Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Phú Lương - Thái Nguyên


Giải chi tiết đề thi học kì 2 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Phú Lương - Thái Nguyên với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Phần I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:\(\frac{{1 - x}}{{{x^2} + 1}} > \frac{1}{{x + 1}}\).

A.\(\forall x \in \mathbb{R}\)             B. \(x \ne  \pm 1\)

C. \(x \ne 1\)                D. \(x \ne  - 1\)

Câu 2. Bảng xét dấu sau là của nhị thức nào trong các nhị thức đã cho?

A.\(f(x) = 3x + 6\)

B. \(f(x) = 4 - 2x\)

C. \(f(x) =  - 2x - 4\)

D. \(f(x) = 6 - 3x\)

Câu 3. Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,a \ne 0,\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\) khi \(\Delta  = 0\).

B. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  < 0\).

C. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  \le 0\).

D. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\) khi \(\Delta  > 0\).

Câu 4.Trên đường tròn lượng giác điểm M biểu diễn cung \(\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\). M ở góc phần tư nào ?

A. I.                             B. II.

C. III.                          D. IV.

Câu 5. Trong các công thức sau công thức nào sai?

A. \(\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\)

B. \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\)

C. \(\cos (a + b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)

C. \(\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)

Câu 6. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\)?

A. \(\overrightarrow u ( - 2;1)\).                     B. \(\overrightarrow n (2;1)\)

C. \(\overrightarrow a (1; - 2)\)                       D. \(\overrightarrow b ( - 1;2)\)

Câu 7.  Đường thẳng \(\Delta \) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2; - 3)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(m = \frac{{ - 2}}{3}\) là hệ số góc của \(\Delta \)

B. \(\overrightarrow b (3;2)\) là một véc tơ pháp tuyến của\(\Delta \)

C.\(m = \frac{3}{2}\) là hệ số góc của \(\Delta \)

D. \(\overrightarrow n (2;3)\) là một véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)

Câu 8. Trong các điểm sau, điểm nào  thuộc đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

A. \(A(2;3)\)                B. \(B(3;1)\)

C. \(C(1; - 2)\)             D. \(A(0;3)\)

Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm \(A( - 2;3)\) đến đường thẳng \(4x - 3y - 3 = 0\) ta được kết quả.

A. \(d = 2\)                  B. \(d = 4\)

C. \(d =  - 5\)               D. \(d = \frac{{20}}{{\sqrt {13} }}\)

Câu 10. Xác định tọa độ tâm I của đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\).

A. \(I( - 2;3)\)              B. \(I(4; - 6)\)

C. \(I(2; - 3)\)              D. \(I( - 4;6)\)

Câu 11. Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x\) nhận giá trị âm trên khoảng nào?

A. \(( - \infty ;0)\)                    B. \(( - 1;3)\)

C. \((1;3)\)                   D. \((3; + \infty )\)

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình  \(\frac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\)là.

A. \((1;3)\)                   B. \([1;3)\)

C. \([1;3]\)                   D.\((1;3]\)

 Câu 13. Tính\(\sin a\) biết \(\cos a =  - \frac{1}{3}\)và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)

A. \(\sin a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B.  \(\sin a =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\sin a =  - \frac{{\sqrt {10} }}{3}\)

D. \(\sin a = \frac{{\sqrt {10} }}{3}\)

Câu 14. Cho\(\tan a = 2\) tính giá trị \(A = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \frac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\) 

A.  \(A = 5\)                B. \(A = 4\)

C. \(A =  - 3\)              D. \(A =  - 2\)

Câu 15. Biến tổng sau thành tích \(B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\) được kết quả

A. \(\cos 2a(1 - 2\cos a)\)  

B. \(\cos 2a(1 + 2\sin a)\)       

C. \( - \cos 2a(2\cos a + 1)\)

D. \(\cos 2a(1 - 2\sin a)\)

Câu 16.Phương trình tổng quát của đường thẳng\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) là:

A. \(x + y - 2 = 0\)

B. \(x - y + 2 = 0\)

C. \(x - y - 2 = 0\)

D. \(x + y + 2 = 0\)

Câu 17. Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y + 3 = 0;\)\({\Delta _2}:x + 2y + 3 = 0\) là:

A. Vuông góc.

B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

C. Song song.

D.Trùng nhau .

