Đề bài
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
Giả sử ∆ABC đều có trọng tâm G. Các điểm E, N, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
\( \Rightarrow\) GA = \(\frac{2}{3}\)AN; GB = \(\frac{2}{3}\)BM; GC = \(\frac{2}{3}\)EC
Vì ∆ABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau.
\( \Rightarrow\) GA = GB = GC
Xét ∆AMG và ∆CMG tâ có:
GA = BC (cmt)
AM = MC (vì M là trung điểm của AC)
Cạnh MG chung
Vậy ∆AMG = ∆CMG (c.c.c)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)
Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (2 góc kề bù)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\)
\( \Rightarrow\) GM ⊥ AC tức là GM khoảng cách từ G đến AC.
Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, BC.
Mà GM =\(\frac{1}{3}\)BM; GN = \(\frac{1}{3}\)AN; EG = \(\frac{1}{3}\)EC
Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE.
Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Loigiaihay.com
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 7 - Xem ngay
Các bài liên quan: - Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác