Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Tính (sin 2a,cos 2a,tan 2a,;)biết: a) (sin a = frac{1}{3}) và (frac{pi }{2} < a < pi );

Đề bài

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\) biết:

a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng công thức:

\({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\);

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a \);

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a \);

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} \);

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\).

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a = 1\)

\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)

\(\Leftrightarrow \cos a =\pm\sqrt { \frac{8}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vì \(\cos a < 0\) nên \(\cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a \)

\(= 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} \)

\(= \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\).

Có \({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} \)

\(= {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a \)

\(= 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\).

Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

\(= \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}\).

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0\)

\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (vì \(\cos a < 0)\).

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 \)

\(= 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 22 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 1.10 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 1.11 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Chứng minh đẳng thức sau:
Bài 1.12 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có (hat B = {75^0};hat C = {45^0}) và (a = BC = 12;cm).
Bài 1.13 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức (xleft( t right) = A.cos left( {omega t + varphi } right),;)
Bài 1.8 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tính: a) (cos left( {a + frac{pi }{6}} right)), biết (sin a = frac{1}{{sqrt 3 }}) và (frac{pi }{2} < a < pi );
Bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Sử dụng \({15^o} = {45^o} - {30^o}\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \({15^o}\).
Giải mục 4 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt (u = a - b,;v = a + b) và viết các công thức nhận được
Giải mục 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
a) Từ các công thức cộng (cos left( {a + b} right)) và (cos left( {a - b} right)), hãy tìm: (cos acos b;sin asin b).
Giải mục 2 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: (sin 2a;cos 2a;tan 2a).
Giải mục 1 trang 17, 18 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
a) Cho (a = frac{pi }{4}) và (b = frac{pi }{6}), hãy chứng tỏ (cos left( {a - b} right) = cos acos b + sin asin b).
Giải câu hỏi mở đầu trang 17 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần ({f_1}(t) = 5sin t) và phát lại được nốt thuần ({f_2}(t) = 5cos t) thì âm kết hợp là (f(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t)), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng (f(t) = ksin (t + varphi )), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha b
Lý thuyết Công thức lượng giác - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Công thức cộng