50 bài tập phương trình mặt cầu mức độ thông hiểu

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 7 = 0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

  • A \(3\).                                                    
  • B \(9\).                                                    
  • C \(\sqrt {15} \).                                  
  • D \(\sqrt 7 \).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = \sqrt 9  = 3\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 3;2} \right)\) và đi qua \(A\left( {5; - 1;4} \right)\) có phương trình là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \sqrt {24} \).
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \sqrt {24} \).
  • C \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\).
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 24\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) , bán kính \(R:\,\,{(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Do mặt cầu đi qua \(A\left( {5; - 1;4} \right)\) nên bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}}  = \sqrt {24} \)

Phương trình mặt cầu đó là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 24\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong  không gian \(Oxyz\), tìm phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 4;2} \right)\) và diện tích \(64\pi \).

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\)
  • B \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16\)
  • C \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hình cầu có bán kính \(R\) thì có diện tích là \(S = 4\pi {R^2}\)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và có bán kính \(R\) thì có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 64\pi  \Rightarrow R = 4.\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 4;2} \right)\) và bán kính \(R = 4\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

  • A \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\)     
  • B \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\)
  • C \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {b^2}\)
  • D \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {b^2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Cho \(M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \).

+) Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \), suy ra mặt cầu tâm \(I(a;b;c)\)tiếp xúc với trục Oy có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \).

Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(I\left( {1; - 2;3} \right),M\left( {0;1;5} \right).\) Phương trình mặt cầu có tâm \(I\) và đi qua \(M\) là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {14} \)
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14\)
  • C \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {14} \)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0\). Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là

  • A \(I\left( { - 2; - 3;4} \right);R = 36\).
  • B \(I\left( { - 2; - 3;4} \right);R = 6\).
  • C \(I\left( {2;3; - 4} \right);R = 36\).
  • D \(I\left( {2;3; - 4} \right);R = 6\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) , bán kính \(R:\,\,{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

\((S):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 36\)

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là \(I\left( {2;3; - 4} \right);R = 6\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;2;1} \right),\,\,B\left( {1;4; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 24\)
  • B \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 24\)
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 6\)
  • D \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 6\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;3;0} \right)\) là trung điểm của \(AB\), bán kính \(R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 6\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa trục \(Oz\) và cắt mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\) theo đường tròn có bán kính 3 là:

  • A \(x + y = 0\).                
  • B \(x + 2y = 0\).
  • C \(x - y = 0\).
  • D \(x - 2y = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\({d^2} + {r^2} = {R^2}\)

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

               \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\)

\( \Rightarrow \)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn có bán kính \(r = R = 3\)

\( \Rightarrow \) \(\left( P \right)\) đi qua tâm I của (S)

\(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow k } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\), với \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1; - 1;1} \right),\,\,\,\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 0 = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;4;1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\)         
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 12\)
  • C \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\)                                                 
  • D \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;4;1} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {0;3;2} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {0;3;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\) hay \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\). Tính diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\).

  • A \(36\pi \).
  • B \(42\pi \).
  • C \(9\pi \).
  • D \(12\pi \).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} .\)

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đã cho có bán kính: \(R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3.\)

\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9 = 36\pi .\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;0;2} \right)\) và \(B\left( {0;4;0} \right)\). Mặt cầu nhận đoạn thẳng \(AB\) làm đường kính có phương trình là

  • A         \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)
  • B         \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
  • C         \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)    
  • D         \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Có \(A\left( {2;0;2} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow I\left( {1;2;1} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Khi đó mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \) có phương trình:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Điều kiện cần và đủ để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + {m^2} - 9m + 4 = 0\) là phương trình mặt cầu là.

