Giải mục 3 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3

Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\).

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\)

Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \sin {x_0}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\cos \Delta x + \cos {x_0}\sin \Delta x - \sin {x_0}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\cos \Delta x - \sin {x_0}}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos {x_0}\sin \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos {x_0}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {{{\cos }^2}\Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( { - {{\sin }^2}\Delta x} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}.\sin \Delta x}}{{\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} = - 1.\frac{{\sin {x_0}.\sin 0}}{{\cos 0 + 1}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos {x_0}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}} = \cos {x_0}.1 = \cos {x_0}\end{array}\)

Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \cos {x_0}\)

Vậy \(f'\left( x \right) = \cos x\) trên \(\mathbb{R}\).

Thực hành 4

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\) tại \(x = \frac{{3\pi }}{4}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = {\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Vậy \(y'\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)}} = 2\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 4 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:
Giải mục 5 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\).
Giải mục 6 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (u = sin x) và hàm số (y = {u^2}).
Giải mục 7 trang 47, 48 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = 2{t^3} + 4t + 1\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây.
Bài 1 trang 48 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 3 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Bài 5 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số (wleft( t right) = 0,000758{t^3} - 0,0596{t^2} + 1,82t + 8,15)
Bài 6 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng
Bài 7 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức
Giải mục 2 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số (y = sqrt x ) tại điểm (x = {x_0}) với ({x_0} > 0).
Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số (y = x) tại điểm (x = {x_0}).
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định.