Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải toán lớp 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải bài tập 9 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất; b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất; c) Biểu thức (a{b^2}) đạt giá trị lớn nhất

Đề bài

 

 

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

 a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm biểu thức liên hệ của a theo b hoặc ngược lại. Sau đó lập hàm số theo a hoặc b, lập bảng biến thiên và quan sát

 

Lời giải chi tiết

Ta có: a, b > 0 và a + b = 10

a) Đặt: \(f(a) = ab = a(10 - a) =  - {a^2} + 10a\)

\(f'(a) =  - 2a + 10 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 25\)

Vậy để biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất là 25 thì a = 5 và b = 5

b) Đặt: \(f(a) = {a^2} + {b^2} = {a^2} + {(10 - a)^2} = 2{a^2} - 20a + 100\)

\(f'(a) = 4a - 20 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 50\)

Vậy để biểu thức \({a^2} + {b^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là 50 thì a = 5 và b = 5

c) Đặt: \(f(a) = a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a\)

\(f'(a) = 3{a^2} - 40a + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{3}\\a = 10\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(\frac{{10}}{3}) = \frac{{4000}}{{27}}\)

Vậy để biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{4000}}{{27}}\) thì a = \(\frac{{10}}{3}\) và b = \(\frac{{20}}{3}\)

 

Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store