  • A \( - 1 \le m \le 10\).        
  • B \(m <  - 1\) hoặc \(m > 10\).
  • C \(m > 0\).
  • D \( - 1 < m < 10\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong không gian\(Oxyz\) , cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right);B\left( { - 1;2; - 4} \right).\) Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\)

  • A  \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 44.\)                    
  • B  \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 11.\)                    
  • C  \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 44.\)                    
  • D  \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 11.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) và có bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( { - 1;2; - 4} \right) \Rightarrow I\left( {0;1; - 1} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = 2\sqrt {11} \).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \) nên có phương trình:

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\) hay \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\)có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\). Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \(\left( S \right)\):

  • A Tâm \(I( - 1; - 3;2)\) và bán kính \(R = 4\)
  • B Tâm \(I(1;3; - 2)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 3 \)
  • C Tâm \(I(1;3; - 2)\) và bán kính \(R = 4\)
  • D

    Tâm \(I( - 1; - 3;2)\) và bán kính \(R = 16\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\) suy ra tâm \(I\left( {1;3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)}  = 4.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;2; - 1);B( - 4;2; - 9)\) . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

  • A \({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = 5\)
  • B  \({(x + 1)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)

     

  • C \({(x + 6)^2} + {y^2} + {(z + 8)^2} = 25\)
  • D \({(x + 1)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {(z + 5)^2} = 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm \(AB\) và có bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 9 + 1} \right)}^2}}  = 10\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\) nên có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {5^2} = 25\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;a;1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0\). Tập các giá trị của \(a\) để điểm \(A\) nằm trong khối cầu là

  • A \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
  • B \(\left( { - 3;1} \right)\)        
  • C \(\left[ { - 1;3} \right]\)
  • D \(\left( { - 1;3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Điểm \(A\) nằm trong khối cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\) khi \(IA < R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0\) có tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 9} \right)}  = \sqrt {14} \)

Để \(A\) nằm trong khối cầu thì \(IA < R \Leftrightarrow I{A^2} < {R^2} \Leftrightarrow {1^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {3^2} < 14\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} < 4 \Leftrightarrow  - 2 < a - 1 < 2 \Leftrightarrow  - 1 < a < 3.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu?

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 1 = 0\)
  • B

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 9 = 0\)

  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 9 = 0\)
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình của mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\) là phương trình của mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là

  • A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\)      
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( {I;R} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu và chỉ nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) lên \(\left( {Oxz} \right)\) thì \(J\left( {1;0; - 3} \right)\)

 \( \Rightarrow IJ = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}}  = 2\).

\(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IJ = 2\) .

Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {2^2} = 4\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \(I( - 3;0;4)\) đi qua điểm \(A( - 3;0;0)\)có phương trình là

  • A \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\)          
  • B \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\)
  • C \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\)
  • D \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có tâm \(I\) và đi qua \(A \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = 4.\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;\,0;\,4} \right)\) và bán kính \(R = 4\) là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\) có tâm và bán kính lần lượt là

  • A \(I( - 4;5; - 6),R = 81\)          
  • B \(I( - 4;5; - 6),R = 3\)             
  • C \(I(4; - 5;6),R = 3\)                
  • D \(I(4; - 5;6),R = 81\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 4;5; - 6} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm\(A\left( {1;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {3;5;0} \right)\). Phương trình mặt cầu có đường kính \(AB\) là

  • A

    \({(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 2.\)

  • B \({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 3.\)
  • C \({(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 1)^2} = 3.\)
  • D \({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 2.\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + 5 = 0\). Mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với mặt phẳng \((P):2x - y + 2z - 11 = 0\) có phương trình là:

  • A \(2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z}} - 7 = 0\)
  • B \(2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z}} + 9 = 0\)           
  • C \(2{\rm{x}} - y + 2{\rm{z  +  7}} = 0\)         
  • D \(2{\rm{x}} - y + 2z - 9 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) thì có phương trình \(ax + by + cz + d' = 0\,\,\,\,\left( {d \ne d'} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\) thì \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R\)

Từ đó tìm được \(d' \Rightarrow \) ptmp \(\left( Q \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng cần tìm, khi đó \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \) mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình \(2x - y + 2z + d = 0\,\left( {d \ne  - 11} \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right);R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3\)

Mà mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2 + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| {2 + d} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\d =  - 11\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - y + 2z + 7 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). Mặt phẳng nào sau đây cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = 3\)?

  • A \(4x - 3y - z - 4\sqrt {26}  = 0\)
  • B \(2x + 2y - z + 12 = 0\)      
  • C \(3x - 4y + 5z - 17 + 20\sqrt 2  = 0\)
  • D \(x + y + z + \sqrt 3  = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến \(\left( P \right)\), sử dụng công thức \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

- Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + 0 + {2^2} + 12}  = 5\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) .