Câu 18. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 3 = 0;\)\({\Delta _2}:3x + 4y + 3 = 0\)

A. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

B. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) =  - \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)

C. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

D. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)

Câu 19.Viết phương trình đường tròn tâm \(I(2; - 1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :4x - 3y - 1 = 0\).

A. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1\)

B. \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1\)   

C. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 2\)

D. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Câu 20.Cho tam giác \(ABC\) mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\sin (A + B) =  - \sin C\)

B. \(\cos (A + B) =  - \cos C\)

C. \(\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2}\)

D. \(\tan \frac{{A + B}}{2} = \cot \frac{C}{2}\)

Câu 21. Rút gọn biểu thức \(M = 2{\cos ^2}(\frac{\pi }{2} - \frac{a}{2}) + \sqrt 2 \sin (\frac{\pi }{4} + a) - 1\)

A. \(M = \sin a\)

B. \(M =  - \sin a\)

C. \(M = \cos a\)

D. \(M =  - \cos a\)

Câu 22. Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(M(0;2)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để tam thức \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 2)x + 9m - 4\) luôn âm trên \(\mathbb{R}\).

A.0                              B.13

C.12                            D. vô số

Câu 24. Tìm trên đường tròn \({(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 9\) điểm M sao cho M cách đường thẳng \(y =  - 2\)khoảng lớn nhất.

A. \(M(0;3)\)                B. \(M(3;6)\)

C. \(M(1;\sqrt 5  + 3)\)            D. \(M(4;7)\)

Phần 2. Tự luận (4 điểm)

Bài 1. Giải bất phương trình: \(x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\)

Bài 2. Cho \(\sin a =  - \frac{2}{3}\). Tính \(9.\cos 2a\)

Bài 3. Cho hai điểm \(A(1;2),B(3;4)\).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB

b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Bài 4.Tìm \(m\)để phương trình  \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Bài 5. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: \(\cot \frac{B}{2} = \frac{{a + c}}{b}\)

HẾT

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

 

PHẦN TRẮC NGHIỆM

1D

2C

3B

4B

5C

6A

7B

8D

9B

10A

11C

12B

13A

14C

15D

16B

17B

18C

19D

20A

21A

22D

23C

24B

 

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng phân thức \(\frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\) xác định khi \(B\left( x \right) \ne 0\)

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne  - 1\left( {ld} \right)\\x \ne  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \ne  - 1\)

Chọn D

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng qui tắc xét dấu của nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

+) \(a.f\left( x \right) > 0\) với \(x > \frac{{ - b}}{a}\)

+) \(a.f\left( x \right) < 0\) với \(x <  - \frac{b}{a}\)

Cách giải:

Từ bảng xét dấu ta thấy nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b\) có nghiệm \(x =  - 2\) và có hệ số \(a < 0\) nên trong các đáp án chỉ có đáp án C với \(f\left( x \right) =  - 2x - 4\) thỏa mãn (vì có hệ số \(a =  - 2 < 0\) và \( - 2x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 2\)).

Chọn C

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng qui tắc xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)  \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(a.f\left( x \right) > 0\)

Cách giải:

Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  < 0\) là khẳng định đúng.

Chọn B

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì điểm M biểu diễn cung \(\alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) thuộc góc phần tư thứ hai

Cách giải:

Vì \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên điểm M biểu diễn cung \(\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\) thuộc góc phần tư thứ hai.

Chọn B

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\)

Cách giải:

Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) nên C sai.

Chọn C

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Cách giải:

Đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\).

Chọn A

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng \(\Delta \) có VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) \(\left( {a;b \ne 0} \right)\) thì có hệ số góc \(k = \frac{b}{a}\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right)\)

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\) là VTCP của \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) có hệ số góc \(k =  - \frac{3}{2}\) và VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\)

Chọn B

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng để chọn ra điểm thuộc đường thẳng đó.

