Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x - 3y - 4z + 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3; - 4} \right) =  - \left( { - 2;\,\,3;\,\,4} \right).\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) cũng nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;\,\,3;\,\,4} \right)\) làm VTPT.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0; - 1;\,\,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;\,\,2; - 1} \right)\) làm VTPT có dạng:

\(\left( P \right):\,\,\,\,2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 6 = 0.\) 

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z + 1 = 0\) có 1 vecto pháp tuyến là \(\left( {2;0; - 1} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua \(M\left( {2; - 3;4} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;4;1} \right)\) có phương trình là

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 3} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(2x + 4y + 6z + 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\left( {2;4;6} \right)\), cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1;2;3} \right)\), do đó \(\overrightarrow n \left( {1;2;3} \right)\) cũng là 1 VTPT của \(2x + 4y + 6z + 1 = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm phương trình mặt phẳng, điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2.1 – (-3) + (-4) – 1 = 0\) nên điểm \(Q(1;-3;-4) \) thuộc mặt phẳng (P).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) đều là VTPT của mặt phẳng trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\), mặt phẳng có 1 VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;3;2} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Oz \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow {OA}  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OA} } \right]\)

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính giá trị của \(M\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Oz \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow {OA}  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OA} } \right]\).

Có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 3;2} \right),\,\,\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {3;1;0} \right)\).

\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 1,\,\,c = 0\).

Vậy \(M = \dfrac{{b + c}}{a} = \dfrac{{1 + 0}}{3} = \dfrac{1}{3}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ \(M\left( {3;1; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\) là\(d = \dfrac{{\left| {2.3 - 1 + 2\left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là  \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2{\rm{z}} - 4 = 0\) có

\({d_{\left( {M;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy \(E\left( {1;1;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3{\rm{z}} + 2 = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là \(y = 0\).

Phương pháp giải:

- \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\MA \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {MA}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right]\) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d, M là điểm bất kì thuộc đường thẳng d.

- Rút gọn để VTPT có dạng \(\overrightarrow n \left( {1;a;b} \right)\). Đồng nhất hệ số tìm a, b và tính tổng \(a + b\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;3;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {n'} \) là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\MA \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {n'} .\overrightarrow {MA}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {n'}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right]\).

Có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {2;2;0} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {n'}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MA} } \right] = \left( { - 2;2; - 2} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng cần tìm \( \Rightarrow a =  - 1,\,\,b = 1\).

Vậy \(a + b =  - 1 + 1 = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + z - 1 = 0\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;1} \right)\) nên \(\left( { - 6;4; - 2} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng (P).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\)\(:2x - y + 2z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

Mặt khác ta thấy \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) do đó \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {6;3;6} \right)\) không là vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm đã cho vào các phương trình trong đáp án.

Lời giải chi tiết:

\(3 + 4 - 7 = 0 \Rightarrow M\left( {3;4; - 2} \right) \in \left( R \right):x + y - 7 = 0.\)\(\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(4\left( {x + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow 4x - 5z + 4 = 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( P \right):\,\,\,x - y + 5 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;\,\,0} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,ax + by + cz + d = 0\) là: \(d\left( {M;\,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.0 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 6} \right|}}{3} = 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm trong các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) xem tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình mặt phẳng thì điểm đó thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Tọa độ điểm nào không thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thì ta chọn điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(C\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\) vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta được: \(\dfrac{0}{1} + \dfrac{0}{2} + \dfrac{3}{3} = 1 \Rightarrow C \in \left( \alpha  \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\) vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta được: \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{0}{2} + \dfrac{0}{3} = 1 \Rightarrow A \in \left( \alpha  \right).\)

Thay tọa độ điểm \(B\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right)\) vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta được: \(\dfrac{0}{1} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{0}{3} = 1 \Rightarrow B \in \left( \alpha  \right).\)

\( \Rightarrow O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right) \notin \left( \alpha  \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)\) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow \left( P \right):3x - 2y - 6z + 6 = 0\) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2; - 6} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;-2;2) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;2} \right)\) là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y + 2z - 3 = 0\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng mặt chắn đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay các điểm ở đáp án vào phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3.0 + \left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right) - 1 = 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right):3x + y - z - 1 = 0\) đi qua điểm có tọa độ là \(N\left( {0; - 1; - 2} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt chắn đi qua ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 2;0} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\) là:

\(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1\) \( \Leftrightarrow 6x - 3y + 2y - 6 = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\, - x + 3y - 2z + 1 = 0\) có VTPT là: \(\left( { - 1;\,\,3;\, - 2} \right).\)  

Chọn B.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\,2x - y + 3z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B, \(\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right) =  - 2\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \).

Vậy \(\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right)\) cũng là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;1} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

\( \Rightarrow k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,2x + 3z - 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {2;\,\,0;\,\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;\,\,0; - 3} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( \alpha  \right).\)  

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) để chọn điểm thuộc mặt phẳng.

Điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,ax + by + cz + d = 0\) nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( P \right):\,\,2x - 2y + 3z + 6 = 0\)

+) Đáp án A: Thay tọa độ điểm \(Q\left( {3; - 2; - 3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(2.3 - 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 3} \right) + 6 = 7 \ne 0\) \( \Rightarrow Q \notin \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) loại đáp án A.

+)  Đáp án B: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,3; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:

\(2.3 - 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) + 6 = 0\) \( \Rightarrow M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) chọn đáp án B.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 4y + 5 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 4;0} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2;0} \right) =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(M'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(M\left( { - 5;\,\,2;\,\,7} \right)\) có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(M'\left( { - 5;\,\,2;\,\,0} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow a + 10b + 5c =  - 5 + 10.2 + 5.0 = 15.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\;B;\;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;\,\,3} \right)\) và nhận vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1;\,\,1 - 2} \right)\) có phương trình là: \(x - 2 + y + 1 - 2\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 2z + 5 = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Vecto \(k\overrightarrow n //\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\, - 2x + y + 3z - 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( { - 2;\,\,1;\,\,3} \right)\)

Có: \(\overrightarrow q  = \left( {2; - 1; - 3} \right) =  - \overrightarrow {{n_\alpha }} \) cũng là 1 VTPT của \(\left( \alpha  \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,2x - y + z - 1 = 0\) ta có

+) Thay tọa độ điểm \(\left( {1; - 2;\,\,3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng ta được: \(2.1 - \left( { - 2} \right) + 3 - 1 = 6 \ne 0\) \( \Rightarrow \left( {1; - 2;\,\,3} \right) \notin \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\)vào phương trình mặt phẳng ta được: \(2.1 - 2 + 1 - 1 = 0\) \( \Rightarrow \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right) \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow \) Chọn đáp án B.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\) và đi qua điểm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là điểm \(M'\left( {{x_0};\,\,0;\,\,{z_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là: \(\left( {3;\,\,0; - 2} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 4y + 3z - 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,4;\,\,3} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm \(M\) vào các phương trình ở các đáp án và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( S \right):\,\,x + y + z + 5 = 0\) ta được:

\(3 + 4 - 2 + 5 = 10 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( S \right)\)

+) Đáp án B: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,\,x - 1 = 0\) ta được:

\(3 - 1 = 2 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( Q \right)\)

+) Đáp án C: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,z - 2 = 0\) ta được:

\( - 2 - 2 =  - 4 \ne 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( P \right)\)

+) Đáp án D: Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;\,\,4; - 2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( R \right):\,\,x + y - 7 = 0\) ta được:

\(3 + 4 - 7 = 0\) \( \Rightarrow M \notin \left( R \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 5z + 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {2;\,\,0; - 5} \right).\)

Chọn C. 

Phương pháp giải:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(A\left( {8;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 2;0} \right)\), \(C\left( {0;0;4} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{4} = 1\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 2z - 8 = 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,a\,x + by + cz + d = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)

\( \Rightarrow k\overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của \(\left( P \right).\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{3} = 1\) có VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {\dfrac{1}{2};\,\,1;\,\,\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{6}\left( {3;\,\,6;\,\,2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;\,\,6;\,\,2} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua các điểm có tọa độ: \(A\left( {a;0;0} \right),\)\(B\left( {0;b;0} \right),\)\(C\left( {0;0;c} \right)\) có phương trình là\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua 3 điểm \(B\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình là \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 3}} = 1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm của 4 phương án vào phương trình mặt phẳng (P), tọa độ điểm nào không thỏa mãn phương trình này thì điểm đó không thuộc \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2.1 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 3 \ne 0 \Rightarrow T \notin \left( P \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng vuông góc với \(BC\) thì nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2; - 5} \right)\).

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng là: \(1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 5\left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 5z - 5 = 0\).

Chọn B.