Bài 41 trang 73 SGK Toán 7 tập 2


Hỏi trọng tâm của một tam giác

Đề bài

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

Cách 1: 

Giả sử \(∆ABC\) đều, 3 đường trung tuyến AN, BM và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(∆ABC\) 

Vì \(∆ABC\) đều nên 3 đường trung tuyến đồng thời là 3 đường phân giác 

\( \Rightarrow\) G là giao điểm của 3 đường phân giác của \(∆ABC\)

\( \Rightarrow\) \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC\) ( Tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Cách 2:

Giả sử \(∆ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)

\( \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\);  \(GB = \dfrac{2}{3}BM\);  \(GC = \dfrac{2}{3}EC\).

Vì \(∆ABC\) đều nên ba trung tuyến \(AN, BM, CE\) bằng nhau (áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2)

\( \Rightarrow GA = GB = GC\)

Xét \(∆AMG\) và \(∆CMG\) ta có:

+) \(GA = GC\) (chứng minh trên)

+) \(AM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))

+) Cạnh \(MG\) chung

Vậy \(∆AMG = ∆CMG\) (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)

Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (\(2\) góc kề bù)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\) 

\( \Rightarrow GM ⊥ AC\) tức là \(GM\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AC\).

Chứng minh tương tự \(GE, GN\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AB, BC.\)

Mà \(GM =\dfrac{1}{3}BM\); \(GN = \dfrac{1}{3}AN\); \(GE = \dfrac{1}{3}EC\).

Và \(AN = BM = EC\) nên \(GM = GN = GE.\)

Hay \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC.\)


Bình chọn:
4.2 trên 198 phiếu

>> Xem thêm

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.