Cách giải:

+) Với \(A\left( {2;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A

+) Với \(B\left( {3;1} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + t\\1 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B

+) Với \(C\left( {1; - 2} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + t\\ - 2 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C

+) Với \(A\left( {0;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn) nên \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng đã cho

Chọn D

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách giải:

Gọi đường thẳng \(\Delta :4x - 3y - 3 = 0\)

Khoảng cách cần tìm là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 4\)

Chọn B

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\)  

Cách giải:

Tâm \(I\) của đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\) là \(I\left( {\frac{4}{{ - 2}};\frac{{ - 6}}{{ - 2}}} \right)\)  hay \(I\left( { - 2;3} \right)\)

Chọn A

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\)

Nếu \({x_1} < x < {x_2}\) thì \(a.f\left( x \right) < 0\)

Nếu \(\left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.\)  thì \(a.f\left( x \right) > 0\) 

Cách giải:

Đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x\) có hai nghiệm \(x = 0;x = 3\)

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\)

Như vậy tam thức đã cho có giá trị âm trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) nên nó có giá trị âm trên \(\left( {1;3} \right)\)

Chọn C

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \(\frac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \ge 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \le 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x > 3\end{array} \right.\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 \le x < 3\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {1;3} \right)\)

Chọn B

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Cách giải:

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{8}{9}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)  (do \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \))

Chọn A

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cách giải:

Vì \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\), ta có:

\(A = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \frac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \frac{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} - 5\)

\( = 1 + {2^2} + \frac{{1 + 2}}{{1 - 2}} - 5 =  - 3\)

Chọn C

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

Cách giải:

Ta có:

\(B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\sin a - \sin 3a} \right) + \cos 2a\\ = 2\cos \frac{{a + 3a}}{2}.\sin \frac{{a - 3a}}{2} + \cos 2a\\ = 2\cos 2a.\sin \left( { - a} \right) + \cos 2a\\ =  - 2\cos 2a\sin a + \cos 2a\\ = \cos 2a\left( {1 - 2\sin a} \right)\end{array}\)

Chọn D

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Rút \(t\) theo \(x;y\), từ đó suy ra phương trình tổng quát

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x\\t = y - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = y - 2 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho là \(x - y + 2 = 0\)

Chọn B

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và đường thẳng \({\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\left( {a';b' \ne 0} \right)\)

Cách giải:

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) \( = 2.1 + 1.2 = 4 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không vuông góc.

Chọn B

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và đường thẳng \({\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\) là \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {a.a' + b.b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {a{'^2}}  + b{'^2}}}\)

Cách giải:

Gọi góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \(\alpha \), ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 1} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\) \( = \frac{1}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

Chọn C

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Bán kính đường tròn là \(R = d\left( {I;\Delta } \right)\)\( = \frac{{\left| {4.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)

Chọn D

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: \(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \) , \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha ,\) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)

Cách giải:

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \) (tổng ba góc trong tam giác)

+) \(\sin \left( {A + B} \right)\) \( = \sin \left( {\pi  - C} \right) = \sin C\) nên A sai

+) \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)\) \( =  - \cos C\) nên B đúng

+) \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\) nên C đúng

+) \(\tan \frac{{A + B}}{2}\) \( = \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{A + B}}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\) nên D đúng

Chọn A

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\) và \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Cách giải:

Ta có:

\(M = 2{\cos ^2}(\frac{\pi }{2} - \frac{a}{2}) + \sqrt 2 \sin (\frac{\pi }{4} + a) - 1\)

\( = 2.\frac{{1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)}}{2}\) \( + \sqrt 2 \left( {\sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}} \right) - 1\)

\( = 1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)\) \( + \sqrt 2 .\left( {\sin a.\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos a.\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - 1\)

\( =  - \cos a + \sin a + \cos a\) \( = \sin a\)

Chọn A

Câu 22 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)  

Cách giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\)

Vì \(d \bot \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)  nên \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;1} \right)\) làm VTPT

Suy ra \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Chọn D

Câu 23 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng: Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)  

Cách giải:

Ta có: \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 2)x + 9m - 4 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\left( {ld} \right)\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 9m - 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 13m < 0\) \( \Leftrightarrow  - 13 < m < 0\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 1} \right\}\)  nên có 12 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Chọn C

Câu 24 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Và vẽ hình, lập luận giá trị lớn nhất của khoảng cách.

