Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải mục 4 trang 35,36 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) và góc giữa hai giá của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).

Mà giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), giá của \(\overrightarrow {n'} \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) bằng góc giữa hai giá của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \).

b) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) bằng \({90^o}\), do đó, hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) vuông góc với nhau.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 36 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

\(\left( \alpha \right):3x + y - z + 1 = 0,\left( \beta \right):9x + 3y - 3z + 3 = 0\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {3;1; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {9;3; - 3} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.9 + 1.3 + 3.1 = 33 \ne 0\) nên hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không vuông góc với nhau.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 36 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), \(C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)\). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải chi tiết:

a) Bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường vuông góc với mặt sàn là: Mặt phẳng (Oyz), mặt phẳng (Oxz), mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt sàn, mặt phẳng (Q) chứa hai điểm B, C và vuông góc với mặt sàn.

Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (Oyz) là: \(x = 0\)

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)\) và đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2\sqrt 2 - 3;0} \right),\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 2 = 0\)

\(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 2 - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{2\sqrt 2 - 3}\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2\sqrt 2 - 3;2;0} \right)\)

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2\sqrt 2 - 3;2;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) là:

\(\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2\left( {y - 2\sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 2y - 4\sqrt 2 = 0\)

b) Các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là: (Oxz) và (Oyz); (Oxz) và (P).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Giải mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Giải bài tập 5.1 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với trục Ox.
Giải bài tập 5.2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với \(A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),\)\(D\left( {2; - 1;1} \right),A'\left( {0;1;2} \right)\). a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’. b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).
Giải bài tập 5.3 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 2y - z = 0\), \(\left( R \right):x + y - z = 0\).
Giải bài tập 5.4 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\).
Giải bài tập 5.5 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\)
Giải bài tập 5.6 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 2 = 0,\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Giải bài tập 5.7 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - z = 0,\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0\). a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải bài tập 5.8 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Giải bài tập 5.9 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng \(z - 1 = 0\), mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng \(x + y + 50z - 100 = 0\). Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Giải bài tập 5.10 trang 40 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \(\overrightarrow F \) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \(\overrightarrow F \) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \(\overrightarrow F \) có phương
Giải mục 3 trang 33,34,35 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 2 trang 32,33 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Khái niệm vecto pháp tuyến