60 bài tập trắc nghiệm tích phân mức độ nhận biết, thông hiểu
Làm đề thiCâu hỏi 1 :
Biết f(x) là hàm liên tục trên R và 9∫0f(x)dx=9. Khi đó giá trị của 4∫1f(3x−3)dx là
- A 27
- B 3
- C 24
- D 0
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Lời giải chi tiết:
Đặt 3x−3=y⇒3dx=dy⇔dx=dy3
Đổi cận:
I=4∫1f(3x−3)dx=139∫0f(y)dy=139∫0f(x)dx=13.9=3
Chọn: B.
Câu hỏi 2 :
Tích phân I=e∫1dxx−3 bằng:
- A ln3−e2
- B ln3−e4
- C ln3+e4
- D lne−32
Đáp án: A
Phương pháp giải:
∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Lời giải chi tiết:
I=e∫1dxx−3=ln|x−3||e1=ln|e−3|−ln2=ln3−e2
Chọn A.
Câu hỏi 3 :
Biết 3∫112x+3dx=mln5+nln3(m,n∈R). Tính P=m−n
- A P = 0
- B P = -1
- C P=32
- D P=−32
Đáp án: D
Phương pháp giải:
∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Lời giải chi tiết:
3∫112x+3dx=12ln|2x+3||31=12(ln9−ln5)=ln3−12ln5⇒n=1;m=−12⇒P=m−n=−12−1=−32
Chọn D.
Câu hỏi 4 :
Tính tích phân 1∫0dxx2−x−12
- A ln916
- B 14ln916
- C −17ln916
- D 17ln916
Đáp án: D
Phương pháp giải:
1x2−x−12=1(x−4)(x+3)=Ax−4+Bx+3
Lời giải chi tiết:
Ta có : 1x2−x−12=1(x−4)(x+3)=17(1x−4−1x+3)
⇒I=171∫0(1x−4−1x+3)dx=17ln|x−4x+3||10=17(ln34−ln43)=17ln916
Chọn D.
Câu hỏi 5 :
Cho 1∫0(1x+1−1x+2)dx=aln2+bln3 với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
- A a+b=2
- B a−2b=0
- C a+b=−2
- D a+2b=0
Đáp án: D
Phương pháp giải:
∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Lời giải chi tiết:
1∫0(1x+1−1x+2)dx=(ln|x+1|−ln|x+2|)|10=ln|x+1x+2||10=ln23−ln12=ln2−ln3+ln2=2ln2−ln3⇒{a=2b=−1⇒a+2b=2−2=0
Chọn D.
Câu hỏi 6 :
Tính tích phân I=2∫0x2√x3+1dx
- A 169
- B −169
- C 529
- D −529
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ t=√x3+1
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√x3+1⇔t2=x3+1⇔2tdt=3x2dx⇔x2dx=23tdt
Đổi cận {x=0⇒t=1x=2⇒t=3, khi đó ta có: I=3∫12t23dt=23.t33|31=6−29=529
Chọn C.
Câu hỏi 7 :
Cho I=e∫1√1+3lnxxdx và t=√1+3lnx Chọn khẳng định sai?
- A I=232∫1tdt
- B I=232∫1t2dt
- C I=29t3|21
- D I=149
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt t=√1+3lnx
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√1+3lnx⇔t2=1+3lnx⇔2tdt=3xdx⇒dxx=23tdt
Đổi cận {x=1⇒t=1x=e⇒t=2, khi đó ta có: I=232∫1t2dt⇒ Đáp án A sai.
Chọn A.
Câu hỏi 8 :
Cho I=4∫0x3√x2+9dx. Nếu đặt t=√x2+9 thì ta có kết quả nào sau đây?
- A I=4∫0(t2−9)tdt
- B I=4∫0(t2−9)t2dt
- C I=5∫3(t2−9)tdt
- D I=5∫3(t2−9)t2dt
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Đặt t=√x2+9
Lời giải chi tiết:
I=4∫0x3√x2+9dx=4∫0x2√x2+9xdx
Đặt t=√x2+9⇔t2=x2+9⇔tdt=xdx và x2=t2−9, đổi cận {x=0⇒t=3x=4⇒t=5 . Khi đó ta có:
I=5∫3(t2−9)t.tdt=5∫3(t2−9)t2dt
Chọn D.
Câu hỏi 9 :
Biến đổi 3∫0x1+√1+xdx thành 2∫1f(t)dt , với t=√1+x. Khi đó f(t) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?
- A f(t)=2t2−2t
- B f(t)=t2+t
- C f(t)=t2−t
- D f(t)=2t2+2t
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt t=√1+x
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√1+x⇔t2=1+x⇔2tdt=dx và x=t2−1, đổi cận {x=0⇒t=1x=3⇒t=2, khi đó ta có: I=2∫1t2−11+t2tdt=2∫12t(t−1)dt=2∫1(2t2−2t)dt⇒f(t)=2t2−2t.
Chọn A.
Câu hỏi 10 :
Nếu đặt u=√1−x2 thì tích phân I=1∫0x5√1−x2dx trở thành:
- A I=0∫1u(1−u)du
- B I=1∫0u(1−u2)du
- C I=0∫1(u4−u2)du
- D I=1∫0u2(1−u2)2du
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Đặt u=√1−x2
Lời giải chi tiết:
I=1∫0x5√1−x2dx=1∫0x4√1−x2xdx
Đặt u=√1−x2⇔u2=1−x2⇔udu=−xdx và x2=1−u2
Đổi cận {x=0⇒u=1x=1⇒u=0, khi đó ta có: I=−0∫1(1−u2)2u2du=1∫0u2(1−u2)2du
Chọn D.
Câu hỏi 11 :
Nếu 1∫0f(x)dx=5 và 2∫1f(x)dx=2 thì 2∫0f(x)dx bằng
- A
3.
- B
10.
- C
7.
- D 52.
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết tích phân c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx=b∫af(x)dx.
Lời giải chi tiết:
Ta có 2∫0f(x)dx=1∫0f(x)dx+2∫1f(x)dx=5+2=7.
Chọn C
Câu hỏi 12 :
Cho I=π4∫π6dxcos2xsin2x=a+b√3 với a, b là số hữu tỉ. Tính giá trị a – b.
- A −13
- B −23
- C 13
- D 23
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi sin2x=2sinxcosx
Lời giải chi tiết:
I=π4∫π6dxcos2xsin2x=π4∫π64dxsin22x=−2cot2x|π4π6=−2(0−1√3)=2√3=2√33⇒{a=0b=23⇒a−b=−23
Chọn B.
Câu hỏi 13 :
Tính tích phân I=π6∫−π2(sin2x−cos3x)dx
- A I=23
- B I=34
- C I=−34
- D I=916
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết:
I=π6∫−π2(sin2x−cos3x)dx=(−cos2x2−sin3x3)|π6−π2=−712−16=−34
Chọn C.
Câu hỏi 14 :
Tính I=1∫0e3xdx.
- A I=e−1.
- B I=e3−1.
- C e3−13.
- D e3+12.
Đáp án: C
Phương pháp giải:
∫ekxdx=1kekx+C
Lời giải chi tiết:
I=1∫0e3xdx=13e3x|10=e3−13
Chọn: C
Câu hỏi 15 :
Cho 1∫0f(x)dx=2 và 1∫0g(x)dx=5, khi đó 1∫0[f(x)−2g(x)]dx bằng
- A −3
- B 12
- C −8
- D 1
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân b∫a[αf(x)±βg(x)]dx=αb∫af(x)dx±βb∫ag(x)dx
Lời giải chi tiết:
Ta có: 1∫0[f(x)−2g(x)]dx=1∫0f(x)dx−21∫0g(x)dx=2−2.5=−8
CHỌN C
Câu hỏi 16 :
Cho f(x),g(x) là hai hàm số liên tục trên R. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
- A b∫a(f(x).g(x))dx=b∫af(x)dx.b∫ag(x)dx
- B a∫af(x)dx=0
- C b∫af(x)dx=b∫af(y)dy
- D b∫a(f(x)−g(x))dx=b∫af(x)dx−b∫ag(x)dx
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân.
Lời giải chi tiết:
Ta có
{a∫af(x)dx=0;b∫af(x)dx=b∫af(y)dy;b∫a(f(x)−g(x))dx=b∫af(x)dx−b∫ag(x)dx nên B, C, D đúng.
A sai vì tích phân một tích không bằng tích các tích phân.
Chọn A.
Câu hỏi 17 :
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;c), a<b<c và b∫af(x)dx=5,b∫cf(x)dx=1. Tính tích phân I=c∫af(x)dx.
- A I=4.
- B I=5.
- C I=6.
- D I=−5.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng tích chất của tích phân : Với a<b<c ta có : c∫af(x)dx=b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx.
Lời giải chi tiết:
Ta có I=c∫af(x)dx=b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx=b∫af(x)dx−b∫cf(x)dx=5−1=4.
Chọn A
Câu hỏi 18 :
Cho I=3∫0x1+√x+1dx. Nếu đặt t=√x+1 thì I=2∫1f(t)dt, trong đó f(t) bằng:
- A f(t)=2t2+2t
- B f(t)=t2−t
- C f(t)=2t2−2t
- D f(t)=t2+t
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.
