Giải câu hỏi mở đầu trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức


Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Đề bài

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).

Lời giải chi tiết

Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\).

Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\).

Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.

Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).

Ta có: \(\vec n= \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\)

\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:

\( - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0\)

\(\Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\) (1)

Với \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:

$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$.

Vậy \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí