50 bài tập các phép toán với số phức mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Phần thực của số phức \(w={{z}^{3}}-i\) bằng bao nhiêu biết \(z\) thỏa mãn: \(z+2-4i=\left( 2-i \right)\overline{iz}\)

  • A \(-46\)                                  
  • B \(-3\)                                
  • C \(2\)                                
  • D  \(-10\) 

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\Rightarrow w\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\)., ta có:

\(\begin{array}{l}z + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\overline {iz} \\ \Rightarrow a + bi + 2 - 4i = (2 - i)\overline {i\left( {a + bi} \right)} \\ \Leftrightarrow a + 2 + (b - 4)i = (2 - i)( - b - ai)\\ \Leftrightarrow a + 2 + (b - 4)i =  - 2b - 2ai + bi - a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 =  - a - 2b\\b - 4 =  - 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b =  - 2\\2a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

\(\Rightarrow z=2-3i\)

\(\Rightarrow \text{w}={{\left( 2-3i \right)}^{3}}-i=8-36i-54+27i-i=-46-10i\)

Vậy phần thực của số phức \(w\) là \(-46\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho số phức z thỏa mãn: \(5\overline{z}+3-i=(-2+5i)z\). Tính \(P=\left| 3i{{\left( z-1 \right)}^{2}} \right|\)

  • A 144
  • B 12
  • C  \(3\sqrt{2}\)        
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\Rightarrow z\Rightarrow P\).

 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(5\overline{z}+3-i=(-2+5i)z\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5(a - bi) + 3 - i = ( - 2 + 5i)(a + bi)\\ \Leftrightarrow 5a - 5bi + 3 - i =  - 2a - 2bi + 5ai - 5b\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + 3 =  - 2a - 5b\\ - 5b - 1 = 5a - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a + 5b =  - 3\\5a + 3b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow z=1-2i\)

\(\Rightarrow P=\left| 3i{{\left( z-1 \right)}^{2}} \right|=\left| 3i{{(1-2i-1)}^{2}} \right|=\left| -12i \right|=12\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Tìm các số phức \(z\) thỏa \(2iz + 3\overline z  = 5\).

  • A \(z =  - 3 - 2i\)
  • B \(z = 3 - 2i\)
  • C \(z =  - 3 + 2i\)
  • D

    \(z = 3 + 2i\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\). Thay vào giả thiết tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\) ta có:

\(\begin{array}{l}2i\left( {a + bi} \right) + 3\left( {a - bi} \right) = 5 \Leftrightarrow 2ai - 2b + 3a - 3bi = 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + 3a = 5\\2a - 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 + 2i\end{array}\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính môđun của số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z\left| z \right| - 1 = \left( {i - 2} \right)\left| z \right|\).

  • A \(\left| z \right| = 1\)
  • B \(\left| z \right| = 4\)
  • C \(\left| z \right| = 2\)
  • D \(\left| z \right| = 3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = \left| z \right|\), rút \(z\) từ đẳng thức bài cho theo \(t\) .

+) Lấy môđun hai vế đưa về phương trình ẩn \(t\).

+) Giải phương trình ẩn \(t\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \left| z \right| \ge 0\) ta có : \(\left( {1 + i} \right)zt - 1 = \left( {i - 2} \right)t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + i} \right)zt = 1 + \left( {i - 2} \right)t \Rightarrow \left| {1 + i} \right|.\left| z \right|.t = \left| {1 - 2t + ti} \right|\\ \Rightarrow \sqrt 2 {t^2} = \sqrt {{{\left( {1 - 2t} \right)}^2} + {t^2}}  \Leftrightarrow 2{t^4} = 1 - 4t + 4{t^2} + {t^2}\\ \Leftrightarrow 2{t^4} - 5{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 2{t^2} - 3t + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) có:

\(f'\left( t \right) = 6{t^2} + 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {22} }}{6} = {t_1} > 0\\t = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {22} }}{6} < 0\left( L \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) > 0,\forall t \ge 0\) nên phương trình \(f\left( t \right) = 0\) vô nghiệm.

Vậy \(t = 1\) hay \(\left| z \right| = 1\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 5\) và \(z\left( {2 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)\) là số thực. Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right|\).

  • A \(P = 8\)
  • B \(P = 4\)
  • C \(P = 5\)
  • D \(P = 7\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

+) \(w = x + yi\) là số thực \( \Leftrightarrow y = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\left| z \right| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 25\).

Ta có: \(z\left( {2 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right) = \left( {a + bi} \right)\left( {4 - 3i} \right) = 4a + 3b + \left( { - 3a + 4b} \right)i\) là số thực \( \Rightarrow  - 3a + 4b = 0\).

Từ đó ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\ - 3a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + \dfrac{9}{{16}}{a^2} = 25\\b = \dfrac{{3a}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{25}}{{16}}{a^2} = 25\\b = \dfrac{{3a}}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\b = \dfrac{{3a}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4,\,\,b = 3\\a =  - 4;\,\,b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow P = \left| a \right| + \left| b \right| = 4 + 3 = 7\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Người ta chế tạo một thiết bị hình trụ như hình vẽ bên. Biết hình trụ nhỏ phía trong và hình trụ lớn phía ngoài có chiều cao bằng nhau và có bán kính lần lượt là \({r_1},{r_2}\) thỏa mãn \({r_2} = 3{r_1}.\) Tỉ số thể tích của phần nằm giữa hai hình trụ và hình trụ nhỏ là

  • A 4
  • B 6
  • C 9
  • D 8

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho số phức \(z\)  thỏa mãn\(\overline z  + \left( {1 - i} \right)z = 9 - 2i\). Tìm mô đun của \(z.\)

  • A \(\left| z \right| = 7\)                   
  • B \(\left| z \right| = 21\)                
  • C \(\left| z \right| = 7\)                   
  • D \(\left| z \right| = \sqrt {29} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Gọi \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì số phức liên hợp \(\overline z  = x - yi\) và mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

+) Biến đổi giả thiết để đưa về hai số phức bằng nhau thì phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì số phức liên hợp \(\overline z  = x - yi\)

Ta có \(\overline z  + \left( {1 - i} \right)z = 9 - 2i \Leftrightarrow x - yi + \left( {1 - i} \right)\left( {x + yi} \right) = 9 - 2i\)

\( \Leftrightarrow x - yi + x + y + yi - xi = 9 - 2i \Leftrightarrow 2x + y - xi = 9 - 2i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 9\\ - x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(z = 2 + 5i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {5^2}}  = \sqrt {29} .\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho số phức \(z = a + bi\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)thỏa mãn \(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z  = 1 - 9i\). Tính \(T = ab + 1\).

