Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều


Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right),left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 8 + frac{1}{n};{v_n} = 4 - frac{2}{n}.) a) Tính (lim {u_n},lim {v_n}.) b) Tính (lim left( {{u_n} + {v_n}} right)) và so sánh giá trị đó với tổng (lim {u_n} + lim {v_n}.) c) Tính (lim left( {{u_n}.{v_n}} right)) và so sánh giá trị đó với tổng (left( {lim {u_n}} right).left( {lim {v_n}} right).)

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n}\); \({v_n} = 4 - \frac{2}{n}\).

a) Tính \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}\).

c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 8\).

Vì \(\lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = \lim \frac{{ - 2}}{n} = 0\) nên \(\lim {v_n} = 4\).

b) \({u_n} + {v_n} = 8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}\).

Vì \(\lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = \lim \frac{{ - 1}}{n} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 12\).

Mà \(\lim {u_n} + \lim {v_n} = 12\).

Do đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n}\).

c) \({u_n}.{v_n} = \left( {8 + \frac{1}{n}} \right).\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}\).

Sử dụng kết quả của ý b, ta có: \(\lim \left( {32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\)

\(= \lim 32 - \lim \frac{{14}}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 32\).

Mà \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right) = 32\).

Do đó \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).

LT-VD4

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}}\);                   

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right)\)

\(= \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8\).

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n}\)

\(= \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)}  = \sqrt {0 + 1}  = 1\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải mục 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

    Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = 1) và công bội (q = frac{1}{2}.) a) So sánh (left| q right|) với 1. b) Tính ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.) Từ đó, hãy tính (lim {S_n}.)

  • Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

    Tính (lim left( { - {n^3}} right).)

  • Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

    Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau: a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\) b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

  • Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

    Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{5n + 1}}{{2n}};) b) (lim frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}};) c) (lim frac{{sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}};) d) (lim left( {2 - frac{1}{{{3^n}}}} right);) e) (lim frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}};) g) (lim frac{{2 + frac{1}{n}}}{{{3^n}}}.)

  • Bài 3 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

    a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (left( {{u_n}} right),) với ({u_1} = frac{2}{3},q = - frac{1}{4}.) b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí