Giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\) b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}(\) với \(n \ne - 1)\);

- \(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{1 - n}}}}{{1 - n}}\);

- \(\int {{{\sin }^2}} (x)dx = \) sử dụng công thức nửa góc: \({\sin ^2}(x) = \frac{{1 - \cos (2x)}}{2}\);

- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}} dx = - \cot (x)\);

- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln (a)}}\), với \(a > 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

Áp dụng công thức nửa góc:

\({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\)

Ta có:

\(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} + C\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{2}{9} \times {(3x)^{3/2}} + 4\cot (x) + C\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính các tích phân sau: a) \(\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx\) b) \(\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) d) \(\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx\)
Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Giải bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: \(y = \sqrt x - 2\), \(y = 0\), \(x = 4\), \(x = 9\).
Giải bài tập 4.30 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trọng lực của Trái Đất tác dụng lên một vệ tinh trong quá trình vệ tinh này được phóng lên từ mặt đất tới vị trí cách tâm Trái Đất \(r\) (m) xác định bởi công thức: \(F(r) = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\), trong đó: \(M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) là khối lượng Trái Đất, \(m\) (kg) là khối lượng vệ tinh và \(G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}\) là hằng số hấp dẫn. Trọng lực này sinh công \(W = \int_a^b F (h){\mkern 1mu} dh\) (J) khi vệ tinh thay
Giải bài tập 4.31 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một ô tô đang chạy với vận tốc \(20{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động với vận tốc \(v(t) = - 5t + 20{\mkern 1mu} {\rm{(m/s)}}\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài bao nhiêu mét?
Giải bài tập 4.32 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một bồn chứa nước bắt đầu bị rỉ từ đáy. Tốc độ nước chảy ra từ đáy bồn tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi hàm số \(V'(t) = 200 - 4t\)(lít/phút) với \(0 \le t \le 50\) và \(V(t)\) là hàm số cho biết thể tích nước trong bồn tại thời điểm \(t\). Tính lượng nước chảy ra khỏi bồn trong 10 phút đầu tiên từ khi bồn bị rỉ nước.
Giải bài tập 4.33 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong kinh tế, nếu hàm số \(C(x)\) là tổng chi phí khi sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa nào đó thì tốc độ thay đổi tức thời của chi phí theo số lượng sản phẩm được sản xuất \(C'(x)\) được gọi là chi phí biên. Chi phí biên \(C'(n)\) là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ \(n\) sản phẩm lên \(n + 1\) sản phẩm. Giả sử chi phí biên khi sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty là \(C'(x) = 2x + 80\) (USD/ sản phẩm) thì tổng chi phí sản xuất tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản xuất ra tăng từ
Giải bài tập 4.34 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tốc độ tăng cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số \(f'(t) = 0,00093{t^2} - 0,04792t + 0,76806{\mkern 1mu} \) (kg/tháng) với \(f(t)\) là cân nặng của bé gái lúc \(t\) tháng tuổi. Hãy ước tính cân nặng của một bé gái 5 tháng tuổi, biết cân nặng trung bình của bé gái khi mới sinh là \(3,3{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\).
Giải bài tập 4.35 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{2}{x}\), biết \(F(1) = 2\). Giá trị của \(F(3)\) bằng: A. \(2 + 2\ln 3\) B. \(2 + \ln 3\) C. \(2 - 2\ln 3\) D. \(2 - \ln 3\)
Giải bài tập 4.36 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^2}}}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) là: A. \(2{x^2} - \frac{1}{x} + C\) B. \(2{x^2} + \frac{1}{x} + C\) C. \(4 - \frac{2}{{{x^3}}} + C\) D. \(4 + \frac{2}{{{x^3}}} + C\)
Giải bài tập 4.37 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([1;2]\) và \(\int_1^2 {\left[ {4f(x) - 2x} \right]} dx = 1\). Khi đó \(\int_1^2 f (x)dx\) bằng: A. \( - 1\) B. \( - 3\) C. \(3\) D. \(1\)
Giải bài tập 4.38 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),y = 0,x = - 1\) và \(x = 5\) (Hình 4.29). Mệnh đề nào sau đây dúng?
Giải bài tập 4.39 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x,y = {x^3} - {x^2}\) và các đường thẳng \(x = - 2,x = 1\).
Giải bài tập 4.40 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},y = 0,x = 0\) và \(x = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng: A. \(\pi \int_0^1 {{e^{4x}}} {\mkern 1mu} dx\) B. \(\pi \int_0^1 {{e^{2x}}} {\mkern 1mu} dx\) C. \(\int_0^1 {{e^{2x}}} {\mkern 1mu} dx\) D. \(\int_0^1 {{e^{4x}}} {\mkern 1mu} dx\)
Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Giải bài tập 4.42 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một cái cổng hình parabol như Hình 4.31. Chiều cao \(GH = 4{\mkern 1mu} {\rm{m}}\), chiều rộng \(AB = 4{\mkern 1mu} {\rm{m}},AC = BD = 0,9{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Người ta làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \(CDEF\) tô đậm với giá 1.200.000 đồng/m², phần còn lại làm khung hoa sắt với giá 900.000 đồng/m².
Giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm \(t\) giây là \(v = 4\cos (t)\) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây, biết khi \(t = \frac{\pi }{2}\) giây thì con lắc có li độ \(x = 4\) cm.