  • A \(T =  - 2\).      
  • B \(T = 0\).
  • C \(T = 1\).
  • D \(T =  - 1\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Thay \(z,\overline z \) vào điều kiện bài toán, sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau suy ra hệ phương trình ẩn \(a,b\)

- Giải hệ phương trình tìm \(a,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Thay vào điều kiện bài cho ta được : \(\left( {a + bi} \right) - \left( {2 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = 1 - 9i\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + bi - \left( {2a + 3b + \left( {3a - 2b} \right)i} \right) = 1 - 9i \Leftrightarrow a + bi - \left( {2a + 3b} \right) - \left( {3a - 2b} \right)i = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow \left( { - a - 3b} \right) + \left( {3b - 3a} \right)i = 1 - 9i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b = 1\\3b - 3a =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = ab + 1 = 2.\left( { - 1} \right) + 1 =  - 1\end{array}\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {2 - i} \right)z + 3 + 16i = 2\left( {\overline z  + i} \right).\) Môđun của \(z\) bằng

  • A \(\sqrt 5 \).
  • B \(13\).
  • C \(\sqrt {13} \).
  • D \(5\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Đặt \(z = a + bi\), giải phương trình tìm \(z\).

+) \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có: \(\left( {2 - i} \right)z + 3 + 16i = 2\left( {\overline z  + i} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 3 + 16i = 2\left( {a - bi + i} \right)\\ \Leftrightarrow 2a + 2bi - ai + b + 3 + 16i = 2a - 2bi + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b + 3 = 2a\\2b - a + 16 =  - 2b + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\4b - a =  - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\a = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 2 - 3i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \end{array}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho số phức \(z = a + bi\)\(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\); \(\left| z \right| = 5;\)\(\left( {4 - 3i} \right)z\) là số thực. Giá trị \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3\) là:

  • A \(9\)
  • B \(10\)
  • C \(11\)
  • D \(7\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), suy ra mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\).

- Thay \(z = a + bi\) vào \(\left( {4 - 3i} \right)z\), tìm phần ảo của nó và cho bằng 0, giải phương trình tìm \(\left| b \right|\).

- Thế ngược lại tìm \(\left| a \right|\) và tính \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\).

Ta có \(\left| z \right| = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25\) (1).

Lại có \(\left( {4 - 3i} \right)z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right)\)\( = 4a + 3b + \left( {4b - 3a} \right)i\)  là số thực nên \(4b = 3a \Leftrightarrow a = \dfrac{{4b}}{3}\).

Thay vào (1) ta có: \(\dfrac{{16{b^2}}}{9} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow \left| b \right| = 3\).

 Với \({b^2} = 9\) ta có \({a^2} = 25 - {b^2} = 16\)\( \Rightarrow \left| a \right| = 4\).

Vậy \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3 = 4 + 3 + 3 = 10.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tìm tất cả giá trị thực \(x,\,\,y\)  sao cho \(2x - \left( {3 - y} \right)i = y + 4 + \left( {x + 2y - 2} \right)i\), trong đó \(i\) là đơn vị ảo.

  • A \(x = 1,\,\,y =  - 2.\)
  • B \(x =  - 1,\,\,y = 2.\)
  • C \(x = \dfrac{{17}}{7},\,\,y = \dfrac{6}{7}.\)
  • D \(x =  - \dfrac{{17}}{7},\,\,y =  - \dfrac{6}{7}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Hai số phức bằng nhau: \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\).

\({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\)

- Giải hệ phương trình bằng MTCT tìm \(x,\,\,y\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}2x - \left( {3 - y} \right)i = y + 4 + \left( {x + y - 2} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = y + 4\\y - 3 = x + y - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Số phức \(z\) thỏa mãn \(z + 2\overline z  = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\) có phần ảo là:

  • A

    \( - 8\)

     
  • B

    \( - 8i\)

     
  • C \( - 10\)
  • D \( - 10i\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau.

- Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

- Giải hệ phương trình tìm \(x,\,\,y\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\). Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z  = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left( {x - yi} \right) =  - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi =  - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x =  - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 8\\y =  - 10\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z =  - 8 - 10i\) có phần ảo bằng \( - 10\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Với số phức \(z\) tùy ý, cho mệnh đề \(\left| { - z} \right| = \left| z \right|;\)\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|;\)\(\left| {z + \overline z } \right| = 0;\)\(\left| z \right| > 0.\)Số mệnh đề đúng là:

  • A \(2\)
  • B \(4\)
  • C \(1\)
  • D \(3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\), xét từng mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow  - z =  - a - bi.\)

Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|\) là mệnh đề đúng.

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) là mệnh đề đúng.

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a\)

\( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|\)\( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0\) là mệnh đề sai.

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)\( \Rightarrow \left| z \right| > 0\) là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Biết số phức thỏa mãn \(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\)và \(\left| z \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng

  • A \(\dfrac{2}{5}.\)
  • B \(\dfrac{1}{5}.\)
  • C \( - \dfrac{2}{5}.\)
  • D \( - \dfrac{1}{5}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn \(z = a + bi\), rút a  theo b rồi tính.

