Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều>
Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right),left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 8 + frac{1}{n};{v_n} = 4 - frac{2}{n}.) a) Tính (lim {u_n},lim {v_n}.) b) Tính (lim left( {{u_n} + {v_n}} right)) và so sánh giá trị đó với tổng (lim {u_n} + lim {v_n}.) c) Tính (lim left( {{u_n}.{v_n}} right)) và so sánh giá trị đó với tổng (left( {lim {u_n}} right).left( {lim {v_n}} right).)
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n}\); \({v_n} = 4 - \frac{2}{n}\).
a) Tính \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).
b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}\).
c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 8\).
Vì \(\lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = \lim \frac{{ - 2}}{n} = 0\) nên \(\lim {v_n} = 4\).
b) \({u_n} + {v_n} = 8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}\).
Vì \(\lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = \lim \frac{{ - 1}}{n} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 12\).
Mà \(\lim {u_n} + \lim {v_n} = 12\).
Do đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n}\).
c) \({u_n}.{v_n} = \left( {8 + \frac{1}{n}} \right).\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}\).
Sử dụng kết quả của ý b, ta có: \(\lim \left( {32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\)
\(= \lim 32 - \lim \frac{{14}}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 32\).
Mà \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right) = 32\).
Do đó \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).
LT-VD4
Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}}\);
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right)\)
\(= \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8\).
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n}\)
\(= \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)} = \sqrt {0 + 1} = 1\).


- Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Bài 3 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục