Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xác định \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) và tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d\), rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2}\), \(b = \frac{7}{2}\), \(c =  - \frac{1}{2}\) và \(d =  - 1\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{7}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 2\), \(b =  - 3\), \(c = 1\) và \(d = 100\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {1^2} - 100 =  - 86 < 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = \frac{1}{2}\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.\)

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2}\).


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí