Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).

Đề bài

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$ ;

b) $\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx$ ;

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx$ ;

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx}$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} }$ , $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} }$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\sin x} dx = - \cos x + C,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$

Lời giải chi tiết

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos x} dx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 2\sin x + 3\cot x + C$

b) Từ công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x$ , áp dụng vào bài ta có:

$\cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - \cos x \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 2(1 - \cos x)$

Từ đó suy ra:

$\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 - \cos x} \right)} dx = 2\int {dx - 2\int {\cos x} dx = 2x - 2\sin x + C}$

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx$

$= \int {dx} - \int {\sin x} dx = x + \cos x + C$

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx = \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ . Biết rằng $f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$ và $f\left( 1 \right) = 1$ . Tính giá trị f(4).
Giải bài tập 4.6 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là (C). Xét điểm $M\left( {x;f\left( x \right)} \right)$ thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ${k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}$ và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)$ . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất). a) Sau $t = 5$ giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải bài tập 4.3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) $\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx$ ; b) $\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)$ ; c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$ ; d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$ .
Giải bài tập 4.2 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 1$ ; b) $f\left( x \right) = {x^3} - x$ ; c) $f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}$ ; d) $f\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}$ .
Giải bài tập 4.1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) $F\left( x \right) = x\ln x$ và $f\left( x \right) = 1 + \ln x$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ ; b) $F\left( x \right) = {e^{\sin x}}$ và $f\left( x \right) = {e^{\cos x}}$ trên $\mathbb{R}$ .
Giải mục 3 trang 8,9,10 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Giải mục 2 trang 6,7,8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Giải mục 1 trang 4,5,6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Nguyên hàm

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.