Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = 1) và công bội (q = frac{1}{2}.) a) So sánh (left| q right|) với 1. b) Tính ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.) Từ đó, hãy tính (lim {S_n}.)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 4

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.

b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).

- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)

b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)

LT - VD 5

Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q = - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)

LT - VD 6

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng trong trường hợp sau: Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát rùa ở điểm \(A_1\) cách Achilles 100km.

Phương pháp giải:

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách điểm xuất phát O của Achilles 100km.

Ta tính thời gian Achilles đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... Nếu tổng này vô hạn thì Achilles không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà Achilles đuổi kịp rùa.

Để chạy hết quãng đường OA₁ =100 (km), Achilles phải mất thời gian t₁ =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h).

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₁A₂=1 (km).

Để chạy hết quãng đường A₁A₂=1 (km), Achilles phải mất thời gian t₂ = \(\frac{1}{{100}}\) (h).

Với thời gian t₂ rùa đã chạy thêm được quãng đường A₂A₃= \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A_n-1A_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), Achilles phải mất thời gian t_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h).

Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,... là:

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.

Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Tính (lim left( { - {n^3}} right).)
Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau: a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)
Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{5n + 1}}{{2n}};) b) (lim frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};) c) (lim frac{{sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};) d) (lim left( {2 - frac{1}{{{3^n}}}} right);) e) (lim frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};) g) (lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.)
Bài 3 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = frac{2}{3},q = - frac{1}{4}.) b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Bài 4 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu
Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\) a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\) c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)
Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (left( {{u_n}} right),) với ({u_n} = frac{1}{n}) trên hệ trục tọa độ.
Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số