50 bài tập trắc nghiệm tích phân mức độ nhận biết

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  =  - 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}  =  - 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:

  • A \( - 10\)
  • B \(12\)
  • C \( - 17\)
  • D \(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {mf\left( x \right) + ng\left( x \right)} \right]dx}  = m\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + n\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + 3\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \)\( =  - 2 + 3.\left( { - 5} \right) =  - 17\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Giá trị của \(\int\limits_0^\pi  {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \) là:

  • A \(1\).
  • B \(0\).
  • C \( - 1\).
  • D \( - 2\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác: \(\int {\sin kxdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\), \(\int {\cos kxdx}  = \dfrac{1}{k}\sin kx + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^\pi  {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2\sin x + \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi \\ = 2\sin \pi  + \dfrac{1}{2}\cos 2\pi  - 2\sin 0 - \dfrac{1}{2}\cos 0\\ = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right],\,\,f\left( 4 \right) = 2019,\,\,\int\limits_{ - 1}^4 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2020.\) Tính \(f\left( { - 1} \right)\)?

  • A \(f\left( { - 1} \right) =  - 1\)
  • B \(f\left( { - 1} \right) = 1\)
  • C \(f\left( { - 1} \right) = 3\)
  • D \(f\left( { - 1} \right) = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân để làm bài toán: \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right).\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f'\left( x \right)dx}  = 2020\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( 4 \right) - f\left( { - 1} \right) = 2020\\ \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right) = f\left( 4 \right) - 2020\\ \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right) = 2019 - 2020 =  - 1.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx} \) ta được kết quả:

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(1\)
  • C \(\dfrac{3}{2}\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét dấu của biểu thức \(1 - x\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) và phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {1 - x} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {1 - x} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx}  - \int\limits_1^2 {\left( {1 - x} \right)dx} \\\,\,\,\, = \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} - \left( {0 - \dfrac{1}{2}} \right) = 1\end{array}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}\) ta được:

  • A  ln2                                         
  • B  0                                            
  • C  ln3                                         
  • D  \(\frac{\pi }{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt \(t={{\sin }^{2}}x\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}=I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x\cos x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow dt=2\sin x\cos xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 1\end{array} \right.,\) khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}}}  = \left. {\ln \left| {1 + t} \right|} \right|_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+2\ln x}{x}dx}\) ta được:

  • A  \(\frac{3}{2}+2\ln 2\)                                   
  • B  \(\frac{3}{2}+{{\ln }^{2}}2\)                                 
  • C  \(\frac{2}{3}+2\ln 2\)                                   
  • D  \(\frac{3}{2}+\ln 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đăt ẩn phụ, đặt \(t=\ln x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\ln x\Leftrightarrow dt=\frac{dx}{x}\) và \(x={{e}^{t}}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Leftrightarrow t = 0\\x = 2 \Leftrightarrow t = \ln 2\end{array} \right.\), khi đó

\(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+2\ln x}{x}dx}=\int\limits_{0}^{\ln 2}{\left( {{e}^{2t}}+2t \right)dt}=\left. \left( \frac{1}{2}{{e}^{2t}}+{{t}^{2}} \right) \right|_{0}^{\ln 2}=2+{{\ln }^{2}}2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+{{\ln }^{2}}2\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{9}{f(x)dx=9}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{1}^{4}{f(3x-3)dx}\) là

  • A 27
  • B 3
  • C 24
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(3x-3=y\Rightarrow 3dx=dy\Leftrightarrow dx=\frac{dy}{3}\)

Đổi cận:

\(I=\int\limits_{1}^{4}{f(3x-3)dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{9}{f(y)dy}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{9}{f(x)dx=\frac{1}{3}.9=3}\)

Chọn: B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{dx}{x-3}}\) bằng:

  • A  \(\ln \frac{3-e}{2}\)                          
  • B \(\ln \frac{3-e}{4}\)                           
  • C  \(\ln \frac{3+e}{4}\)                         
  • D  \(\ln \frac{e-3}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{dx}{x-3}}=\left. \ln \left| x-3 \right| \right|_{1}^{e}=\ln \left| e-3 \right|-\ln 2=\ln \frac{3-e}{2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Biết \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{2x+3}dx}=m\ln 5+n\ln 3\,\,\left( m,n\in R \right)\). Tính \(P=m-n\)

  • A P = 0                           
  • B  P = -1                        
  • C  \(P=\frac{3}{2}\)                              
  • D  \(P=-\frac{3}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^3 {\frac{1}{{2x + 3}}dx} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right|} \right|_1^3\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 5} \right) = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5\\
\Rightarrow n = 1;\,\,\,m = - \frac{1}{2}\\
\Rightarrow P = m - n = - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}
\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}-x-12}}\)

  • A  \(\ln \frac{9}{16}\)                           
  • B  \(\frac{1}{4}\ln \frac{9}{16}\)                                
  • C  \(-\frac{1}{7}\ln \frac{9}{16}\)                               
  • D \(\frac{1}{7}\ln \frac{9}{16}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\frac{1}{{{x}^{2}}-x-12}=\frac{1}{\left( x-4 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+3}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{1}{{{x}^{2}}-x-12}=\frac{1}{\left( x-4 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{1}{7}\left( \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3} \right)\)

\(\Rightarrow I=\frac{1}{7}\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+3} \right)dx}=\left. \frac{1}{7}\ln \left| \frac{x-4}{x+3} \right| \right|_{0}^{1}=\frac{1}{7}\left( \ln \frac{3}{4}-\ln \frac{4}{3} \right)=\frac{1}{7}\ln \frac{9}{16}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \right)dx}=a\ln 2+b\ln 3\) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

  • A  \(a+b=2\)                               
  • B \(a-2b=0\)                               
  • C  \(a+b=-2\)                              
  • D  \(a+2b=0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_0^1 = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln 2 - \ln 3 + \ln 2 = 2\ln 2 - \ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 2 - 2 = 0\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)

  • A \({{16} \over 9}\)
  • B \( - {{16} \over 9}\)
  • C \({{52} \over 9}\)
  • D \( - {{52} \over 9}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^3} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 2 \Rightarrow t = 3 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^3 {{{2{t^2}} \over 3}dt}  = \left. {{2 \over 3}.{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^3 = 6 - {2 \over 9} = {{52} \over 9}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Biến đổi \(\int\limits_0^3 {{x \over {1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} \) , với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

  • A \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)
  • B \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)
  • C \(f\left( t \right) = {t^2} - t\)
  • D \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 + x \Leftrightarrow 2tdt = dx\) và \(x = {t^2} - 1\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr   x = 3 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {{{{t^2} - 1} \over {1 + t}}2tdt}  = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)dt}  = \int\limits_1^2 {\left( {2{t^2} - 2t} \right)dt}  \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\) bằng

  • A

     \(3.\)                                       

  • B

     \(10.\)                                     

  • C

     \(7.\)                                       

  • D  \(\frac{5}{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết tích phân \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5+2=7.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho \(I = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}}  = a + b\sqrt 3 \) với a, b là số hữu tỉ. Tính giá trị a – b.

  • A \( - {1 \over 3}\)
  • B \( - {2 \over 3}\)
  • C \({1 \over 3}\)
  • D \({2 \over 3}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} {{{dx} \over {{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}}  = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} {{{4dx} \over {{{\sin }^2}2x}}}  = \left. { - 2\cot 2x} \right|_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 4}} =  - 2\left( {0 - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {2 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 0 \hfill \cr   b = {2 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a - b =  - {2 \over 3}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} \right)dx} \)

  • A \(I = {2 \over 3}\)
  • B \(I = {3 \over 4}\)
  • C \(I =  - {3 \over 4}\)
  • D \(I = {9 \over {16}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

 \(I = \int\limits_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} \right)dx}  = \left. {\left( { - {{\cos 2x} \over 2} - {{\sin 3x} \over 3}} \right)} \right|_{ - {\pi  \over 2}}^{{\pi  \over 6}} = {{ - 7} \over {12}} - {1 \over 6} =  - {3 \over 4}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}\).

  • A \(I=e-1\).                                 
  • B  \(I={{e}^{3}}-1\).                            
  • C \(\frac{{{e}^{3}}-1}{3}\).                           
  • D  \({{e}^{3}}+\frac{1}{2}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{kx}}dx}=\frac{1}{k}{{e}^{kx}}+C\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{e}^{3x}} \right|_{0}^{1}=\frac{{{e}^{3}}-1}{3}\)

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( a;c \right),\) \(a<b<c\) và \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5,\,\,\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=1.\) Tính tích phân \(I=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

  • A \(I=4.\)      
  • B \(I=5.\)        
  • C \(I=6.\)      
  • D \(I=-\,5.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tích chất của tích phân : Với \(a<b<c\) ta có : \(\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)dx.}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}-\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5-1=4.\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

 Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}x}\) bằng 

  • A \({{e}^{2}}-1.\) 
  • B \({{e}^{2}}-e.\) 
  • C \({{e}^{2}}+e.\)
  • D  \(e-{{e}^{2}}.\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đổi biến số hoặc bấm máy tính

Lời giải chi tiết:

 Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}x}=\,\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x\,+\,1}}\,\text{d}\left( x+1 \right)}=\left. {{e}^{x\,+\,1}} \right|_{0}^{1}={{e}^{2}}-e.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}dx}\) bằng

  • A  \(61.\)                         
  • B  \(\frac{61}{3}.\)                     
  • C  \(4.\)                           
  • D  \(\frac{61}{9}.\) 

Đáp án: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tích phân \(\int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 3} \right)\,{\rm{d}}x} \) bằng

  • A  2.                               
  • B  \(\frac{7}{4}.\)                                 
  • C  \(\frac{4}{7}.\)                                 
  • D  1.        

Đáp án: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}  = 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng

     

  • A  \( - 3\)                     
  • B \(12\)                       
  • C  \( - 8\)                         
  • D \(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {\left[ {\alpha f\left( x \right) \pm \beta g\left( x \right)} \right]dx}  = \alpha \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \beta \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  - 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}  = 2 - 2.5 =  - 8\)

CHỌN C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

  • A \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \)
  • B \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0} \)
  • C \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy} \)
  • D \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0} ;\,\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy} ;\\\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \end{array} \right.\)  nên B, C, D đúng.

A sai vì tích phân một tích không bằng tích các tích phân.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và số thực \(k\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  • A \(\int\limits_a^a {kf\left( x \right)dx}  = 0\)                                  
  • B \(\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx}  = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  • C \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)                    
  • D  \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân:

\(\int\limits_a^a {kf\left( x \right)dx}  = 0\)

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào các đáp án ta dễ dàng nhận thấy các đáp án A, C, D đúng, đáp án B sai.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = 2\) và \(\int\limits_1^2 {2g\left( x \right)dx}  = 8\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:

  • A 10
  • B 6
  • C 18
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx}  = 2 + 4 = 6\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) biết \(F\left( 0 \right) = 2,\,F\left( 1 \right) = 5\).

  • A   \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 7\).                   
  • B \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 1\).                     
  • C \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3\).                     
  • D \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  =  - 3\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {F'\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {F'\left( x \right)dx}  = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = 5 - 2 = 3\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và a là số dương. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

  • A \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0\).
  • B \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = {a^2}\).
  • C \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 2a\).
  • D \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 1\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\cos xdx} \) ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp ?

  • A Đặt \(t = {e^{\cos x}}\)    
  • B   Đặt \(t = {e^x}\)               
  • C Đặt \(t = \cos x\)             
  • D    Đặt \(t = \sin x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^{\sin x}}\cos xdx}  = \int\limits_0^1 {{e^t}dt}  = \left. {{e^t}} \right|_0^1 = e - 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Giá trị của \(\int\limits_0^1 {\pi x{e^x}dx} \) là:

  • A \(\pi \)                               
  • B \(\pi e\)                                    
  • C \(\dfrac{\pi }{3}\)                   
  • D \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

 

Sử dụng MTCT ta có:

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{3\ln x + 1}}{x}{\rm{d}}x} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì

  • A

    \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{3t + 1}}{{{e^t}}}{\rm{d}}t} \)                                                   

     


  • B \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{3t + 1}}{t}{\rm{d}}t} \)               
  • C  \(I = \int\limits_1^e {\left( {3t + 1} \right){\rm{d}}t} \)        
  • D  \(I = \int\limits_0^1 {\left( {3t + 1} \right){\rm{d}}t} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính \(dt\), đổi cận và thay vào tính \(I\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x\)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{x}\). Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 0;x = e \Rightarrow t = 1\)

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {\left( {3t + 1} \right){\rm{d}}t} \)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} \)
  • B \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  =  - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
  • C \(\int\limits_{ - 2}^2 {2f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \)     
  • D \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất: \(\int\limits_{}^{} {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Khẳng định đúng là \(\int\limits_{ - 2}^2 {2f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  = 10,\,\,\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx}  = 4\). Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

 

  • A 4
  • B 7
  • C 3
  • D 6

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^3 {f(x)dx} \)\( = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_4^3 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} dx\)\( = 10 - 4 = 6\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Với \(f\left( x \right)\) là hàm số tùy ý liên tục trên \(\mathbb{R},\) chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A \({\left( {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right)^2} = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)      
  • B \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
  • C \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \)
  • D \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân  ta thấy  chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 5\) và  \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  = 1\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \).

  • A \(I =  - 4\).                              
  • B \(I =  - 6\).                              
  • C \(I = 6\).                                  
  • D \(I = 4\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_3^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 1 - 5 =  - 4\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3\)  và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 2.} \) Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng

  • A \(1\)
  • B \( - 1\)
  • C \(5\)
  • D \(6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử  dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 2 + 3 = 5.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Giả sử \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là các số bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Mệnh dề nào sau đây sai?                            

  • A \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^a {f\left( x \right)dx}  = 0\)                     
  • B  \(\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx}  = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)                                    
  • C  \(\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)           
  • D  \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào các tính chất cơ bản của tích phân ta có:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^a {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0 \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\(\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx}  = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \Rightarrow \)đáp án D đúng.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Biết \(f\left( a \right) = 5\) và \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = 2\sqrt 5 \), tính \(f\left( b \right)\).

  • A  \(\sqrt 5 \left( {2 - \sqrt 5 } \right)\)                                             
  • B  \(\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  + 2} \right)\)                                            
  • C  \(\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - 2} \right)\)                                             
  • D  \(\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  - 2} \right)\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\)\( \Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) = 2\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow f\left( b \right) - 5 = 2\sqrt 5 \) \( \Leftrightarrow f\left( b \right) = 5 + 2\sqrt 5  = \sqrt 5 \left( {\sqrt 5  + 2} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {6{x^2}dx} \).

  • A \(I = 18\).                                
  • B  \(I = 22\).                                
  • C \(I = 26\)                                 
  • D \(I = 14\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\int\limits_a^b {{x^n}dx}  = \left. {\dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_a^b,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {6{x^2}dx}  = \left. {2{x^3}} \right|_{ - 1}^2 = 16 + 2 = 18\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Tính \(I = \int\limits_0^1 {{e^x}} dx\).

  • A  \(I = {e^2} - e\).                    
  • B  \(I = e - 1\).                           
  • C  \(I = 1 - e\).                           
  • D  \(I = e\).    

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {{e^x}} dx = \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - 1\)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx = a\) và \(\int\limits_1^{2018} {f\left( x \right)} dx = b\). Khi đó \(\int\limits_5^{2018} {f\left( x \right)} dx\) bằng

  • A  \(b - a\).                                 
  • B  \( - a - b\).                             
  • C  \(a - b\).                                 
  • D  \(a + b\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_5^{2018} {f\left( x \right)} dx = \int\limits_5^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^{2018} {f\left( x \right)} dx =  - \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^{2018} {f\left( x \right)} dx =  - a + b\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) và \(f\left( { - 2} \right) = 3,\,f\left( 1 \right) = 7\). Tính  \(I = \int\limits_{ - 2}^1 {f'\left( x \right)dx} \).

  • A  \(I = 10\).                               
  • B  \(I =  - 4\).                             
  • C  \(I = \dfrac{7}{3}\).              
  • D  \(I = 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{ - 2}^1 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - f\left( { - 2} \right) = 7 - 3 = 4\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Giả sử \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = 2,\,\,\int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}  = 3\) với \(a < b < c\) thì \(\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) bằng:

  • A  \(5\)                                   
  • B  1  
  • C -2  
  • D -1.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}  = 2 - 3 =  - 1\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(a < c < b\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

  • A \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \)
  • B \(\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx = } k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)với \(k\) là hằng số
  • C \(\int\limits_a^b {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  = \dfrac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}\)
  • D \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

Dễ  thấy A, B, D đúng.

C sai: \(\int\limits_a^b {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  \ne \dfrac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( a \right) - F\left( b \right)\)
  • B \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
  • C \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) + F\left( a \right)\)
  • D \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F'\left( b \right) - F'\left( a \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân Leibnitz: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right].\) Mênh đề nào sau đây đúng?                  

  • A \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)                                
  • B \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
  • C \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} } \right|dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)             
  • D \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \right|\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng các tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Cho các số thực a, b \((a<b)\). Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì

  • A \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = f'\left( a \right) - f'\left( b \right)\)
  • B \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\)
  • C \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( a \right) - f\left( b \right)\)
  • D \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = f'\left( b \right) - f'\left( a \right)\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 1,f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx}  = 9\). Giá trị của \(f\left( 3 \right)\) là

  • A 6
  • B 3
  • C 10
  • D 9

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^3 {f'\left( x \right)dx}  = 9 = f\left( 3 \right) - f\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9 + f\left( 0 \right) = 9 + 1 = 10\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và số thực \(k\) tùy ý. Trong các phát biểu sau,  phát biểu  nào sai?

  • A \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
  • B \(\int\limits_a^a {kf\left( x \right){\rm{d}}x}  = 0\).
  • C \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).
  • D \(\int\limits_a^b {xf\left( x \right){\rm{d}}x}  = x\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy mệnh đề sai là: \(\int\limits_a^b {xf\left( x \right){\rm{d}}x}  = x\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho các hàm số \(f\left( x \right),\,\,\,g\left( x \right)\) liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề sai?

  • A \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)
  • B \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\)
  • C \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} ,\,\,\,\forall k \in \mathbb{R}\)
  • D \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất tích phân.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề sai là C. Mệnh đề đúng phải là: \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx} \,\,\forall k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} \) ta được kết quả:

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(1\)
  • C \(\dfrac{3}{2}\)
  • D \(2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Xét dấu của biểu thức \(x - 2\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) và phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(x - 2 < 0\), do đó \(\left| {x - 2} \right| = 2 - x\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {2x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.