Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$.

$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

B. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Xét dấu tam thức \(3{x^2} - 2x + 1\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\a = 3 > 0\end{array} \right.\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Xét dấu tam thức \( - {x^2} + 4x + 5\).

Phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 = 0\) có \(\Delta  > 0\), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.

Bảng xét dấu:

Suy ra \( - {x^2} + 4x + 5 > 0\) khi \(x \in ( - 1;5)\) và \( - {x^2} + 4x + 5 < 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )\).

c) Xét dấu tam thức \( - 4{x^2} + 12x - 9\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\a =  - 4 < 0\end{array} \right.\), phương trình \( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\).

Suy ra \( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0\) \(\forall x \ne \frac{3}{2}\).

Bài 2: Tìm m để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm.

Với \(m = 0\) thì \(f(x) =  - x - 1\) vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.

Với \(m \ne 0\) thì \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) là tam thức bậc hai.

Để \(f(x) < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta  = 1 + 4m < 0\end{array} \right.\) hay \( - \frac{1}{4} < m < 0\).

Vậy để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm thì \( - \frac{1}{4} < m < 0\).

Bài 3: Tìm m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Cần \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_1} \le 0\\{a_1} = 3 > 0\end{array} \right.\)

Ta có \(\Delta {'_1} = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) \le 0\) hay \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\).

Xét biểu thức \(7{m^2} - 7m + 7\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} = {( - 7)^2} - 4.7.7 =  - 147 < 0\\{a_2} = 7 > 0\end{array} \right.\) nên \(7{m^2} - 7m + 7 > 0\).

Suy ra không có giá trị m nào để \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\), hay \(\Delta {'_1} \le 0\).

Vậy không có giá trị m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bài 4: Chứng minh hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.

ĐKXĐ: \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 \ge 0\) (*)

Với \(m = 0\) thì (*) đúng với mọi x.

Với \(m \ne 0\), xét tam thức bậc hai \(f(x) = {m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 8(2{m^2} + 1) =  - 12{m^2} - 8 < 0\end{array} \right.\)

Suy ra \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.