Giải toán 10, giải bài tập toán lớp 10 đầy đủ đại số và hình học
Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10
Cho phương trình
Đề bài
Cho phương trình \(3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\).
Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\).
- Sử dụng Vi - et tìm một trong hai nghiệm rồi thay vào phương trình đã cho tìm \(m\).
Lời giải chi tiết
Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)
(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0
⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4} + \frac{{15}}{4} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0
\end{array}\)
Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi hai nghiệm đó là x1; x2
Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên giả sử \(\displaystyle {x_2} = 3{x_1}\).
Theo định lí Vi - et ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} \)
\(\Rightarrow {x_1} + 3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\( \Leftrightarrow 4{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\(\Leftrightarrow {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\)
Thay \(\displaystyle x_1=\dfrac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được:
\(3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6}\)\( + 3m - 5 = 0 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{36}} - \frac{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{6} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{3} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{12\left( {3m - 5} \right)}}{{12}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} - 6m - 3 + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Với \(\displaystyle m = 3\) ta có phương trình 3x2 – 8m + 4 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+) Với m = 7 ta có phương trình 3x2 – 16m + 16 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy,
Với m=3 thì pt có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}\);\(\displaystyle x_2= 2\).
Với \(\displaystyle m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{4}{3}\);\(\displaystyle x_2= 4\).
Cách khác:
Sau khi tìm được \( {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\) ta suy ra \({x_2} = 3{x_1} = 3.\frac{{m + 1}}{6} = \frac{{m + 1}}{2}\)
Theo Viet ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Rightarrow \frac{{m + 1}}{6}.\frac{{m + 1}}{2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow 3{\left( {m + 1} \right)^2} = 12\left( {3m - 5} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = 36m - 60\\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 3 - 36m + 60 = 0\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 30m + 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ đó các em cũng ra được đáp án cần tìm.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Các dạng toán về phương trình
- Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10
- Bài 6 trang 62 SGK Đại số 10
- Bài 5 trang 62 SGK Đại số 10
- Bài 4 trang 62 SGK Đại số 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
