Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải toán lớp 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán..

Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\) b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Viết các vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) của \(d\) và \(d'\).

Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\). Nếu điểm đó không nằm trên \(d'\) thì hai đường thẳng đó song song với nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó trùng nhau.

Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\) và một điểm \(M'\) thuộc \(d'\), sau đó tính tích hỗn hợp \(\left[ {\vec a,\vec a} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích hỗn hợp đó bằng \(0\), hai đường thẳng đó cắt nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' =  - \frac{1}{2}\).

Thay \(y =  - 1\) và \(t' =  - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne  - 1\).

Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).

Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) =  - 15 \ne 0.\)

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store