Đối chiếu các đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 2} \right) - 0 - 4\sqrt 6 } \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} \ne 4\) nên loại A.

Đáp án B: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 + 2.\left( { - 2} \right) - 0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{14}}{3} \ne 4\) nên loại B.

Đáp án C: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = 4\) nên chọn C.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong không gian \(Oxyz,\) xét mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0.\) Tập hợp các giá trị thực của \(a\) để \(\left( S \right)\) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi \) là

  • A \(\left\{ {1;10} \right\}\)
  • B \(\left\{ { - 10;2} \right\}\)
  • C \(\left\{ { - 1;11} \right\}\)
  • D  \(\left\{ {1; - 11} \right\}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)  với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\) có:

+) Tâm \(I\left( {2; - 1;a} \right)\)

+) Bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a}  = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \,\,\)với điều kiện \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 5 + 2\sqrt 5 \\a < 5 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\) .

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \)  nên chu vi \(C = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}C = 8\pi  \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 8\pi  \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 11\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = \left\{ { - 1;11} \right\}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) với \(A\left( {4; - 3;5} \right)\), \(B\left( {2;1;3} \right)\) là

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x + 2y - 8z - 26 = 0\)                            
  • B

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\)                            

     


  • C  \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 2y + 8z - 20 = 0\)                           
  • D  \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 26 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) nhận trung điểm của \(AB\) làm tâm và \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 6 \) suy ra bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {3; - 1;4} \right)\).

Vậy phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {x - 4} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong không gian \(Oxyz\), tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0\) là phương trình mặt cầu.

  • A  \(m < 4\).                                          
  • B \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 4\end{array} \right.\).
  • C  \(m > 1\).
  • D  \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\). 

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0\) có \(a = m;b =  - 2;c = m;d = {m^2} + 5m\)

Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4 + {m^2} - \left( {{m^2} + 5m} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 1\end{array} \right.\). 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hai điểm \(A(3; - 1;2)\) và \(B(5;3; - 2).\) Mặt cầu nhận đoạn \(AB\) làm đường kính có phương trình là

  • A \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9\,.\)                                          
  • B \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 36\,.\)
  • C \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 36\,.\)                                          
  • D \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\,.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn \(AB\)

+ Bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AB}}{2}\)

+ Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\), suy ra \(I\left( {4;1;0} \right)\)

+ Lại có \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {36}  = 6\) nên bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AB}}{2} = 3\).

+ Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho 4 điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right);B\left( {3;2;0} \right);C\left( {0;2;1} \right);D\left( { - 1;1;2} \right)\). Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình là

  • A \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \sqrt {14} \)
  • B \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)
  • C \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \sqrt {14} \)
  • D \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 14\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì có bán kính \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)  và phương trình mặt cầu là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

+ Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;0;1} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4; - 1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\)

+ Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(B\left( {3;2;0} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

+ Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên bán kính mặt cầu là

\(R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right),\,B\left( {2; - 1;2} \right)\). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là:

  • A \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 24\).                                                   
  • B \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).           
  • C  \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt {24} \).
  • D \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 6 \).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có đường kính AB có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm của AB và bán kính \(R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \), có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

  • A \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)                                      
  • B \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0\)                            
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)                        
  • D \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Xét từng đáp án ta được:

+) Đáp án A:  có: \(a =  - \frac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c =  - 2,\,\,d =  - 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\) có: \(a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{1}{4};\,\,c = \frac{1}{4},\,\,d = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{3}{{16}} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án C:  có: \(a = 1;\,\,b =  - 2;\,\,c = 2,\,\,d = 10 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 1 < 0\)  phương trình này không là phương trình mặt cầu.

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(2x + y - z - 1 = 0\) và mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\). Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu (S).

  • A \(r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
  • B \(r = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}\).
  • C \(r = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}\).                                     
  • D \(r = \dfrac{{2\sqrt {42} }}{3}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ \({d^2} + {r^2} = {R^2}\).

