Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$ . Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|$ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $MN \bot \left( P \right)$ . Mà $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow n$ cùng phương. Do đó, tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$ . Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.$ nên $N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)$

b) Thay $x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}$ vào phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ ta có: $A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0$

$\Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0$

$\Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$ $\Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}$

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$ nên $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$ $= \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}}$ $= \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

LT11

Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0$ và $\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0$

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$ , $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)$ , mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)$ . Vì $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $2 \ne 5$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: $d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}$

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}$ .

VD5

Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Góc quan sát ngang của một camera là ${115^0}$ . Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0$ . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: $d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}$

Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:

$R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1;2; - 1} \right)$ và vuông góc với trục Ox.
Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với $A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),$ $D\left( {2; - 1;1} \right),A'\left( {0;1;2} \right)$ . a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’. b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):3x + 2y - z = 0$ , $\left( R \right):x + y - z = 0$ .
Giải bài tập 5.4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$ .
Giải bài tập 5.5 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0$
Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0,\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0$ . Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z = 0,\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0$ . a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải bài tập 5.8 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Giải bài tập 5.9 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$ , mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$ . Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Giải bài tập 5.10 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực $\overrightarrow F$ thì moment lực $\overrightarrow M$ được tính bởi công thức $\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\overrightarrow F$ có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\overrightarrow F$ có phương
Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Giải mục 4 trang 35,36 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
Giải mục 3 trang 33,34,35 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 2 trang 32,33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Khái niệm vecto pháp tuyến

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.