Phương trình \(\sqrt {10x + 1} + \sqrt {3x - 5} = \sqrt {9x + 4} + \sqrt {2x - 2} {\rm{ }}\left( * \right)\) có nghiệm ${x_0}$ thỏa mãn
-
A.
\({x_0} < 2\).
-
B.
\(2 < {x_0} < \dfrac{5}{2}\).
-
C.
\(\dfrac{3}{2} < {x_0} < 4\).
-
D.
\({x_0} > 5\).
Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tìm được nhân tử chung. Sau đó đưa về giải phương trình tích và đánh giá các phương trình để tìm nghiệm.
Điều kiện: \(x \ge \dfrac{5}{3}\).
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {10x + 1} - \sqrt {9x + 4} } \right) + \left( {\sqrt {3x - 5} - \sqrt {2x - 2} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 1 - \left( {9x + 4} \right)}}{{\sqrt {10x + 1} + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{{3x - 5 - \left( {2x - 2} \right)}}{{\sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x - 2} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1} + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x - 2} }}} \right) = 0\end{array}\)
Vì \(\forall x \ge \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1} + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x - 2} }} > 0\) nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 3\).
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3\).
Đáp án : C
Đây là một trong những câu vận dụng cao trong bài đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về cách giải các phương trình chứa căn và tư duy linh hoạt để sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
