Giải bài tập 7 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo>
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \(Oxyz\), cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\). a) Chứng minh \(a\), \(b\) vuông góc và cắt nhau. b) Tìm toạ độ giao điểm của \(a\) và \(b\).
Đề bài
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \(Oxyz\), cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh \(a\), \(b\) vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm toạ độ giao điểm của \(a\) và \(b\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Viết các vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec b\) lần lượt của \(a\) và \(b\). Để chứng minh \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau, ta cần chứng minh tích vô hướng \(\vec a.\vec b = 0\). Để chứng minh \(a\) và \(b\) cắt nhau, lấy một điểm \(A\) bất kì thuộc \(a\) và một điểm \(B\) bất kì thuộc \(b\), sau đó chứng minh \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\overrightarrow {AB} = 0\).
b) Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(t\) và \(t'\), từ đó tìm được toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
Lời giải chi tiết
a) Trục \(a\) của mũi khoan đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;3} \right)\).
Đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan đi qua điểm \(B\left( {1;2;6} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec b = \left( {4;2;0} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec b = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\), suy ra \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau.
Mặt khác, ta lại có \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( { - 6;12;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;6} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\overrightarrow {AB} = \left( { - 6} \right).0 + 12.0 + 0.6 = 0\), tức là \(a\) và \(b\) cắt nhau.
b) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.\).
Ở hai phương trình đầu, ta có \(t' = 0\). Ở phương trình cuối cùng, ta có \(t = 2\).
Vậy \(t' = 0\) và \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của hệ. Suy ra toạ độ giao điểm là \(\left( {1;2;6} \right)\).
- Giải bài tập 8 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 9 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 10 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 11 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Chân trời sáng tạo