Bài 11. Nguyên hàm - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải mục 1 trang 4,5,6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Nguyên hàm của một số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1\)

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Câu 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);

b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}\)

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}\)

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) vì với \(x = 1\) ta có:

\(G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có: \(G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)\) nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm \(\int {{x^3}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 6,7,8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Giải mục 3 trang 8,9,10 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Giải bài tập 4.1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) \(F\left( x \right) = x\ln x\) và \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\); b) \(F\left( x \right) = {e^{\sin x}}\) và \(f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Giải bài tập 4.2 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 1\); b) \(f\left( x \right) = {x^3} - x\); c) \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}\); d) \(f\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}\).
Giải bài tập 4.3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\); b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\); c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\); d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).
Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính giá trị f(4).
Giải bài tập 4.6 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là (C). Xét điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất). a) Sau \(t = 5\) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Nguyên hàm