Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6

a) Sai

Ta có: \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48\)

Ta có \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(A\left( {3;37} \right)\) là: \(y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107\)

b) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y =  - 6x - 5\) nên ta có hệ số góc bẳng \( - 6\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 =  - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1\) vậy \(B\left( {0;1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(B\left( {0;1} \right)\) là: \(y =  - 6\left( {x - 0} \right) + 1 =  - 6x + 1\)

c) Sai

Ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m \ne  - 6\).

d) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\).

\(f(x) =  - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\)

\( \Rightarrow f'(x) =  - m{x^2} + 2mx - 3\)

\(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\({\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) =  - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\)

\({\rm{TH2: }}m \ne 0\)

\( - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.\)

Vậy \(0 \le m \le 3\).