- Tính \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), thế \(a\) theo \(b\) và tìm GTNN bằng cách đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {b + 3} \right)^2} + {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 2b - 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1}  = \sqrt {5\left( {{b^2} + \dfrac{4}{5}b} \right) + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{{25}}} \right) - \dfrac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {b + \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{1}{5}}  \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(b =  - \dfrac{2}{5} \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a =  - \dfrac{1}{5}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Biết rằng \(z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i\)  \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) là một số thực. Giá trị của biểu thức  \(1 + z + {z^2} + {z^3} + ... + {z^{2019}}\) bằng

  • A \(2019.\)
  • B \(0.\)
  • C \(1.\)
  • D \(2020.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Số phức là một số thực khi nó có phần ảo bằng 0. Từ đó tìm \(m\) và suy ra số phức \(z\).

- Thay số phức \(z\) tìm được tính giá trị biểu thức đề  bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Vì \(z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i\) là số thực nên \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\)

Suy ra \(z = {m^2} - 3m + 3 = 1.\)

Vậy \(1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2020\) (có 2020 số 1).

Chon D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {z - 1 - i} \right|\) ?

  • A 2
  • B 1
  • C 3
  • D 4

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào đề bài để tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\) z  = a - bi;{\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}\)

Ta có \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z - \overline z } \right| \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\)

+) \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {z - 1 - i} \right|\)

\({\left( {3 - b} \right)^2} = 3{b^2} \Leftrightarrow 2{b^2} + 6b - 9 = 0 \Rightarrow \)

\( \Rightarrow a + b = 3 \Rightarrow a = 3 - b\)

Khi đó  có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 số phức thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right|\). Số phức có mô đun nhỏ nhất là:

  • A \(z=3+4i\)                          
  • B \(z=-3-4i\)                          
  • C \(z=\frac{3}{2}-2i\)                    
  • D \(z=\frac{3}{2}+2i\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(a,b\).

Tìm GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Rightarrow a,b\)

 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\left| \overline{z}-3+4i \right|=\left| a-bi-3+4i \right|=\left| a-3+(4-b)i \right|=\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z  - 3 + 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - b}\right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} - 6a + 9 + {b^2} - 8b + 16\end{array}\)

\(\Leftrightarrow 6a+8b=25\Leftrightarrow b=\frac{25-6a}{8}(1)\)

Xét \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{25-6a}{8}\right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{100{{a}^{2}}-300a+625}{64}}=\sqrt{\frac{{{\left( 10a-15\right)}^{2}}+400}{64}}\ge \frac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow 10a-15=0\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)

Thay vào (1) ta được \(b=2\)

Vậy số phức \(z\) có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bài toán là \(z=\frac{3}{2}+2i\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Biết \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( {1 + 2i} \right)z + \left( {3 - 4i} \right)\overline z  =  - 42 - 54i\). Khi đó \(a + b\) bằng

  • A 27
  • B -3
  • C 3
  • D -27

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\). Thay vào phương trình.

- Sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( {1 + 2i} \right)z + \left( {3 - 4i} \right)\overline z  =  - 42 - 54i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {3 - 4i} \right)\left( {a - bi} \right) =  - 42 - 54i\\ \Leftrightarrow \left( {4a - 6b} \right) + \left( { - 2a - 2b} \right)i =  - 42 - 54i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - 6b =  - 42\\ - 2a - 2b =  - 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 27\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \({\left( {z - i} \right)^2}\) là một số thực?

  • A 2
  • B 3
  • C 4
  • D 0

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi\). Thay vào biểu thức.

- Sử dụng công thức tính môđun của số phức.

- Một số phức là số thực khi và chỉ khi có phần ảo bằng 0.

- Rút a theo b hoặc ngược lại, sau đó giải phương trình tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8\)  (*)

Mặt khác \({\left( {z - i} \right)^2} = {\left( {a + bi - i} \right)^2} = {a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} + 2a\left( {b - 1} \right)\) là một số thực nên \({a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {b - 1} \right)^2}.\)

Khi đó ta có: \({\left( {a + 2} \right)^2} + {a^2} = 8 \Leftrightarrow 2{a^2} + 4a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 + \sqrt 3 \\a =  - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hai số phức \({z_1};{z_2}\) thỏa \(\left| {{z_1}} \right| = 6;\) \(\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn cho \({z_1};\) \(i{z_2}\). Biết  \(\angle MON = {60^0}\). Khi đó \(\left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right|\) có giá trị bằng

  • A 18
  • B \(36\sqrt 3 \)
  • C \(24\sqrt 3 \)
  • D \(36\sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M,N\) là điểm biểu diễn của \({z_1};i{z_2}\) nên \(OM = \left| {{z_1}} \right| = 6;ON = \left| {i{z_2}} \right| = 2\)

Trên tia ON lấy điểm K sao cho \(OK = 3ON = 6\) hay K là điểm biểu diễn của số phức \(3i{z_2}\).

Lấy điểm H sao cho \(OMHK\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  \Rightarrow O{H^2} = O{M^2} + O{N^2} + 2OM.ON.\cos 60 \Rightarrow OH = 6\sqrt 3 \)

Mặt khác \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {z_1^2 - 9{{\left( {i{z_2}} \right)}^2}} \right| = \left| {{z_1} - 3i{z_2}} \right|.\left| {{z_1} + 3i{z_2}} \right| = MK.OH\)\( = 6.6\sqrt 3  = 36\sqrt 3 \)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn \({z^2} + 2\left( {\overline z } \right) = 0\)?

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)
  • D \(4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\), thay vào dữ kiện để tìm a, b.

- Số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{z^2} + 2\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 2\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + \left( {2ab - 2b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2b\left( {a - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\{b^2} + 3 = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + 2a = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(z = 0\) và \(z =  - 2\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho số phức \(z = m + 1 + mi\)với \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) sao cho \(\left| {z - 2i} \right| > 1?\)

  • A \(0\)
  • B \(4\)
  • C \(5\)
  • D \(9\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm mô đun của số phức \(z - 2i\).

