

Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
1. Phương trình mặt cầu trong không gian Khái niệm mặt cầu Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.
1. Phương trình mặt cầu trong không gian
Khái niệm mặt cầu
Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.
Chú ý: Cho mặt cầu S(I;R).
Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.
Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.
Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.
Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình |
Nhận xét: Phương trình với là phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính .
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S):
a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5.
b) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1).
c) Có tâm A(1;0;2) và đi qua điểm B(2;4;1).
Giải:
a) Mặt cầu (S) có phương trình .
b) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2;4;4) là trung điểm AB và bán kính R = JA = .
Vậy (S) có phương trình .
c) Mặt cầu (S) có tâm A(1;0;-2) và đi qua điểm B(2;4;1) nên có bán kính R = AB = .
Vậy (S) có phương trình .
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a) (S): .
b) (S’): .
Giải:
a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;7;-1) và bán kính R = = 9.
b) Mặt cầu (S’) có tâm O(0;0;0) và bán kính R’ = = 2.
Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
a) .
b) .
Giải:
a) Phương trình có dạng với .
Ta có .
Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-4;3;-1), bán kính R = 6.
b) Phương trình có dạng với .
Ta có .
Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.
2. Vận dụng của phương trình mặt cầu
Ví dụ: Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assisstant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0, đồng thời thuộc mặt cầu (S): (đơn vị độ dài tính theo mét).
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân.
c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J.
Giải:
Mặt cầu (S) có phương trình nên có tâm I(32;50;0) và bán kính .
b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32;50;10) xuống mặt sân có tọa độ J(32;50;0).
c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ = 10, IM = R, suy ra
.
Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3m.




- Giải mục 1 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo