Giải Bài 82 trang 92 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60^\circ$, AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat {CBA} = 90^\circ  - \widehat {CAB} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$.

Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat {KEB} = 90^\circ  - \widehat {KBE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$.

•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat {CAE} = \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ$.

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat {CEA} + \widehat {CAE} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat {CEA} = 90^\circ  - \widehat {CAE} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Do đó $\widehat {DEB} = \widehat {CEA} = 60^\circ$ (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat {KEB} = \widehat {DEB}$ (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

•Ta có $\widehat {KEA} + \widehat {KED} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Hay $\widehat {KEA} + \widehat {KEB} + \widehat {BED} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {KEA} = 180^\circ  - \widehat {KEB} - \widehat {BED} = 180^\circ  - 60^\circ  - 60^\circ  = 60^\circ$

Do đó $\widehat {KEA} = \widehat {KEB}$ (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

$\widehat {ACE} = \widehat {AKE}\left( { = 90^\circ } \right)$

AE là cạnh chung,

$\widehat {CAE} = \widehat {KAE}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

$\widehat {EKB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\left( { = 90^\circ } \right)$

BE là cạnh chung,

$\widehat {KEB} = \widehat {DEB}$ (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.