- Giải bất phương trình \(\left| {z - 2i} \right| > 1\) bằng phương pháp bình phương 2 vế.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = m + 1 + mi \Rightarrow z - 2i = m + 1 + \left( {m - 2} \right)i.\)

\( \Rightarrow \left| {z - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z - 2i} \right| > 1 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} > 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 4m + 4 > 1\) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 4 > 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow m \in \mathbb{R}\).

Kết hợp điều kiện bài toán, ta có \(m \in \left( { - 5;5} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Biết \(1 + i\) là nghiệm của phương trình \(zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ẩn z trên tập số phức. Tìm \({b^2} - {a^3}.\)

  • A \(8\)
  • B \(72\)
  • C \(-72\)
  • D \(9\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Thay \(z = 1 + i\) vào phương trình.

- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

- Giải hệ phương trình tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Vì \(z = 1 + i\) là 1 nghiệm của phương trình \(zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + i} \right)i + a.\left( {i + 1} \right)i + b\left( {i + 1} \right) + a = 0\\ \Leftrightarrow  - 1 + i + a\left( { - 1 + i} \right) + b + bi + a = 0\\ \Leftrightarrow b - 1 + \left( {1 + a + b} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\1 + a + b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({b^2} - {a^3} = {1^2} - {\left( { - 2} \right)^3} = 9.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Biết rằng \(z\) là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) là số thực. Số phức \(z\) là:

  • A \(z = 1 + \dfrac{1}{2}i\)
  • B \(z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\)
  • C \(z = 2i\)
  • D \(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào biểu thức \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\), tìm điều kiện để \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) là số thực, tức là \({\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right) = 0\), biểu diễn \(y\) theo \(x\).

- Tính \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \), thế \(y\) theo \(x\) tìm được ở trên, tìm GTNN của biểu thức dạng \(a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), biểu thức đạt GTNN tại \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\) với \(a > 0\).

Cách 2:

- Tính môđun cả 4 số phức ở 4 đáp án, thử từ số phức có môđun nhỏ nhất.

- Thay lần lượt các số phức ở các đáp án vào biểu thức \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\), tìm số phức thỏa mãn \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) là số thực.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\\ = \left( {1 - x - yi} \right)\left( {x - yi + 2i} \right)\\ = \left( {1 - x - yi} \right)\left( {x - \left( {y - 2} \right)i} \right)\\ = \left( {1 - x} \right)x - \left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right)i - xyi - y\left( {y - 2} \right)\\ = \left[ {\left( {1 - x} \right)x - y\left( {y - 2} \right)} \right] - \left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right) + xy} \right]i\end{array}\)

Để \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) là số thực thì \({\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right) + xy = 0\\ \Leftrightarrow y - 2 - xy + 2x + xy = 0\\ \Leftrightarrow y = 2 - 2x\end{array}\)

Khi đó ta có: \({\left| z \right|^2} = {x^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {2 - 2x} \right)^2} = 5{x^2} - 8x + 4\).

 \( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}_{\min } \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{{2.5}} = \dfrac{4}{5}\), khi đó \(y = 2 - 2.\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}\).

Vậy số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .\(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\).

Cách 2:

Tính môđun tất cả các số phức ở các đáp án:

\(z = 1 + \dfrac{1}{2}i \Rightarrow \left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\(z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 1\)

\(z = 2i \Rightarrow \left| z \right| = 2\)

\(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Thử từ số phức có môđun nhỏ nhất.

Xét đáp án D, thay số phức \(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\) vào biểu thức \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) (sử dụng MTCT):

là số thực, thỏa mãn.Vậy số phức \(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

 Số các số phức  thỏa mãn hệ thức: \(\left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\) và \(\left| z \right|=2\)

  • A 2
  • B 4
  • C 3
  • D 1

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\).

Công thức mô đun của số phức \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z \right|=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4(1)\)

\({{z}^{2}}+\overline{z}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+a-bi={{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+a-bi=({{a}^{2}}+a-{{b}^{2}})+(2ab-b)i\)

\(\Rightarrow \left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\Leftrightarrow {{\left|{{z}^{2}}+\overline{z} \right|}^{2}}=4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + a - {b^2}} \right)^2} + {\left( {2ab - b} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} + {b^4} + 2{a^3} - 2{a^2}{b^2} - 2a{b^2} +4{a^2}{b^2} + {b^2} - 4a{b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{a^3} - 6a{b^2} + {a^2} + {b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2a\left({{a^2} - 3{b^2}} \right) + ({a^2} + {b^2}) = 4(2)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}16 + 2a(4 - 4{b^2}) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow 2 + a\left( {1 - {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{2 + a}}{a}(3)\end{array}\)

Thay (3) vào (1) ta được: \({{a}^{2}}+\frac{2+a}{a}=4\Leftrightarrow {{a}^{3}}-3a+2=0\Leftrightarrow\left[ \begin{align}  & a=1 \\  & a=-2 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a=-2\Rightarrow b=0\Rightarrow z=-2.\)

Với \(a=1\Rightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow b=\pm \sqrt{3}\Rightarrow z=1\pm \sqrt{3}i.\)

Vậy có \(3\)  số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho số phức thỏa mãn \(\left| \left( 1+i \right)z+2 \right|+\left| \left( 1+i \right)z-2 \right|=4\sqrt{2}\). Gọi \(m=\max \left| z \right|;\,\,n=\min \left| z \right|\) và số phức \(w=m+ni\). Tính \({{\left| w \right|}^{2018}}\).

  • A

     \({{4}^{1009}}\)                                 

  • B

     \({{5}^{1009}}\)                                 

  • C

     \({{6}^{1009}}\)                                 

  • D  \({{2}^{1009}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \(\left| 1+i \right|\) và suy ra đường biểu diễn của số phức z.

Lời giải chi tiết:

\(\left| \left( 1+i \right)z+2 \right|+\left| \left( 1+i \right)z-2 \right|=4\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| z+\frac{2}{1+i} \right|+\left| z-\frac{2}{1+i} \right|=\frac{4\sqrt{2}}{\left| 1+i \right|}\Leftrightarrow \left| z+1-i \right|+\left| z-1+i \right|=4\)

\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm z là elip có độ dài trục lớn là \(2a=4\Rightarrow a=2\) và hai tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( 1;-1 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( -1;1 \right)\Rightarrow c=\sqrt{2}\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=\sqrt{2}\).

\(\begin{align}  \Rightarrow m=\max \left| z \right|=2;\,\,n=\min \left| z \right|=\sqrt{2} \\  \Rightarrow w=2+\sqrt{2}i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{6}\Rightarrow {{\left| w \right|}^{2018}}={{6}^{1009}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right)\). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm  là.

  • A Các điểm trên trục tung với \( - 1 < y < 1\)
  • B Các điểm trên trục hoành với \( - 1 < x < 1\)
  • C Các điểm trên trục tung với \(\left[ \begin{array}{l}y <  - 1\\y > 1\end{array} \right.\)
  • D Các điểm trên trục hoành với \(\left[ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x \ge 1\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thay \(z = x + yi\), nhân liên hợp, xác định phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\).

\(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right) < 0\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right) = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\dfrac{{z + i}}{{z - i}} = \dfrac{{x + yi + i}}{{x + yi - i}} = \dfrac{{x + \left( {y + 1} \right)i}}{{x + \left( {y - 1} \right)i}}\\ = \dfrac{{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}\\ = \dfrac{{{x^2} - x\left( {y - 1} \right)i + x\left( {y + 1} \right)i + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1 + \left( { - xy + x + xy + x} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2xi}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 1 < 0\\2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\ - 1 < y < 1\end{array} \right.\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm là các điểm trên trục tung với \( - 1 < y < 1\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m \in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| {z - m} \right| = 4\) và \(\frac{z}{{z - 6}}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.

  • A 0
  • B 12
  • C 6
  • D 14

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in R} \right)\), tìm điều kiện để \(\frac{z}{{z - 6}}\) là số thuần ảo.

Suy ra các đường biểu diễn z thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm điều kiện để các đường biểu diễn đó có 1 điểm chung duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right),z \ne 6.\) M(a; b) là điểm biểu diễn z. Khi đó ta có

\(\frac{z}{{z - 6}} = \frac{{a + bi}}{{\left( {a + bi} \right) - 6}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {a - 6 - bi} \right)}}{{\left( {a - 6 + bi} \right)\left( {a - 6 - bi} \right)}} = \frac{{a\left( {a - 6} \right) + {b^2} + i\left( {b\left( {a - 6} \right) - ab} \right)}}{{{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {b^2}}}\)

Để \(\frac{z}{{z - 6}}\)  là số thuần ảo thì ta phải có \(a\left( {a - 6} \right) + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + {b^2} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Và \({\left( {a - 6} \right)^2} + {b^2} \ne 0\). Suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm \(I\left( {3;0} \right)\) bán kính \(R = 3\).

Từ \(\left| {z - m} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {a + bi} \right) - m} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - m} \right)^2} + {b^2} = 16\,\,\left( 2 \right)\)

Suy ra M thuộc đường tròn tâm \(I'\left( {m;0} \right);\) bán kính \(R' = 4\).

Để có đúng 1 điểm M thỏa mãn thì hai đường tròn \(\left( {I;R} \right);\,\,\left( {I';R'} \right)\) có 1 điểm chung duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}II' = R + R'\\II' = \left| {R - R'} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| = 7\\\left| {m - 3} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m =  - 4\\m = 4\\m = 2\end{array} \right.\)

Với \(m = 2;m = 10\) loại do hai đường tròn tiếp xúc tại điểm \(\left( {6;0} \right)\).

Vậy \(S = \left\{ { - 4;4} \right\}\)

Tổng các phần tử của S là \(4 - 4 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phần thực số phức \[\text{w}={{z}^{3}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}\]. Trong đó z là số phức có |z| = 1 . Tính \(P={{M}^{2}}+{{m}^{2}}\)

  • A P=8                        
  • B  P=5                              
  • C P=29               
  • D  P=10

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức : \(z.\overline{z}=|z{{|}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

 áp dụng công thức trên ta có :

\({{z}^{3}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}={{z}^{3}}+\frac{{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}}{{{\left( {{\left( |z| \right)}^{2}} \right)}^{3}}}={{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}\)

Đặt z = a + bi , ta có 

\(\begin{align}  & \text{w}={{\left( a+bi \right)}^{3}}+{{\left( a-bi \right)}^{3}} \\ & ={{a}^{3}}+3a{{\left( bi \right)}^{2}}+3{{a}^{2}}bi+{{\left( bi \right)}^{3}}+{{a}^{3}}+3a{{\left( -bi \right)}^{2}}+3{{a}^{2}}\left( -bi \right)+{{\left( -bi \right)}^{3}} \\ & =2{{a}^{3}}-6a{{b}^{2}} \\\end{align}\)

Mà có : \(|z|=1=>\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1=>{{b}^{2}}=1-{{a}^{2}}\)

Suy ra :\(\text{w}=8{{a}^{3}}-6a\) với  a thuộc [ -1 ; 1 ]

Xét hàm \(f\left( a \right)=8{{a}^{3}}-6a\) trên đoạn [ -1 ; 1 ] ta được max = 2 ; min = - 2

Chọn đáp án A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 ,\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\). Biết góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \) bằng \({45^0}\). Tính giá trị của biểu thức  \(P = \left| {\dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}} \right|\).

  • A \(P = \sqrt 5 \).                       
  • B \(P = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).
  • C \(P = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}\).                  
  • D \(P = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2  - 2}}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học để tính giá trị của P.

Chú ý: \(\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\), \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải chi tiết:

 

Ta có: \(P = \left| {\dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{OE}}{{OF}}\) (quan sát hình vẽ)

\(\begin{array}{l}O{E^2} = O{M^2} + M{E^2} - 2OM.ME.\cos {135^0} = 2 + 4 - 2\sqrt 2 .2.\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 10\\ \Rightarrow OE = \sqrt {10} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}O{F^2} = O{M^2} + M{F^2} - 2OM.MF.\cos {45^0} = 2 + 4 - 2\sqrt 2 .2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2\\ \Rightarrow OF = \sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{{OE}}{{OF}} = \sqrt 5 \).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = 5\), \(\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\overline z }} = \dfrac{5}{{17}}\) và \(z\) có phần ảo dương. Tìm tổng phần thực vào phần ảo của \(z\).

  • A 2
  • B 4
  • C 6
  • D 8

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R},b > 0} \right)\).

Ta có: \(\left| {z - 1} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2a - 24 = 0\) (1)

\(\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\overline z }} = \dfrac{5}{{17}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + bi}} + \dfrac{1}{{a - bi}} = \dfrac{5}{{17}} \Leftrightarrow \dfrac{{2a}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{5}{{17}} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - \dfrac{{34}}{5}a = 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(a = 5\)\( \Rightarrow 25 + {b^2} - 34 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\,(L)\\b = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow z = 5 + 3i\)

Tổng phần thực vào phần ảo của \(z\) là: 8.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho z là một số phức (không phải là số thực) sao cho số phức \(\frac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng 4. Tính \(\left| z \right|\)?

  • A \(\left| z \right| = 4\).
  • B \(\left| z \right| = \frac{1}{6}\).
  • C \(\left| z \right| = \frac{1}{4}\).
  • D \(\left| z \right| = \frac{1}{8}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Đặt \(\frac{1}{{\left| z \right| - z}} = 4 + bi\).

+) Thay vào biểu thức ban đầu, sử dụng phương pháp môđun hai vế.

Lời giải chi tiết:

Do \(\frac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng 4 nên giả sử: \(\frac{1}{{\left| z \right| - z}} = 4 + bi\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left| z \right| - 4z + b\left| z \right|i - bzi = 1 \Leftrightarrow \left( {4 + bi} \right)z = 4\left| z \right| - 1 + b\left| z \right|i\\ \Rightarrow \left| {\left( {4 + bi} \right)z} \right| = \left| {4\left| z \right| - 1 + b\left| z \right|i} \right| \Leftrightarrow \left| {4 + bi} \right|\left| z \right| = \left| {4\left| z \right| - 1 + b\left| z \right|i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {16 + {b^2}} .\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {4\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {b^2}{{\left| z \right|}^2}}  \Leftrightarrow \left( {16 + {b^2}} \right){\left| z \right|^2} = {\left( {4\left| z \right| - 1} \right)^2} + {b^2}{\left| z \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {16 + {b^2}} \right){\left| z \right|^2} = 16{\left| z \right|^2} - 8\left| z \right| + 1 + {b^2}{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow  - 8\left| z \right| + 1 = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = \frac{1}{8}\end{array}\)

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho số phức z thỏa mãn :\(\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\). Môđun của số phức \({\rm{w}} = z + 1 - 2i\) là:

  • A \(7\)
  • B \(\sqrt 7 \)
  • C  \(25\)
  • D

    \(4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giải phương trình đã cho để tìm \(z\) từ đó tính mô đun của \(w.\)

Số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{2(1 + 2i)}}{{1 + i}} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = 7 + 8i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + 3 + i = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 + 7i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 7i}}{{2 + i}} = \dfrac{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}} = 3 + 2i\end{array}\)

Suy ra \(w = z + 1 - 2i = 3 + 2i + 1 - 2i = 4 \Rightarrow \left| w \right| = 4.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau, đồng thời thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}} \in \mathbb{R}\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 3 \). Tính môđun của số phức \({z_1}\).

  • A \(\left| {{z_1}} \right| = 3\).
  • B \(\left| {{z_1}} \right| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
  • C \(\left| {{z_1}} \right| = 2\).
  • D

    \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 5 \).

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Giả sử \({z_1} = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R},{a^2} + {b^2} > 0} \right) \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,{z_1} - {z_2} = 2bi \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {2bi} \right| = \left| {2b} \right| = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow {b^2} = 3\\ + )\,\,\dfrac{{{z_1}}}{{z_2^2}} = \dfrac{{a + bi}}{{{{\left( {a - bi} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a + bi} \right)}^3}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a^3} - 3a{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{3{a^2}b - {b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}i\,\, \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \dfrac{{3{a^2}b - {b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b\left( {3{a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\{b^2} = 3{a^2}\end{array} \right.\end{array}\)

+) \(b = 0 \Rightarrow {z_1} = \,\,{z_2} = a \Rightarrow \)\(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 0 \ne 2\sqrt 3  \Rightarrow \) Loại

+) \({b^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {1 + 3}  = 2\)

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z = {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{2019}}\). Tính \({z^4}\).

  • A \( - 1\)
  • B \(i\)
  • C \( - i\)
  • D \(1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thu gọn số phức \(z\) rồi suy ra \({z^4}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = \frac{{2i}}{2} = i\) \( \Rightarrow z = {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{2019}} = {i^{2019}}\)

\( \Rightarrow {z^4} = {\left( {{i^{2019}}} \right)^4} = {\left( {{i^4}} \right)^{2019}} = 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) khác \(0\) thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 10\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng

  • A  \(10\)                                                  
  • B \(10\sqrt 2 \)                                    
  • C  \(10\sqrt 3 \)                                   
  • D  \(20\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Viết \({z_1} = ki{z_2}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào đẳng thúc bài cho tìm \(\left| {{z_2}} \right|,\left| {{z_1}} \right|\) theo \(k\).