Cách giải:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3;3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(\Delta :y =  - 2 \Leftrightarrow y + 2 = 0\)

Xét \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 + 2} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 5 > 3\) nên đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\)

Khi đó khoảng cách lớn nhất từ \(M \in \left( C \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(MH\) với \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\Delta \) với đường tròn \(\left( C \right)\) .

Đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {0;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\) là 1 VTPT của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d\): \(x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 3\)

Tọa độ giao điểm của d và \(\left( C \right)\) thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \({M_1}\left( {3;0} \right),{M_2}\left( {3;6} \right)\)

Ta có \(d\left( {{M_1};\Delta } \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{1} = 2\) và \(d\left( {{M_2};\Delta } \right) = \frac{{\left| {6 + 2} \right|}}{1} = 8\)

Nên khoảng cách lớn nhất là \(8 \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\left( {3;6} \right)\)

Chọn B

PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1 (TH):

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định rồi chuyển vế đổi dấu để giải bất phương trình

Cách giải:

Giải bất phương trình: \(x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\)

Điều kiện: \(x \ge 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\\ \Leftrightarrow x >  - 2\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x \ge 1\)

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {1; + \infty } \right)\)

Bài 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)

Cách giải:

Cho \(\sin a =  - \frac{2}{3}\). Tính \(9.\cos 2a\)

Ta có: \(9.\cos 2a = 9.\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right)\) \( = 9 - 18{\sin ^2}a\) \( = 9 - 18.{\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2}\) \( = 1\)

Bài 3 (VD):

Phương pháp:

a) Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

b) Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Cho hai điểm \(A(1;2),B(3;4)\).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB

Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)\)

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB nên nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)\) làm VTPT

Phương trình đường thẳng cần tìm là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 2y - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)

b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \) và trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {\frac{{1 + 3}}{2};\frac{{2 + 4}}{2}} \right)\) hay \(I\left( {2;3} \right)\)

Đường tròn có đường kính \(AB\) nên có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \) và có tâm là trung điểm \(I\left( {2;3} \right)\) của đoạn \(AB.\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\)

Bài 4 (VD):

Phương pháp:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Tìm \(m\)để phương trình  \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4m > 0\end{array} \right.\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 + 4m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m \ne 0\) và \(m \ne  - 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Bài 5 (VDC):

Phương pháp:

Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác \(ABC\) : \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

Cách giải:

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông  nếu: \(\cot \frac{B}{2} = \frac{{a + c}}{b}\)

Áp dụng định lý hàm số sin ta có:\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)\( = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2R\sin A\\b = 2R\sin B\\c = 2R\sin C\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\cot \frac{B}{2} = \frac{{a + c}}{b}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{2R\sin A + 2R\sin C}}{{2R\sin B}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin A + \sin C}}{{\sin B}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin B.\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} = \sin A + \sin C\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}}\) \( = \sin A + \sin C\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{B}{2} = 2\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \cos \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2}\) (vì \(\frac{{A + C}}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \frac{{A + C}}{2} = \cos \frac{B}{2}\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \frac{B}{2} = \cos \frac{{A - C}}{2}\\ \Rightarrow \frac{B}{2} = \frac{{A - C}}{2}\\ \Leftrightarrow B = A - C\\ \Leftrightarrow B + C = A\end{array}\)

Mà \(A + B + C = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

Nên \(\widehat A = {90^0}\) hay \(\Delta ABC\) vuông tại A.

HẾT

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài