Bài 3 trang 45 SGK Hình học 10


Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).

LG a

Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý: \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

Lời giải chi tiết:

AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)

Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM}  = 0\) 

Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}+0 \) \(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN}  = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  =  \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}+0 \)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).

LG b

 Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a suy ra đáp án, chú ý \[\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\]

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr &  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 45 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí