Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ đứng (OBC.O'B'C') có đáy là tam giác (OBC) vuông tại (O). Cho biết (Bleft( {3;0;0} right)), (Cleft( {0;1;0} right)), (O'left( {0;0;2} right)). Tính góc giữa: a) hai đường thẳng (BO') và (B'C). b) hai mặt phẳng (left( {O'BC} right)) và (left( {OBC} right)). c) đường thẳng (B'C) và mặt phẳng (left( {O'BC} right)).

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng BO' và B'C.

b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC).

c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra \(\overrightarrow {BO'} \) và \(\overrightarrow {B'C} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right|\).

b) Với mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\), ta cần chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương, rồi tính tích có hướng để lần lượt tìm ra vectơ pháp tuyến \(\vec n\).

Với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\), chỉ ra rằng \(\overrightarrow {OO'} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Từ đó suy ra \(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right|\).

c) Từ câu a và b, ta có \(\overrightarrow {B'C} \) là một vectơ chỉ phương của \(B'C\), \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra \(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right|\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có toạ độ các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Suy ra \(B'\left( {3;0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BO'\) và \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Suy ra:

\(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\)

Từ đó \(\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'\).

b) Mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {O'BC} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có \(OO' \bot \left( {OBC} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {OBC} \right)\).

Suy ra

\(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}\).

Vậy \(\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'\).

c) Ta có \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\).

Ta có \(\vec n = \left( {2;6;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra

\(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}\)

Vậy \(\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {13^o}15'\).


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí