Đề số 12 – Đề kiểm tra học kì 1 – Toán 10

Đề bài

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1 : Cho hai tập hợp $\left( {1;3} \right)$ và $\left[ {2;4} \right]$. Giao của hai tập hợp đã cho là:

A. $\left( {2;3} \right]$.                     B. $\left( {2;3} \right)$.

C. $\left[ {2;3} \right)$.                     D. $\left[ {2;3} \right]$.

Câu 2 : Cho hàm số $y = \left( {m - 1} \right)x + m - 2$. Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là:

A. $m < 2$.                B. $m > 1$.

C. $m < 1$.                D. $m > 2$.

Câu 3 : Cho parabol$y = 2{x^2} + 4x - 3$. Tọa độ đỉnh của parabol là:

A. $\left( { - 1; - 5} \right)$.               B. $\left( {1;3} \right)$.

C. $\left( {2;5} \right)$.                     D. $\left( { - 2;5} \right)$.

Câu 4 : Điều kiện để đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + m$ cắt Ox tại hai điểm phân biệt là:

A. $m <  - 4$.             B. $m > 4$.

C. $m >  - 4$.             D. $m < 4$.

Câu 5 : Cho hàm số $y = \sqrt {2 - x}  + \dfrac{x}{{x - 1}}$. Tập xác định của hàm số là:

A. $\left( { - \infty ;2} \right]$.                      B. $\left[ {1;2} \right]$.

C. $\left( { - \infty ;2} \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}$.   D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Câu 6 : Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 1 + 2x\\\dfrac{{x - 1}}{2} < 1\end{array} \right.$ là:

A. $\left[ { - 4;3} \right)$.                  B. $\left[ { - 4;3} \right]$.

C. $\left( { - 4;3} \right)$.                  D. $\left( { - 4;3} \right]$.

Câu 7 : Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác $MNP$ có $M\left( { - 2;1} \right),\,N\left( {1;3} \right),\,P\left( {0;2} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $MNP$ là:

A. $\left( {2;1} \right)$.

B. $\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)$.

C. $\left( {1;2} \right)$.

D. $\left( { - \dfrac{1}{3};2} \right)$.

Câu 8 : Trên mặt phẳng tọa độ cho $\overrightarrow a  = \left( {1; - 3} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {2; - 1} \right)$. Giá trị của $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ bằng: 

A. 6.                            B. 0.

C. 5.                            D. -1.

Câu 9 : Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,\,CA = b,\,AB = c$. Biểu thức ${a^2} + {b^2} - {c^2}$ bằng:

A. $- 2ab\cos C$.

B. $- 2bc\cos A$.

C. $2bc\cos A$.

D. $2ab\cos C$.

Câu 10 : Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha  = \dfrac{3}{5}$. Giá trị của $\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)$ là:

A. $\dfrac{3}{5}$.                             B. $- \dfrac{3}{5}$.

C. $\dfrac{4}{5}$.                             D. $- \dfrac{4}{5}$.

Câu 11 : Cho ba điểm $A,\,B,\,C$ phân biệt và thẳng hàng, trong đó $C$ nằm giữa $A$ và $B$. Xét các khẳng định sau

i) $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ cùng hướng.

ii) $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ ngược hướng.

iii) $\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ cùng hướng.

iv) $\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ ngược hướng.

Số khẳng định đúng là:

A. 3.                            B. 2.

C. 1.                            D. 0.

Câu 12 : Cho hình bình hành $ABCD$. Xét các khẳng định sau

$i)\,\overrightarrow {AB}  = \,\overrightarrow {CD}$.

$ii)\,\overrightarrow {AC}  = \,\overrightarrow {BD}$.

$iii)\,\overrightarrow {AD}  = \,\overrightarrow {CB}$.

$iv)\,\overrightarrow {AC}  = \,\overrightarrow {AD}  - \,\overrightarrow {BA}$.

Số khẳng định đúng là:

A. 0.                            B. 1.

C. 2.                            D. 3.

PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1 . (1,5 điểm)

Cho parabol $\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 2x - 3$

a) Xác định trục đối xứng và tọa độ đỉnh của parabol $\left( P \right)$. Vẽ parabol $\left( P \right)$.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} + 2x - 3$.

Bài 2 . (2 điểm)

a) Giải phương trình $\sqrt {2x + 9}  = x - 3$

b) Trong các đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, các bạn học sinh lớp 10A đã quyên góp được $1\,200\,000$. Mỗi em chỉ quyên góp bằng các tờ tiền $2000,\,\,5000,\,\,10\,000$. Tổng số tiền loại $2000$và số tiền loại $5000$ bằng số tiền loại $10\,000$. Số tiền loại $2000$ nhiều hơn số tiền loại $5000$ là $200\,000$. Hỏi có bao nhiêu số tiền mỗi loại?

