\,C\) và bán kính lần lượt bằng \(3,\,\,2,\,\,3\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm \(I\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{2}{5};3} \right)\) và tiếp xúc vứi cả 3 mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right),\,\,\left( {{S_3}} \right)\).

  • A 2
  • B 7
  • C 0
  • D 1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {1;a;b} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+) Tính các khoảng cách từ \(A,\,\,B,\,\,C\) đến \(\left( P \right)\) và sử dụng giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 3\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\\d\left( {C;\left( P \right)} \right) = 3\end{array} \right.\), giải hệ tìm \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {1;a;b} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), khi đó phương trình \(\left( P \right)\) là:

\(1\left( {x - \dfrac{{14}}{5}} \right) + a\left( {y - \dfrac{2}{5}} \right) + b\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 5ay + 5bz - 14 - 2a - 15b = 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 3\\d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\\d\left( {C;\left( P \right)} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {5 - 10a + 15b - 14 - 2a - 15b} \right|}}{{\sqrt {25 + 25{a^2} + 25{b^2}} }} = 3\\\dfrac{{\left| {20 + 10a + 15b - 14 - 2a - 15b} \right|}}{{\sqrt {25 + 25{a^2} + 25{b^2}} }} = 2\\\dfrac{{\left| {15 + 20a + 15b - 14 - 2a - 15b} \right|}}{{\sqrt {25 + 25{a^2} + 25{b^2}} }} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| { - 12a - 9} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 3\\\dfrac{{\left| {8a + 6} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 2\\\dfrac{{\left| {18a + 1} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {4a + 3} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 1\\\dfrac{{\left| {4a + 3} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 1\\\dfrac{{\left| {18a + 1} \right|}}{{5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {4a + 3} \right| = 5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \\\left| {18a + 1} \right| = 15\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {18a + 1} \right| = 3\left| {4a + 3} \right|\\\left| {4a + 3} \right| = 5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}18a + 1 = 12a + 9\\18a + 1 =  - 12a - 9\end{array} \right.\\\left| {4a + 3} \right| = 5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{3}\\a = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\\\left| {4a + 3} \right| = 5\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{3}\\\sqrt {\dfrac{{25}}{9} + {b^2}}  = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{3}\\\sqrt {\dfrac{{25}}{9} + {b^2}}  = \dfrac{1}{3}\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{3}\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {8;5; - 11} \right),\,\,B\left( {5;3; - 4} \right),\,\,C\left( {1;2; - 6} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). Gọi điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm \(a + b\).

  • A \(9\)                               
  • B \(4\)                               
  • C \(2\)                               
  • D \(6\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \(I\left( a;\,b;\,c \right)\) thỏa  mãn: \(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {8 - a;\,\,5 - b; - 11 - c} \right) - \left( {5 - a;\,3 - b;\, - 4 - c} \right) - \left( {1 - 1;\,2 - b;\, - 6 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 - a - 5 + a - 1 + a = 0\\
5 - b - 3 + b - 2 + b = 0\\
- 11 - c + 4 + c + 6 + c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 0\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;\,0;\,1} \right).
\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\,\,\,Min\)

\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right) \right|=3\left| \overrightarrow{MI} \right|\,=3MI\,Min\)

Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(J\left( 2;\,4;-1 \right),\,\,R=3.\) \(M\in \left( S \right)\Rightarrow M{{I}_{\min }}=IJ-R=\sqrt{16+16+4}-3=3.\)

Có: \(\overrightarrow{IJ}=\left( 4;\,4;-2 \right)=2\left( 2;\,2;-1 \right)\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IJ:\,\,\)\(\left\{ \begin{align}x=-2+2t \\ y=2t \\ z=1-t \\ \end{align} \right..\)

\(\begin{array}{l}
M \in IJ \Rightarrow M\left( { - 2 + 2t;\,2t;\,1 - t} \right)\\
M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( { - 4 + 2t} \right)^2} + {\left( {2t - 4} \right)^2} + {\left( {2 - t} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 9{\left( {t - 2} \right)^2} = 9\\
\Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 2 = 1\\
t - 2 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3 \Rightarrow M\left( {4;\,6; - 2} \right)\\
t = 1 \Rightarrow M\left( {0;\,2;\,0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do \(MI=3\Rightarrow M\left( 0;\,2;\,0 \right)\) thỏa mãn \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}a=0 \\ b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu và cắt các tia \({\rm{Ox}},\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại \(A,\,B,\,C\)(\(A,\,B,\,C\) không trùng với gốc tọa độ \(O\)) thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng

  • A \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
  • B \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).
  • C \(9\sqrt 3 \).
  • D \(3\sqrt 3 \).

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là điểm tiếp xúc của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow OH \bot \left( P \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = CH \cap AB\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CE\\AB \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {COE} \right) \Rightarrow AB \bot OE\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{3}\)

Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {OA.OB.OC} \right)}^2}}}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}}}{3}} \right)}^3}}}}} = \frac{1}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow OA = OB = OC = 3\).

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.3.3 = \frac{9}{2}\).

Mà \({V_{OABC}} = \frac{1}{3}.OH.{S_{ABC}} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{3{V_{OABC}}}}{{OH}} = \frac{{3.\frac{9}{2}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.