Bài 1. Giới hạn của dãy số Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = 0\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).

* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\)

2. Một số giới hạn cơ bản

+ \(\lim \frac{1}{n} = 0,\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}.\)

+ \(\lim \frac{c}{n} = 0,\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}\), c là hằng số.

+ Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)

+ \(\lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\)

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)

b, Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn \({u_1},{u_1}q,...,{u_1}{q^{n - 1}},...\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).

*Nhận xét:

\(\begin{array}{l}\lim {n^k} = + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }\\\lim {q^n} = + \infty ;q \in \mathbb{R},q > 1.\end{array}\)
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = + \infty \)(hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,\forall n\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ( - {u_n}) = - \infty \)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (left( {{u_n}} right),) với ({u_n} = frac{1}{n}) trên hệ trục tọa độ.
Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\) a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\) c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)
Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = 1) và công bội (q = frac{1}{2}.) a) So sánh (left| q right|) với 1. b) Tính ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.) Từ đó, hãy tính (lim {S_n}.)
Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Tính (lim left( { - {n^3}} right).)
Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau: a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)
Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{5n + 1}}{{2n}};) b) (lim frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};) c) (lim frac{{sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};) d) (lim left( {2 - frac{1}{{{3^n}}}} right);) e) (lim frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};) g) (lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.)
Bài 3 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = frac{2}{3},q = - frac{1}{4}.) b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Bài 4 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu
Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).