Giải toán 7, giải bài tập toán lớp 7 sgk đầy đủ đại số và hình học
Bài 6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Bài 41 trang 73 SGK Toán 7 tập 2
Hỏi trọng tâm của một tam giác
Đề bài
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Giả sử \(∆ABC\) đều, 3 đường trung tuyến AN, BM và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(∆ABC\)
Vì \(∆ABC\) đều nên 3 đường trung tuyến đồng thời là 3 đường phân giác
\( \Rightarrow\) G là giao điểm của 3 đường phân giác của \(∆ABC\)
\( \Rightarrow\) \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC\) ( Tính chất 3 đường phân giác của tam giác)
Cách 2:
Giả sử \(∆ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)
\( \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\); \(GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}EC\).
Vì \(∆ABC\) đều nên ba trung tuyến \(AN, BM, CE\) bằng nhau (áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2)
\( \Rightarrow GA = GB = GC\)
Xét \(∆AMG\) và \(∆CMG\) ta có:
+) \(GA = GC\) (chứng minh trên)
+) \(AM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))
+) Cạnh \(MG\) chung
Vậy \(∆AMG = ∆CMG\) (c.c.c)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)
Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (\(2\) góc kề bù)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\)
\( \Rightarrow GM ⊥ AC\) tức là \(GM\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AC\).
Chứng minh tương tự \(GE, GN\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AB, BC.\)
Mà \(GM =\dfrac{1}{3}BM\); \(GN = \dfrac{1}{3}AN\); \(GE = \dfrac{1}{3}EC\).
Và \(AN = BM = EC\) nên \(GM = GN = GE.\)
Hay \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC.\)
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2
- Bài 43 trang 73 SGK Toán 7 tập 2
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 5, 6 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 2 - Bài 5, 6 - Chương 3 – Hình học 7
- Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 5, 6 - Chương 3 – Hình học 7
>> Xem thêm
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
