Giải bài tập 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu (overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} ).

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra \(\overrightarrow {OC} = - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {OB} \).

Ta có:

\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} \)

\(= 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \).

\(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} \)

\(= 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO} \).

Do đó, \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).

Chứng minh: Nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SD} - \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \).

Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, AB = CD, AB // CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 10 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.7 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho (SM = 2AM). Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho (CN = 2BN). Chứng minh rằng (overrightarrow {MN} = frac{1}{3}left( {overrightarrow {SA} + overrightarrow {BC} } right) + overrightarrow {AB} ).
Giải bài tập 2.8 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn (overrightarrow {AI} = 3overrightarrow {IG} ), ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8cm (H.2.30).
Giải bài tập 2.9 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
Giải bài tập 2.10 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {C'C;} ) b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BC;} ) c) (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {B'A'} ).
Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ({45^0}), hãy tính: a) (overrightarrow a .overrightarrow b ); b) (left( {overrightarrow a + 3overrightarrow b } right).left( {overrightarrow a - 2overrightarrow b } right)) c) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}).
Giải bài tập 2.12 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = overrightarrow {AC} .overrightarrow {CD} + overrightarrow {BC} .overrightarrow {DC} ); b) (overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0).
Giải bài tập 2.5 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có (overrightarrow {AA'} = overrightarrow a ,overrightarrow {AB} = overrightarrow b ) và (overrightarrow {AC} = overrightarrow c ). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ): a) (overrightarrow {AB'} ); b) (overrightarrow {B'C} ); c) (overrightarrow {BC'} ).
Giải bài tập 2.4 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CC'} \); b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD'} - \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \); c) \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {A'C} \).
Giải bài tập 2.3 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ (overrightarrow a )) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ (overrightarrow b ,overrightarrow c ,overrightarrow d ,overrightarrow e )).
Giải bài tập 2.2 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có (AB = 2,AD = 3) và (AA' = 4). Tính độ dài của các vectơ (overrightarrow {BB'} ,overrightarrow {BD} ) và (overrightarrow {BD'} ).
Giải bài tập 2.1 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho ba vectơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) phân biệt và đều khác (overrightarrow 0 ). Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Nếu (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) đều cùng hướng với (overrightarrow c ) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng hướng. b) Nếu (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) đều ngược hướng với (overrightarrow c ) thì (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng h
Giải mục 4 trang 54, 55, 56 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Giải mục 3 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Giải mục 2 trang 49, 50, 51 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Giải mục 1 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Vectơ trong không gian
Giải câu hỏi mở đầu trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
Lý thuyết Vecto trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
1. Vecto trong không gian