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

           \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 2\)

 \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 1 - \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {r^2} = {2^2} \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;3;5} \right),\,\,B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

  • A \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 27\).                     
  • B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\sqrt 3 \).           
  • C \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\sqrt 3 \).          
  • D \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có tâm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\), bán kính \(R\) :  \({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( { - 2;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }}{2} = 3\sqrt 3 \), có phương trình là: 

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 27\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {2;\,3;\,4} \right)\) và \(A\left( {1;\,2;\,3} \right).\) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) có phương trình là:

  • A        \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3\)         
  • B  \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\)   
  • C        \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 45\)
  • D        \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A \Rightarrow IA = R \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

  • A \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\)
  • B \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z - 3 = 0\)
  • C \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 1 = 0\)
  • D \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 1 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) và viết phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 2.\left( { - 1} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\)

Phương trình mặt cầu: \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right),\,B\left( {3;2;0} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

  • A \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\).                     
  • B \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).                       
  • C  \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\).                     
  • D \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 20\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) , bán kính \(R\):  \({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\) .

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( {3;0; - 1} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \), có phương trình là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 4\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz).

  • A \(m = 0\).                                
  • B \(m = 2\);\(m =  - 2\).             
  • C \(m = \sqrt 5 \).                      
  • D \(m = \sqrt 5 \);\(m =  - \sqrt 5 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 4\) có tâm \(I\left( { - 3;0;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 4} \)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = R \Leftrightarrow 3 = \sqrt {{m^2} + 4}  \Leftrightarrow {m^2} + 4 = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5 \).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2; - 1} \right)\)  và đi qua điểm \(A\left( {2;1;2} \right)\). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\)?

  • A \(x + y - 3z - 8 = 0\)
  • B \(x + y - 3z + 3 = 0\)
  • C \(x + y + 3z - 9 = 0\)
  • D \(x - y - 3z + 3 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) với \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án B ta có: \(x + y - 3z + 3 = 0\,\,\left( P \right)\)

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1.3 + 1.2 - 3\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 9} }} = \dfrac{{11}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} \\R = IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}}  = \sqrt {11} \\ \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\end{array}\)

Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu\(\left( S \right)\)tâm \(I(a;b;c)\)bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right).\)Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A

      \(\left| a \right| = 1.\)       

  • B

      \(a + b + c = 1.\)               

  • C

      \(\left| b \right| = 1.\)        

  • D   \(\left| c \right| = 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu\(\left( S \right)\) tâm \(I(a;b;c)\)bán kính bằng R, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu\(\left( S \right)\)tâm \(I(a;b;c)\)bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\,\, \Leftrightarrow \)\(d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \left| b \right| = 1\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\). 

  • A \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)
  • B \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).
  • C \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\).
  • D \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính R, tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow R = \dfrac{{\left| {0 - 1 - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\) là: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + 2y + 3z} \right) = 0\). Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ O) của mặt cầu  và các trục tọa độ \(Ox,\,Oy,\,Oz\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: 

  • A \(6x - 3y - 2z - 12 = 0\).
  • B \(6x + 3y + 2z - 12 = 0\).
  • C \(6x - 3y - 2z + 12 = 0\).
  • D \(6x - 3y + 2z - 12 = 0\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + 2y + 3z} \right) = 0\)

Cho \(y = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,(L)\\x = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)\)

Cho \(x = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,(L)\\y = 4\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( {0;4;0} \right)\)

Cho \(x = y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,(L)\\z = 6\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow z = 6 \Rightarrow C\left( {0;0;6} \right)\)

Phương trình (ABC) là:  \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(y =  - x,\) bán kính bằng \(R = 3\) và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của \(\left( S \right),\) biết hoành độ tâm \(I\) là số dương.

  • A        \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)                               
  • B        \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) 
  • C \({\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) 
  • D  \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,b} \right)\) và bán kính \(R\) là:\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi\(I\left( {a;\, - a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right)\) thuộc đường thẳng \(y =  - x\).

\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + a} \right)^2} = 9.\)

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục tọa độ \( \Rightarrow d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = R = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right| = 3 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;2;0} \right),B\left( {1;0; - 4} \right)\). Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là:

  • A   \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 4z - 15 = 0\)          
  • B \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 4z + 3 = 0\).            
  • C   \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0\) .          
  • D \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z - 15 = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là trung điểm của AB và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {2;1; - 2} \right),\,\,IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt 6 \)

Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow \)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: 

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)
  • B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\).
  • C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).
  • D \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) \( \Rightarrow R = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\)

Phương trình mặt cầu đó là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Trong không gian \(Oxyz\) , cho hai điểm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và \(A = \left( {1;2;3} \right)\). Phương trình của mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\)
  • B \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\) 
  • C \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) 
  • D \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2}} \)

Phương trình mặt cầu  có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có bán kính \(R\) có dạng

\({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {1;1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

CHỌN B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {3;2;1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:

  • A \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2\)
  • B \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\)
  • C \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\)
  • D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\)  

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm của \(AB\) và có bán kính bằng \(\dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {2;2;2} \right)\).

Ta có : \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 4}  = 2\sqrt 2 \).

Do đó mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\) đi qua điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\) có pt là:

         

  • A    \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2\)                        
  • B  \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=2\)

                 

  • C \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\sqrt{2}\)                
  • D  \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}\)

Đáp án: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : \(2x+3y+z-11=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z-8=8\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(H\left( {{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}} \right)\). Tính tổng  \(T={{x}_{o}}+{{y}_{o}}+{{z}_{0}}\)

  • A T=2                       
  • B   T=0                             
  • C T=6                             
  • D T=4

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại H suy ra IH vuông góc với ( P ) với I là tâm mặt cầu  ( S ) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14 \\ & =>I\left( 1;-2;1 \right) \\\end{align}\)

Suy ra phương trình đường thẳng IH:  \(\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\ & y=3t-2 \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\)  

Gọi H( 1+2t ; 3t – 2 ; 1+t ) . Thay H vào ptmp ( P ) ta có : \(\)

\(\begin{align}  & 2\left( 2t+1 \right)+3\left( 3t-2 \right)+t+1-11=0<=>t=1 \\ & =>H\left( 3;1;2 \right) \\\end{align}\)

Chọn đáp án C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2;0} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 2;0} \right)\) là

  • A \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 100\).                                             
  • B \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 5\).                         
  • C \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 10\).                                   

     

  • D \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và có bán kính R là:

                    \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}}  = 5\)

Phương trình mặt cầu:  \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Chọn: D  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=10\). Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3?

  • A

     \(\left( {{P}_{1}} \right):x+2y-2z+8=0\).                                                      

  • B

     \(\left( {{P}_{2}} \right):x+2y-2z-8=0\).     

  • C

     \(\left( {{P}_{3}} \right):x+2y-2z-2=0\).                                                       

  • D  \(\left( {{P}_{4}} \right):x+2y-2z-4=0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\({{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\)

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

                 \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

\(\left( S \right):{{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=10\) có tâm \(I(-3;0;1)\), bán kính \(R=\sqrt{10}\).

\((S)\cap (P)\)là một đường tròn có bán kính \(r=3\)

Ta có: \({{R}^{2}}={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 10={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{3}^{2}}\Leftrightarrow d(I;(P))=1\)

+) \(\left( {{P}_{1}} \right):x+2y-2z+8=0\) :

\(d(I;({{P}_{1}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1+8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=1\Rightarrow ({{P}_{1}})\) : Thỏa mãn.

+)  \(\left( {{P}_{2}} \right):x+2y-2z-8=0\)

\(d(I;({{P}_{2}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{13}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{2}})\): Không thỏa mãn.

+) \(\left( {{P}_{3}} \right):x+2y-2z-2=0\)

\(d(I;({{P}_{3}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{7}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{3}})\): Không thỏa mãn.

+) \(\left( {{P}_{4}} \right):x+2y-2z-4=0\)

\(d(I;({{P}_{4}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3\ne 1\Rightarrow ({{P}_{4}})\): Không thỏa mãn.

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 81\) tại điểm \(P\left( { - 5; - 4;6} \right)\) là :

  • A  \(7x + 8y + 67 = 0\)                                                      
  • B  \(4x + 2y - 9z + 82 = 0\)
  • C  \(x - 4z + 29 = 0\)                                                         
  • D  \(2x + 2y - z + 24 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại P đi qua P và nhận \(\overrightarrow {IP} \) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

\(I\left( {1;2;3} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow \overrightarrow {IP}  = \left( { - 6; - 6;3} \right) = 3\left( {2;2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {2;2; - 1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng đi qua P và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Do đó mặt phẳng cần tìm có phương trình :

\(2\left( {x + 5} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - 1\left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.