Bài 3 . (3 điểm)

a) Cho tam giác nhọn $ABC$, $AB = 2a,\,AC = 3a,\,\,\widehat {BAC} = {60^0}$. Về phía ngoài tam giác, dựng tam giác $ACD$ vuông cân tại đỉnh $A$. Tính độ dài các đoạn thẳng $BC,\,BD$ và các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}$ theo $a$.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có ba đỉnh $A\left( {1;2} \right),\,B\left( { - 1; - 1} \right),\,C\left( {2; - 1} \right)$. Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

Bài 4 . (0,5 điểm) Giải phương trình $\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} }  + \sqrt {x + 4 - 3\sqrt {2x - 1} }$$= \sqrt 2$.

Lời giải chi tiết

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1 . (1,5 điểm)

a) 

Parabol $\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 2x - 3$ nhận $x =  - 1$ làm trục đối xứng và có đỉnh $I\left( { - 1; - 4} \right)$

Một số điểm trên (P):

Đồ thị hàm số (hình bên):

b) Hàm số$y = {x^2} + 2x - 3$ có $1 > 0$, đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

Bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} + 2x - 3$

Bài 2 . (2 điểm)

a) 

$\begin{array}{l}\sqrt {2x + 9}  = x - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\2x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x + 9 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 8x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow x = 8\end{array}$

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 8$.

b) Gọi số tiền loại $2000,\,\,5000,\,\,10\,000$ lần lượt là $x,\,\,y,\,\,z$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\,200\,000\\x + y = z\\x - y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x + y) + z = 1\,200\,000\\(x + y) - z = 0\\x - y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,000\\z = 600\,000\\x - y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{600\,000 + 200\,000}}{2}\\y = x - 200\,000\\z = 600\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\,000\\y = 200\,000\\z = 600\,000\end{array} \right.\end{array}$

Vậy, số tiền loại $2000,\,\,5000,\,\,10\,000$ lần lượt là $400\,000,\,\,200\,000,\,\,600\,000$.

Bài 3 . (3 điểm)

a) *) Tính $BC,\,BD$:

Ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$$- 2.AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

$\begin{array}{l} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\cos {60^0} \\= {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\dfrac{1}{2}\\ = 4{a^2} + 9{a^2} - 6{a^2} = 7{a^2}\\ \Rightarrow BC = a\sqrt 7 \end{array}$

Do tam giác $ACD$ dựng về phía ngoài tam giác$ABC$nên:

$\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = {60^0} + {90^0} \\= {150^0}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} \\- 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD}\\ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\cos {150^0}\\ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l} = 4{a^2} + 9{a^2} + 6\sqrt 3 {a^2}\\ = \left( {13 + 6\sqrt 3 } \right){a^2}\,\\\,\, \Rightarrow BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 } \end{array}$

*) Tính $\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}$:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2a.3a.\cos {60^0} = 3{a^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right).\,\overrightarrow {AC} \\\, = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  + \,\overrightarrow {AD} .\,\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  + 0\end{array}$(do $AD \bot AC$)

$= \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB} \,.\overrightarrow {AC}  =  - 3{a^2}$

Vậy,  $BC = a\sqrt 7$, $BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 }$, $\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = 3{a^2}$, $\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}  =  - 3{a^2}$.

b) Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.$   (*)

Giả sử $H\left( {a;b} \right)$, khi đó: $\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2} \right),\\\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 3} \right)$

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy, $H\left( {1; - \dfrac{1}{3}} \right)$.

Bài 4 . (0,5 điểm)

ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{1}{2}$

Phương trình

 $\begin{array}{l}\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} }  \\+ \sqrt {x + 4 - 3\sqrt {2x - 1} }  = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 2\sqrt {2x - 1} }  \\+ \sqrt {2x + 8 - 6\sqrt {2x - 1} }  = 2\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1}  + 1}  \\+ \sqrt {2x - 1 - 6\sqrt {2x - 1}  + 9}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)}^2}}  \\+ \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 3} \right)}^2}}  = 2\end{array}$

$\Leftrightarrow \left| {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {2x - 1}  - 3} \right| = 2$ (*)

Giải phương trình:     

$\begin{array}{l}\sqrt {2x - 1}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 1\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt {2x - 1}  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 3\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5\end{array}$

TH1: Nếu $\dfrac{1}{2} \le x \le 1$ thì

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2x - 1}  + 3 - \sqrt {2x - 1}  = 2\\ \Leftrightarrow 4 - 2\sqrt {2x - 1}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,(TM)\end{array}$

TH2: Nếu $1 < x < 5$ thì

 $\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  - 1 + 3 - \sqrt {2x - 1}  = 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2 = 2\end{array}$ (luôn đúng)

TH3: Nếu $x \ge 5$ thì

 $\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  - 1 + \sqrt {2x - 1}  - 3 = 2\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x - 1}  - 4 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 3\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,(TM)\end{array}$

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left[ {1;5} \right]$.

Xem lời giải chi tiết đề thi học kì 1 tại Tuyensinh247.com

Loigiaihay.com