Giải bài tập 5.8 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\)

Lời giải chi tiết

Đặt tên bốn mái của ngôi nhà và chọn hệ trục tọa độ như hình sau:

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên bằng nhau có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên \(OC = OD = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SOC vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \)

Khi đó, \(O\left( {0;0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right),S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\)

\(\overrightarrow {SC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right),\overrightarrow {DC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right),\overrightarrow {BC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\)

Do đó, hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.9 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \(z - 1 = 0\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \(x + y + 50z - 100 = 0\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Giải bài tập 5.10 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \(\overrightarrow F \) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \(\overrightarrow F \) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \(\overrightarrow F \) có phương
Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - z = 0,\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0\). a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 2 = 0,\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Giải bài tập 5.5 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\)
Giải bài tập 5.4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\).
Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 2y - z = 0\), \(\left( R \right):x + y - z = 0\).
Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với \(A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),\)\(D\left( {2; - 1;1} \right),A'\left( {0;1;2} \right)\). a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’. b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Giải bài tập 5.1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với trục Ox.
Giải mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Giải mục 4 trang 35,36 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Giải mục 3 trang 33,34,35 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 2 trang 32,33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Khái niệm vecto pháp tuyến