Khi đổi từ biến x sang biến t ta cần đổi cận.
Từ đó ta tìm được hàm số f(t).
Lời giải chi tiết:
Ta có: I=3∫0x1+√x+1dx
Đặt t=√x+1 ⇒t2=x+1⇒dx=2tdt
Đổi cận: {x=0⇒t=1x=3⇒t=2
⇒I=2∫0t2−11+t2tdt =22∫0(t−1)(t+1)t+1tdt=22∫0t(t−1)dt=22∫0(t2−t)dt
⇒f(t)=2(t2−t)=2t2−2t.
Chọn C.
Câu hỏi 19 :
Cho 2∫1f(x)dx=2019 và 4∫2f(x)dx=2020. Giá trị của 4∫1f(x)dx bằng:
- A 1
- B −4039
- C 4039
- D –1
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng: b∫af(x)dx±b∫ag(x)dx=b∫a[f(x)±g(x)]dx
Lời giải chi tiết:
Ta có: 4∫1f(x)dx=2∫1f(x)dx+4∫2f(x)dx=2019+2020=4039.
Chọn C.
Câu hỏi 20 :
Cho 1∫0f(x)dx=3, giá trị của 1∫03f(x)dx bằng:
- A 27
- B 1
- C 3
- D 9
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của tích phân: b∫akf(x)dx=kb∫af(x)dx.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 1∫03f(x)dx=31∫0f(x)dx=3.3=9.
Chọn D.
Câu hỏi 21 :
Nếu 2∫1f(x)dx=3 thì 2∫12f(x)dx bằng:
- A 8
- B 6
- C 3
- D 4
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của tích phân: b∫akf(x)dx=kb∫af(x)dx.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 2∫12f(x)dx=22∫1f(x)dx=2.3=6.
Chọn B.
Câu hỏi 22 :
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Tích phân b∫af(x)dx bằng:
- A f(a)−f(b)
- B F(b)−F(a)
- C F(a)−F(b)
- D f(b)−f(a)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng khái niệm của tích phân để chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết:
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
Khi đó ta có: b∫af(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a).
Chọn B.
Câu hỏi 23 :
Cho 2∫1f(x)dx=2 và 3∫2f(x)dx=3. Tích phân 3∫1f(x)dx bằng:
- A 6
- B 1
- C 5
- D −1
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tích phân: b∫af(x)dx=c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx.
Lời giải chi tiết:
3∫1f(x)dx=2∫1f(x)dx+3∫2f(x)dx=2+3=5.
Chọn C.
Câu hỏi 24 :
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn 1∫0f(x)dx=2 ; 3∫1f(x)dx=6. Tính I=3∫0f(x)dx.
- A I=12.
- B I=8.
- C I=36.
- D I=4.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất của tích phân: b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx=c∫af(x)dx.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng tính chất ta có: 3∫0f(x)dx=1∫0f(x)dx+3∫1f(x)dx
⇒I=3∫0f(x)dx=2+6=8.
Chọn B.
Câu hỏi 25 :
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(1)−F(0) bằng
- A 1∫0−F(x)dx
- B 1∫0f(x)dx
- C 1∫0F(x)dx
- D 1∫0−f(x)dx
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng: b∫af(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a) với F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số y=f(x)
Lời giải chi tiết:
Ta có: 1∫0f(x)dx=F(x)|10=F(1)−F(0)
Chọn B.
Câu hỏi 26 :
Nếu m∫0(2x−1)dx=2 thì m có giá trị bằng:
- A [m=1m=−2
- B [m=1m=2
- C [m=−1m=2
- D [m=−1m=−2
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tích phân: b∫af(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a).
Lời giải chi tiết:
Ta có: m∫0(2x−1)dx=2
⇔(x2−x)|m0=2⇔m2−m=2⇔m2−m−2=0⇔(m−2)(m+1)=0⇔[m−2=0m+1=0⇔[m=2m=−1
Chọn C.
Câu hỏi 27 :
Tính I=1∫0(2x−5)dx.
- A −3
- B −4
- C 2
- D 4
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: ∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1).
Lời giải chi tiết:
I=1∫0(2x−5)dx=(x2−5x)|10=(1−5)−0=−4.
Chọn B.
Câu hỏi 28 :
Với cách đổi biến u=√1+3lnx thì tích phân e∫1lnxx√1+3lnxdx trở thành:
- A 232∫1(u2−1)du
- B 292∫1(u2−1)du
- C 22∫1(u2−1)du
- D 292∫1u2−1udu
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Đổi cận từ x sang u.
+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính du và thế vào biểu thức f(x) lấy tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đổi cận: {x=1⇒u=1x=e⇒u=2.
Ta có: u=√1+3lnx⇒u2=1+3lnx⇒lnx=u2−13.
u=√1+3lnx⇒du=(√1+3lnx)′dx=(1+3lnx)′2√1+3lnxdx=32x√1+3lnxdx.⇒1x√1+3lnxdx=23du ⇒e∫1lnxx√1+3lnxdx=2∫1u2−13.23du=292∫1(u2−1)du.
Chọn B.
Câu hỏi 29 :
Tính tích phân I=e2∫edxxlnxlnex ta được kết quả có dạng lnab (với ab là phân số tối giản), khi đó a – b bằng:
- A 1
- B -1
- C 2
- D -2
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt t=lnx, sử dụng công thức lnab=lna+lnb
Lời giải chi tiết:
Ta có: I=e2∫edxxlnxlnex=e2∫edxxlnx(1+lnx)
Đặt t=lnx⇔dt=dxx
Đổi cận: {x=e⇔t=1x=e2⇔t=2, khi đó
I=2∫1dtt(t+1)=2∫1(1t−1t+1)dx=(ln|t|−ln|t+1|)|21=ln|tt+1||21=ln23−ln12=ln43=lnab⇔{a=4b=3⇔a−b=1
Chọn A.
Câu hỏi 30 :
Tính tích phân I=2√3∫2√3x√x2−3dx ta được :
- A I=π
- B I=π6
- C I=π3
- D I=π2
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt t=√x2−3, sau đó tính tích phân đã cho và sử dung phương pháp đổi biến một lần nữa, khi xuất hiện dạng 1t2+a2 ta đặt t=atanα
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√x2−3⇔t2=x2−3⇔tdt=xdx và x2=t2+3
Đổi cận : {x=2⇔t=1x=2√3⇔t=3, khi đó ta có :
I=2√3∫2√3xdxx2√x2−3=3∫1√3tdt(t2+3)t=√33∫1dtt2+3
Đặt t=√3tanα⇔dt=√3cos2αdα=√3(1+tan2α)dα
Đổi cận : {t=1⇔π6t=3⇔t=π3 , khi đó ta có : I=√3π3∫π6√3(1+tan2α)dα3tan2α+3=π3∫π6dα=α|π3π6=π6
Chọn B.
Câu hỏi 31 :
Cho tích phân I=2∫12x√x2−1dx và u=x2−1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
- A I=2∫1√udu
- B I=3∫0√udu
- C I=23√27
- D I=23u32|30
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt u=x2−1
Lời giải chi tiết:
Đặt u=x2−1⇔du=2xdx
Đổi cận {x=1⇔t=0x=2⇔t=3 , khi đó I=3∫0√udu=3∫0u12du=23u32|30=23.332=23√27
Vậy khẳng định A sai.
Chọn A.
Câu hỏi 32 :
Biết I=π2∫0sin2xcosx1+cosxdx=−a+2lnb, với a, b là các số nguyên dương. Chọn đáp án đúng?
- A a = 2b
- B a + b = 5
- C ab = 3
- D a – b + 1 = 0
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t=cosx
Lời giải chi tiết:
I=π2∫0sin2xcosx1+cosxdx=π2∫02sinxcos2x1+cosxdx
Đặt t=cosx⇔dt=−sinxdx
Đổi cận {x=0⇔t=1x=π2⇔t=0 , khi đó
I=−20∫1t2dt1+t=21∫0(t−1+11+t)dt=2(t22−t+ln|1+t|)|10=2(−12+ln2)=−1+2ln2⇔{a=1b=2
Chọn D.
Câu hỏi 33 :
Biết 4∫0xln(x2+9)dx=aln5+bln3+c trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức T=a+b+c là
- A T=10.
- B T=9.
- C T=8.
- D T=11.
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đặt x2+9=t⇒2xdx=dt⇒xdx=12dt.
Đổi cận:
Khi đó, ta có: I=4∫0xln(x2+9)dx=1225∫9lntdt=12[t.ln|t||259−∫259td(lnt)]=12[t.lnt|259−∫259t.1tdt]
=12[t.lnt|259−∫259dt]=12[t.lnt|259−t|259]=12[(25ln25−9ln9)−(25−9)]=25ln5−9ln3−8
Suy ra, a=25,b=−9,c=−8⇒T=a+b+c=8
Chọn: C.
Câu hỏi 34 :
Có bao nhiêu số thực b thuộc (π;3π) sao cho b∫π4cos2xdx=1?
- A 8
- B 2
- C 4
- D 6
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Tính tích phân vế trái theo b , từ đó được phương trình ẩn b .
- Giải phương trình đó ta tìm được b , sử dụng điều kiện b∈(π;3π) để tìm b .
Lời giải chi tiết:
b∫π4cos2xdx=1⇔2b∫πcos2xd(2x)=1⇔2sin2x|bπ=1⇔2sin2b−2sin2π=1⇔sin2b=12
⇔[2b=π6+k2π2b=5π6+k2π,k∈⇔[b=π12+kπb=5π12+kπ,k∈
+) b=π12+kπ,k∈Z
b∈(π;3π)⇔π<π12+kπ<3π⇔1112<k<3512⇒k∈{1;2}
⇒Có 2 giá trị của b thỏa mãn.
+) b=5π12+kπ,k∈Z
b∈(π;3π)⇔π<5π12+kπ<3π⇔712<k<3112⇒k∈{1;2}
⇒Có 2 giá trị của b thỏa mãn.
Vậy có tất cả 4 số nguyên b thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn: C.
Câu hỏi 35 :
Giả sử rằng I=0∫−13x2+5x−1x−2dx=aln23+b. Khi đó giá trị của a + 2b là :
- A 30
- B 40
- C 50
- D 60
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Bậc tử lớn hơn bậc mẫu ⇒ Chia tử cho mẫu.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
I=0∫−13x2+5x−1x−2dx=0∫−1(3x+11+21x−2)dx=(3x22+11x+21ln|x−2|)|0−1=21ln2+192−21ln3=21ln23+192⇒{a=21b=192⇒a+2b=21+19=40
Chọn B.
Câu hỏi 36 :
Cho 5∫4dxx2+3x+2=aln2+bln3+cln5+dln7 với a, b, c, d là các số nguyên. Tính P=ab+cd
- A P = 5
- B P = 3
- C P = – 4
- D P = 2
Đáp án: A
Phương pháp giải:
1x2+3x+2=1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2 , đồng nhất hệ số tìm hằng số A, B và sử dụng công thức ∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Lời giải chi tiết:
Ta có :
1x2+3x+2=1(x+1)(x+2)=x+2−(x+1)(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2⇒5∫4dxx2+3x+2=5∫4(1x+1−1x+2)dx=ln|x+1x+2||54=ln67−ln56=ln3635=ln36−ln35=2ln6−(ln5+ln7)=2ln2+2ln3−ln5−ln7⇒{a=2b=2c=−1d=−1⇒ab+cd=4+1=5
Chọn A.
Câu hỏi 37 :
Tính tích phân 0∫13x+1x2+2x+1dx .
- A 3ln2 + 2
- B - 3ln2 – 2
- C 3ln2 + 1
- D - 3ln2 + 1
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Mẫu chứa nghiệm bội, phân tích 3x+1x2+2x+1=3x+1(x+1)2=A(x+1)2+Bx+1 , đồng nhất hệ số tìm A, B.
+) Sử dụng các công thức ∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C;∫1(ax+b)2=−1a.1ax+b+C
Lời giải chi tiết:
0∫13x+1x2+2x+1dx=0∫13x+1(x+1)2dx=0∫13x+3−2(x+1)2dx=0∫13x+1dx−20∫1dx(x+1)2=(3ln|x+1|+2x+1)|01=2−3ln2−1=1−3ln2
Chọn D.
Câu hỏi 38 :
Tính I=1∫0dtt2+t+1
- A I=π√33
- B I=π√39
- C I=−π√39
- D Một kết quả khác.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
t2+t+1=(t+12)2+34 , đặt t+12=√32tanx
Lời giải chi tiết:
I=1∫0dtt2+t+1=1∫0dt(t+12)2+34
Đặt x+12=√32tanx⇔dt=√32(1+tan2x)dx
Đổi cận {t=0⇒x=π6t=1⇒x=π3, khi đó ta có I=π3∫π6√32(1+tan2x)dx34(1+tan2x)=2√3t|π3π6=2√3π6=π√39
Chọn B.
Câu hỏi 39 :
Tính 2∫1(x−1x+2)2dx bằng:
- A I=154−6ln4
- B I=72−12ln2
- C I=394−12ln2
- D Một đáp số khác.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Phân tích (x−1x+2)2=(1−3x+2)2=1−6x+2+9(x+2)2
Lời giải chi tiết:
2∫1(x−1x+2)2dx=2∫1(1−3x+2)2dx=2∫1(1−6x+2+9(x+2)2)dx=(x−6ln|x+2|−9x+2)|21=2−6ln4−94−1+6ln3+3=6ln34+74
Chọn D.
Câu hỏi 40 :
Biết 37∫0e√3x+4dx=a.e5+b4e2+c với a,b,c∈Z. Tính T=a+b+c
- A 0
- B 2
- C 4
- D 1
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt t=√3x+4, sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√3x+4⇔t2=3x+4⇔2tdt=3dx, đổi cận {x=0⇒t=2x=7⇒t=5
Khi đó ta có: I=37∫0e√3x+4dx=25∫2et.tdt
Đặt {u=tdv=etdt⇔{du=dtv=et⇒I=2[t.et|52−5∫2etdt]=2[t.et|52−et|52]=2[5e5−2e2−e5+e2]=2(4e5−e2)
⇒{a=8b=−8c=0⇒a+b+c=0
Chọn A.
Câu hỏi 41 :
Đặt I=2∫1dxx√1+x3 và t=√1+x3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A x3=t2−1
- B x2dx=23tdt
- C I=3∫√223(t2−1)dt
- D I=3∫√2(1t−1−1t+1)dt
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ t=√1+x3.
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√1+x3⇔t2=1+t3⇔x3=t2−1
⇒3x2dx=2tdt⇔x2dx=23tdt
Đổi cận {x=1⇔t=√2x=2⇔t=3⇒I=2∫1dxx√1+x3=2∫1x2dxx3√1+x3=3∫√223tdt(t2−1)t=233∫√2dtt2−1=133∫√2(1t−1−1t+1)dt
Vậy đáp án D sai.
Chọn D.
Câu hỏi 42 :
Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;+∞) và 3∫0f(√x+1)dx=8. Tính tích phân I=2∫1xf(x)dx
- A I=2
- B I=8
- C I=4
- D I=16
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Từ 3∫0f(√x+1)dx=8, đặt ẩn phụ t=√x+1.
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√x+1⇔t2=x+1⇔2tdt=dx, đổi cận {x=0⇒t=1x=3⇒t=2, khi đó ta có:
I=2∫1f(t)2tdt=22∫1xf(x)dx=8⇔I=2∫1xf(x)dx=4.
Chọn C.
Câu hỏi 43 :
Cho b∫0ex√ex+3dx=2 với b∈K. Khi đó K là khoảng nào trong các khoảng sau?
- A K=(1;2)
- B K=(0;1)
- C K=(12;32)
- D K=(2;3)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ t=√ex+3
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√ex+3⇔t2=ex+3⇒2tdt=exdx, đổi cận {x=0⇒t=2x=b⇒t=√eb+3 , khi đó ta có:
I=√eb+3∫22tdtt=2t|√eb+32=2√eb+3−4=2⇔√eb+3=3⇔eb+3=9⇔eb=6⇔b=ln6∈(1;2)
Chọn A.
Câu hỏi 44 :
Tính tích phân I=√3∫0√3−x2dx
- A I=3π2
- B I=3π4
- C I=π√32
- D I=π√43
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đặt x=√3sint (hoặc x=√3cost)
Lời giải chi tiết:
Đặt x=√3sint⇔dx=√3costdt, đổi cận {x=0⇒t=0x=√3⇒t=π2, khi đó ta có:
I=π2∫0√3−3sin2t.√3costdt=3π2∫0cos2tdt=3π2∫01+cos2t2dt=32(t+sin2t2)|π20=32.π2=3π4
Chọn B.
Câu hỏi 45 :
Cho tích phân I=√3∫1√1+x2x2dx ta được:
- A √2−2√3+ln2−√3√2−1
- B √2−2√3+ln√2−12−√3
- C √2−2√3
- D ln2−√3√2−1
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đặt t=√1+x2x
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√1+x2x⇔t2x2=1+x2⇔x2(t2−1)=1⇒x2=1t2−1⇒2xdx=−2t(t2−1)2dt
⇒dxx=−tdt(t2−1)2.(t2−1)=−tdtt2−1
Đổi cận {x=1⇒t=√2x=√3⇒t=2√3, khi đó ta có:
I=−2√3∫√2t2dtt2−1=√2∫2√3(1+1t2−1)dt=(√2−2√3)+√2∫2√31t2−1dt=(√2−2√3)+12ln|t−1t+1||√22√3=(√2−2√3)+12(ln(3−2√2)−ln(7−4√3))=√2−2√3+ln(√2−1)−ln(2−√3)=√2−2√3+ln1−√22−√3
Chọn B.
Câu hỏi 46 :
Tích phân 4∫0dx2x+1 bằng:
- A ln9
- B ln3
- C 20
- D log3
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Sử dụng công thức tính tích phân: x2∫x1dxax+b=1aln|ax+b||x2x1.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 4∫0dx2x+1=12ln|2x+1||40=12ln|2.4+1|=12ln9=ln3.
Chọn B
Câu hỏi 47 :
Biết 1∫03e√3x+1dx=a5e2+b3e+c(a,b,c∈Q) . Tính P=a+b+C
- A
P = 18
- B
P = 10
- C
P = 3
- D P = 12
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đặt t=√3x+1
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√3x+1⇔t2=3x+1⇔2tdt=3dx
Đổi cận {x=0⇔t=1x=1⇔t=2, khi đó ta có: 1∫03e√3x+1dx=2∫1et.2tdt=22∫1tetdt
Đặt {u=tdv=etdt⇔{du=dtv=et⇒22∫1tetdt=2(tet|21−2∫1etdt)=2(tet|21−et|21)=2(2e2−e−(e2−e))=2e2
⇒{a=10b=c=0⇒P=a+b+c=10
Chọn B.
Câu hỏi 48 :
Giả sử π4∫0cosxsinx+cosxdx=aπ+bln2 với a, b là các số hữu tỉ. Tính ab.
- A 14
- B 38
- C 12
- D 34
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Tách cosx=12(cosx+sinx+cosx−sinx)
Lời giải chi tiết:
π4∫0cosxsinx+cosxdx=12π4∫0cosx+sinx+cosx−sinxsinx+cosxdx=12π4∫0dx+12π4∫0(sinx+cosx)′sinx+cosxdx=12.π4+12ln|sinx+cosx||π40=π8+12ln√2=π8+14ln2⇒{a=18b=14⇒ab=1814=12
Chọn C.
Câu hỏi 49 :
Cho tích phân I=π4∫0sinxsin2xdx=ab√c. Trong ddos ab là phân số tối giản và a,b,c∈N. Tính a2+b2−c
- A 8
- B 6
- C 12
- D 35
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi sin2x=2sinxcosx
Đặt ẩn phụ t=sinx
Lời giải chi tiết:
I=π4∫0sinxsin2xdx=2π4∫0sin2xcosxdx
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx, đổi cận {x=0⇒t=0x=π4⇒t=√22
⇒I=2√22∫0t2dt=2t33|√220=23(√22)3=23.2√28=16√2⇒{a=1b=6c=2⇒a2+b2−c=35
Chọn D.
Câu hỏi 50 :
Cho tích phân I=π3∫0tan2xcos4xdx=ab√c, trong đó ab tối giản và a,b,c∈N. Vậy tích abc gần bằng giá trị nào nhất?
- A 211
- B 121
- C 20
- D 50
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức 1cos2x=tan2x+1
Đặt ẩn phụ t=tanx
Lời giải chi tiết:
tan2xcos4x=tan2xcos2x.1cos2x=tan2x(tan2x+1).1cos2x
Đặt t=tanx⇒dt=dxcos2x , đổi cận {x=0⇒t=0x=π3⇒t=√3
⇒I=√3∫0t2(t2+1)dt=√3∫0(t4+t2)dt=(t55+t33)|√30=9√35+√3=145√3⇒{a=14b=5c=3⇒abc=210
Chọn A.
Câu hỏi 51 :
Tính tích phân I=π4∫π6sinx−cosxsinx+cosxdx
- A I=ln6√2+√6
- B I=ln√2+√66
- C I=ln4√2+√6
- D I=ln√2+√64
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Đặt t=sinx+cosx
Lời giải chi tiết:
Đặt t=sinx+cosx⇒dt=(cosx−sinx)dx, đổi cận {x=π6⇒t=1+√32x=π4⇒t=√2
⇒I=√2∫1+√32−dtt=−ln|t||√21+√32=−ln√2+ln1+√32=ln1+√32√2=ln√2+√64
Chọn D.
Câu hỏi 52 :
Với a=π2∫04sin3x1+cosxdx;b=π3∫π2(sin2x+cosx)dx. Tính giá trị của biểu thức P=a+2b√3 có dạng m−n√32, khi đó m−n=?
- A 2+√3
- B 5
- C 4−2√3
- D 2
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Tính a: Tách sin3x=(1−cos2x)sinx sau đó đặt t=cosx
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính b
Lời giải chi tiết:
a=π2∫04sin3x1+cosxdx=4π2∫0(1−cos2x)sinx1+cosxdx=4π2∫0(1−cosx)sinxdx=−4π2∫0(1−cosx)d(cosx)=−4(cosx−cos2x2)|π20=2b=π3∫π2(sin2x+cosx)dx=(−cos2x2+sinx)|π3π2=1+2√34−32=2√3−54⇒P=a+2b√3=10−5√32⇒{m=10n=5⇒m−n=5
Chọn B.
Câu hỏi 53 :
Biết rằng I=π6∫π3cosxsin2xdx=a+b√33, với a,b∈Z. Tính S=a+2b.
- A S=−1
- B S=1
- C S=−2
- D S=2
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Đặt t=sinx
Lời giải chi tiết:
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx, đổi cận {x=π3⇒t=√32x=π6⇒t=12
⇒I=12∫√32dtt2=−1t|12√32=−2+2√3=−2√3+2√3=−6+2√33⇒{a=−6b=2⇒a+2b=−2
Chọn C.
Câu hỏi 54 :
Biết π2∫π3cosxdx=a+b√3,(a,b∈Q). Tính T=2a+6b.
- A T=−4.
- B T=3.
- C T=−1.
- D T=2.
Đáp án: C
Phương pháp giải:
∫cosxdx=sinx+C
Lời giải chi tiết:
π2∫π3cosxdx=sinx|π2π3=sinπ2−sinπ3=1−√32=a+b√3,(a,b∈Q)⇒{a=1b=−12⇒T=2a+6b=2.1+6.−12=−1
Chọn: C
Câu hỏi 55 :
Cho 3∫1f(x)dx=4. Tính I=1∫0f(2x+1)dx
- A I=4
- B I=8
- C I=2
- D I=9
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Đặt x=2t+1
Lời giải chi tiết:
Đặt x=2t+1⇔dx=2dt
Đổi cận {x=1⇒t=0x=3⇔t=1⇒3∫1f(x)dx=1∫0f(2t+1)2dt=21∫0f(2x+1)dx=4⇔I=1∫0f(2x+1)dx=2
Chọn C.
Câu hỏi 56 :
Giá trị của I=π4∫−π4sin6x+cos6x6x+1dx được viết dưới dạng aπb, trong đó a,b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Tính |a−b|.
- A |a−b|=27
- B |a−b|=25
- C |a−b|=30
- D |a−b|=32
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng MTCT.
Lời giải chi tiết:
Sử dụng MTCT ta tính được
⇒I=π4∫−π4sin6x+cos6x6x+1dx=532π=aπb⇒{a=5b=32⇒|a−b|=27
Chọn A.
Câu hỏi 57 :
Tính tích phân I=2∫1ln(1+x)dx.
- A I=3ln3+2ln2−1.
- B I=3ln3−2ln2+1.
- C I=ln274.
- D I=ln274−1.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần hoặc máy tính casio để tính tích phân
Lời giải chi tiết:
Đặt{u=ln(1+x)dv=dx⇔{du=dxx+1v=x, khi đó I=x.ln(1+x)|21−2∫1xdxx+1=2.ln3−ln2−2∫1xx+1dx.
Ta có 2∫1xx+1dx=2∫1x+1−1x+1dx=2∫1(1−1x+1)dx=(x−ln|x+1|)|21=2−ln3−1+ln2=1+ln2−ln3
Vậy I=2.ln3−ln2−(1+ln2−ln3)=3.ln3−2.ln2−1=ln274−1.
Chọn D.
Câu hỏi 58 :
Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn 5∫1dxx√3x+1=aln3+bln5. Tính giá trị của biểu thức P=a2+ab+3b2.
- A P=11
- B P=5
- C P=2
- D P=−2
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Đặt t=√3x+1
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√3x+1⇔t2=3x+1⇔2tdt=3dx⇒dx=2tdt3, đổi cận {x=1⇒t=2x=5⇒t=4
⇒I=5∫1dxx√3x+1=4∫22tdt3t2−13.t=24∫2dtt2−1=4∫2(1t−1−1t+1)dt=ln|t−1t+1||42=ln35−ln13=ln3−ln5+ln3=2ln3−ln5⇒{a=2b=−1⇒P=a2+ab+3b2=22−2+3(−1)2=5.
Chọn B.
Câu hỏi 59 :
Tính tích phân I=1∫0x.exdx.
- A I=2e+1
- B I=−1
- C I=1
- D I=2e−1
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=xdv=exdx⇒{du=dxv=ex
⇒I=x.ex|10−1∫0exdx=e−ex|10=e−(e−1)=1.
Chọn C.
Câu hỏi 60 :
Tính tích phân I=e∫1ln2xxdx.
- A I=13
- B I=1
- C I=225
- D I=0
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Đặt t=lnx.
Lời giải chi tiết:
Đặt t=lnx⇒dt=dxx. Đổi cận {x=1⇒t=0x=e⇒t=1.
⇒I=1∫0t2dt=t33|10=13
Chọn A.
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm nguyên tích phân độ vận dụng, vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm tích phân độ nhận biết có đáp án và lời giải chi tiết
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục