Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo


1. Phương trình mặt cầu trong không gian Khái niệm mặt cầu Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I;R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình

(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2

Nhận xét: Phương trình x2+y2+z22ax2by2cz+d=0 với a2+b2+c2d>0 là phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R=a2+b2+c2d.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5.

b) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1).

c) Có tâm A(1;0;2) và đi qua điểm B(2;4;1).

Giải:

a) Mặt cầu (S) có phương trình (x1)2+(y2)2+(z3)3=25.

b) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2;4;4) là trung điểm AB và bán kính R = JA = 11.

Vậy (S) có phương trình (x2)2+(y4)2+(z4)2=11.

c) Mặt cầu (S) có tâm A(1;0;-2) và đi qua điểm B(2;4;1) nên có bán kính R = AB = 26.

Vậy (S) có phương trình (x1)2+y2+(z+2)2=26.

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:

a) (S): (x3)2+(y7)2+(z+1)2=81.

b) (S’): x2+y2+z2=4.

Giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;7;-1) và bán kính R = 81 = 9.

b) Mặt cầu (S’) có tâm O(0;0;0) và bán kính R’ = 4 = 2.

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) x2+y2+z2+8x6y+2z10=0.

b) x2+y2+z2+x+y6z+33=0.

Giải:

a) Phương trình x2+y2+z2+8x6y+2z10=0 có dạng x2+y2+z22ax2by2cz+d=0 với a=4;b=3;c=1;d=10.

Ta có a2+b2+c2d=16+9+1+10=36>0.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-4;3;-1), bán kính R = 6.

b) Phương trình x2+y2+z2+x+y6z+33=0 có dạng x2+y2+z22ax2by2cz+d=0 với a=12;b=12;c=3;d=33.

Ta có a2+b2+c2d=14+14+933=472<0.

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

2. Vận dụng của phương trình mặt cầu

Ví dụ: Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assisstant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0, đồng thời thuộc mặt cầu (S): (x32)2+(y50)2+(z10)2=109 (đơn vị độ dài tính theo mét).

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J.

Giải:

 

Mặt cầu (S) có phương trình (x32)2+(y50)2+(z10)2=109 nên có tâm I(32;50;0) và bán kính R=109.

b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32;50;10) xuống mặt sân có tọa độ J(32;50;0).

c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ = 10, IM = R, suy ra

JM=IM2IJ2=109100=3.

Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3m.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.