Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\);

b) \(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx\);

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx\);

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:

\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \).

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

\(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \);

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

\(\int {\cos x} dx = \sin x + C\), \(\int {\sin x} dx = - \cos x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\).

Lời giải chi tiết

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx \)

\(= 2\int {\cos x} dx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)

\(= 2\sin x + 3\cot x + C\).

b) Từ công thức nhân đôi \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\), áp dụng vào bài ta có:

\(\cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1 - \cos x \)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 2(1 - \cos x)\).

Từ đó suy ra:

\(\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 - \cos x} \right)} dx \)

\(= 2\int {dx - 2\int {\cos x} dx = 2x - 2\sin x + C} \).

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx \)

\(= \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx \)

\(= \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx\)

\( = \int {dx} - \int {\sin x} dx = x + \cos x + C\).

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx \)

\(= \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \)

\(= \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.7 trên 12 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)). Biết rằng (f'left( x right) = 2x + frac{1}{{{x^2}}}) với mọi (x in left( {0; + infty } right)) và (fleft( 1 right) = 1). Tính giá trị f(4).
Giải bài tập 4.6 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị là (C). Xét điểm (Mleft( {x;fleft( x right)} right)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ({k_M} = {left( {x - 1} right)^2}) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi (t = 0) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi (vleft( t right) = 160 - 9,8tleft( {m/s} right)). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất). a) Sau (t = 5) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải bài tập 4.3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {3sqrt x + frac{1}{{sqrt[3]{x}}}} right)} dx); b) (int {sqrt x left( {7{x^2} - 3} right)} dxleft( {x > 0} right)); c) (int {frac{{{{left( {2x + 1} right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx); d) (int {left( {{2^x} + frac{3}{{{x^2}}}} right)} dx).
Giải bài tập 4.2 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) (fleft( x right) = 3{x^2} + 2x - 1); b) (fleft( x right) = {x^3} - x); c) (fleft( x right) = {left( {2x + 1} right)^2}); d) (fleft( x right) = {left( {2x - frac{1}{x}} right)^2}).
Giải bài tập 4.1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) (Fleft( x right) = xln x) và (fleft( x right) = 1 + ln x) trên khoảng (left( {0; + infty } right)); b) (Fleft( x right) = {e^{sin x}}) và (fleft( x right) = {e^{cos x}}) trên (mathbb{R}).
Giải mục 3 trang 8, 9, 10 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Giải mục 2 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Giải mục 1 trang 4, 5, 6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số
Giải câu hỏi mở đầu trang 4 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Nguyên hàm