-
Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
-
Giải Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\), hay \({u_n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \), hay \(\lim {u_n} = 0\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\), hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \), hay \(\lim {u_n} = a\).
* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\).
2. Một số giới hạn cơ bản
+ \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \(k \in \mathbb{Z}\).
+ \(\lim \frac{c}{n} = 0\), \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) \(k \in \mathbb{Z}\), c là hằng số.
+ Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
+ \(\lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\).
3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
b) Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn \({u_1},{u_1}q,...,{u_1}{q^{n - 1}},...\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)
4. Giới hạn vô cực
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \), hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \), hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).
* Nhận xét:
+ \(\lim {n^k} = + \infty \) với \(k \in {\mathbb{Z}^ + }\).
+ \(\lim {q^n} = + \infty\) với \(q \in \mathbb{R}\), \(q > 1\).
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0\), \(v_n >0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ( - {u_n}) = - \infty \).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải câu hỏi mở đầu trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