- Tìm GTLN của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo nên ta viết lại \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = ki \Leftrightarrow {z_1} = ki{z_2}\)

Khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {ki{z_2} - {z_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {{z_2}\left( { - 1 + ki} \right)} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{{10}}{{\left| { - 1 + ki} \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {ki} \right|.\left| {{z_2}} \right| = \left| k \right|.\dfrac{{10}}{{{k^2} + 1}}\) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \dfrac{{10\left| k \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} + \dfrac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = \dfrac{{10\left( {\left| k \right| + 1} \right)}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

Xét \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{10\left( {t + 1} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) \( \Rightarrow 10\left( {t + 1} \right) = y\sqrt {{t^2} + 1}  \Leftrightarrow 100{\left( {t + 1} \right)^2} = {y^2}\left( {{t^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 100\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) = {y^2}{t^2} + {y^2} \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 100} \right){t^2} - 200t + {y^2} - 100 = 0\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {100^2} - {\left( {{y^2} - 100} \right)^2} = {y^2}\left( {200 - {y^2}} \right) \ge 0\) \( \Leftrightarrow  - 10\sqrt 2  \le y \le 10\sqrt 2 \)

Vậy \(\max y = 10\sqrt 2 \) khi \(t = 1\) hay \(k =  \pm 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Tính tổng phần thực của tất cả các số phức \(z \ne 0\) thỏa mãn \(\left( {z + \dfrac{5}{{\left| z \right|}}} \right)i = 7 - z.\)

  • A \( - 2\)                                                 
  • B \( - 3\)                                                 
  • C \(3\)                                                     
  • D \(2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cô lập \(z\), sử dụng phương pháp môđun hai vế.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {z + \dfrac{5}{{\left| z \right|}}} \right)i = 7 - z \Leftrightarrow zi + \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}} = 7 - z \Leftrightarrow z\left( {i + 1} \right) = 7 - \dfrac{{5i}}{{\left| z \right|}}\\ \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^2} = 49 + \dfrac{{25}}{{{{\left| z \right|}^2}}} \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^4} - 49{\left| z \right|^2} - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 25\,\,\left( {tm} \right)\\\left| z \right| =  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| z \right| = 5\,\,\left( {Do\,\,\left| z \right| > 0} \right)\end{array}\)

Thay \(\left| z \right| = 5\) vào biểu thức đề bài ta có:

\(\left( {z + 1} \right)i = 7 - z \Leftrightarrow z\left( {i + 1} \right) = 7 - i \Leftrightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{i + 1}} = 3 - 4i\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho số phức \(z\) có phần thực bằng \(\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {\dfrac{1}{z} - i} \right|\) bằng

  • A \(\sqrt 2 \).
  • B \(1\).
  • C \(1 + \sqrt 2 \).
  • D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi \(z = \sqrt 2  + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)\). Sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = \sqrt 2  + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)\). Theo bài ra ta có:

\(\left| {\dfrac{1}{z} - i} \right| = \dfrac{{\left| {1 - iz} \right|}}{{\left| z \right|}} = \dfrac{{\left| {1 - i\left( {\sqrt 2  + yi} \right)} \right|}}{{\sqrt {2 + {y^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}}}  = \sqrt {f\left( y \right)} \).

Xét hàm số

\(\begin{array}{l}f\left( y \right) = \dfrac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}} = \dfrac{{3 + 2y + {y^2}}}{{2 + {y^2}}} = 1 + \dfrac{{1 + 2y}}{{2 + {y^2}}}\\f'\left( y \right) = \dfrac{{2\left( {2 + {y^2}} \right) - \left( {1 + 2y} \right).2y}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{4 + 2{y^2} - 2y - 4{y^2}}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{y^2} - 2y + 4}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}}\\f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2{y^2} - 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow \max f\left( y \right) = f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \max \left| {\dfrac{1}{z} - i} \right| = \sqrt 2 \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Gọi \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\overline z \left( {1 + i} \right) = 3 - i\). Tính \(a - 2b\).

  • A \(5.\)
  • B \( - 3.\)
  • C \( - 2.\)

     

  • D \(6.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

- Tìm \(\overline z \) từ giả thiết, sau đó suy ra \(z\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\overline z \left( {1 + i} \right) = 3 - i\\ \Rightarrow \overline z  = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = 1 - 2i\\ \Rightarrow z = 1 + 2i\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2\\ \Rightarrow a - 2b = 1 - 2.2 =  - 3.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho số phức \(z = \dfrac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}\). Số phức \({\rm{w}} = {z^2}\) có \(\left| {\rm{w}} \right| = 9\) khi các giá trị của \(m\) là:

  • A \(m =  \pm 1.\)
  • B \(m =  \pm 2.\)
  • C \(m =  \pm 3.\)
  • D \(m =  \pm 4.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tính \(w = {z^2}\) rồi suy ra \(\left| {\rm{w}} \right|\).

- Giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \dfrac{{m + 3i}}{{1 - i}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\dfrac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \dfrac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}} = \dfrac{{\left( {{m^2} - 9} \right) + 6mi}}{{ - 2i}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}} = \dfrac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}}  = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} =  - 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 3\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{{5\left( {\overline z  + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\). Mô đun số phức \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\) bằng

  • A \(13.\)
  • B \(2.\)
  • C \(\sqrt {13} .\)
  • D \(\sqrt 2. \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

- Thay vào biểu thức, nhân chéo sau đó tìm \(a,\,\,b\).

- Suy ra số phức \(z\) và tính \({\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{5\left( {\overline z  + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow \dfrac{{5\left( {a - bi + i} \right)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a - \left( {b - 1} \right)i} \right] = \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {2 - i} \right)\\ \Leftrightarrow 5a - 5\left( {b - 1} \right)i = 2\left( {a + 1} \right) + b + \left( {2b - a - 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 - 5b = 2b - a - 1\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i = 2 + 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Cho số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i\). Số phức liên hợp của z là \(\overline z  = a + bi\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\).  Giá trị của \(a + b\) bằng:

  • A \( - 1\).
  • B \( - 12.\)
  • C \( - 6\).
  • D \( 1\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm số phức z bằng MTCT rồi suy ra \(\overline z \): Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

- Xác định các hệ số \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\dfrac{{\left( { - 1 + i} \right)z + 2}}{{1 - 2i}} = 2 + 3i \Rightarrow z = \dfrac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - 2i} \right) - 2}}{{ - 1 + i}} =  - \dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{2}i\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  =  - \dfrac{7}{2} + \dfrac{5}{2}i\\ \Rightarrow a =  - \dfrac{7}{2};\,\,b = \dfrac{5}{2}\end{array}\)

Vậy \(a + b =  - \dfrac{7}{2} + \dfrac{5}{2} =  - 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{3 - 4i}}{z} = \dfrac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\), giá trị của \(\left| z \right|\) bằng

  • A \(\sqrt 5 \)
  • B \(\sqrt {10} \)
  • C \(1\)
  • D \(\sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2}\).

- Quy đồng mẫu tìm số phức \(z\).

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{{3 - 4i}}{z} = \dfrac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 4i}}{z} = \dfrac{{\left( {2 + 3i} \right)\overline z }}{{z.\overline z }} + 2 + i\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 4i}}{z} = \dfrac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i\\ \Leftrightarrow 3 - 4i = 2 + 3i + \left( {2 + i} \right).z\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right).z = 1 - 7i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{1 - 7i}}{{2 + i}} =  - 1 - 3i\end{array}\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {10} .\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Số phức liên hợp của số phức \(z = \dfrac{i}{{1 + i}}\) là:

  • A \(\dfrac{{ - i}}{{1 + i}}\)
  • B \(\dfrac{i}{{1 - i}}\)
  • C \(\dfrac{i}{{i + 1}}\)
  • D \(\dfrac{{1 - i}}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó số phức liên hợp của \(z\) là \(\overline z  = a - bi.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = \dfrac{i}{{1 + i}} = \dfrac{{i\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}\)\( = \dfrac{{i - {i^2}}}{2} = \dfrac{{1 + i}}{2}\)

\( \Rightarrow \) Số phức liên hợp với số phức đã cho là: \(\overline z  = \dfrac{{1 - i}}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Modun của số phức \(z = \dfrac{1}{{1 + i}} + \dfrac{2}{{1 - i}}\) bằng:

  • A \(\dfrac{{10}}{4}\)
  • B \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\)
  • C \(\sqrt 5 \)
  • D \(\sqrt {10} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Modun của số phức \(z = x + yi:\;\;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Rút gọn số phức \(z\) rồi tính modun của số phức.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = \dfrac{1}{{1 + i}} + \dfrac{2}{{1 - i}} = \dfrac{{1 - i}}{{1 - {i^2}}} + \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 - {i^2}}}\)\( = \dfrac{{1 - i}}{2} + \dfrac{{2 + 2i}}{2} = \dfrac{{3 + i}}{2}\)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Có bao nhiêu số phức z  thỏa mãn \(|z-3i|=5\)  và \(\frac{z}{z-4}\)  là số thuần ảo?

  • A 0
  • B 2
  • C vô số
  • D 1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\left( z\ne 4 \right)\) , ta có \(|z-3i|=5\Leftrightarrow |a+bi-3i|=5 \)

\( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=25 \) \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16\)  (1)

Mặt khác \(\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{a + bi}}{{a + bi - 4}} = \frac{{(a + bi)(a - 4 - bi)}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}} = \frac{{({a^2} - 4a + {b^2}) - 4bi}}{{{{(a - 4)}^2} + {b^2}}}\)

\(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo khi \({{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\)  (2)

Giải hệ (1) và (2):

Lấy  trừ  vế với vế ta được:

\(4a-6b=16\Leftrightarrow 2a-8=3b\Leftrightarrow 2\left( a-4 \right)=3b\Leftrightarrow a-4=\frac{3b}{2}\).

Thay \(a-4=\frac{3b}{2}\) vào  ta được:

\(a.\frac{{3b}}{2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {\frac{{3a}}{2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - \frac{{3a}}{2}\end{array} \right.\).

Nếu \(b=0\) thì \(a=4\Rightarrow z=4\) (loại do \(z\ne 4\)

Nếu \(b=-\frac{3a}{2}\) thì \(a - 4 =  - \frac{{9a}}{4} \Leftrightarrow a = \frac{{16}}{{13}} \)

\( \Rightarrow b =  - \frac{{24}}{{13}} \Rightarrow z = \frac{{16}}{{13}} - \frac{{24}}{{13}}i\) (thỏa mãn)

Vậy có 1  số phức thỏa mãn bài toán.

Chọn D

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Cho số phức \(z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}\). Khi đó \(z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}\) bằng:

  • A -1
  • B 1
  • C i
  • D -i

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính số phức \(z\Rightarrow z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}\)(lưu ý: \({{i}^{4k}}=1;{{i}^{4k+1}}=i;{{i}^{4k+2}}=-1;{{i}^{4k+3}}=-i\)).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{1+2i+{{i}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{2i}{2}=i\)

\(\Rightarrow z={{i}^{2017}}=i.{{i}^{2016}}=i.{{\left( {{i}^{4}} \right)}^{504}}=i{{.1}^{504}}=i\)

 \(\Rightarrow z.{{z}^{7}}.{{z}^{15}}=i.{{i}^{7}}.{{i}^{15}}={{i}^{23}}=i.{{i}^{22}}=i.{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{11}}=i.{{\left( -1 \right)}^{11}}=-i\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 3+i \right)\left| z \right|=\frac{-2+14i}{z}+1-3i\). Chọn khẳng định đúng?

  • A \(\frac{13}{4}<\left| z \right|<5\)                   
  • B \(1<\left| z \right|<\frac{3}{2}\)                                
  • C  \(\frac{3}{2}<\left| z \right|<2\)                               
  • D \(\frac{7}{4}<\left| z \right|<\frac{11}{5}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chuyến vế, lấy môđun hai vế, đưa về phương trình trùng phương.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\left( 3+i \right)\left| z \right|=\frac{-2+14i}{z}+1-3i \\  & \Leftrightarrow \left( 3+i \right)\left| z \right|-1+3i=\frac{-2+14i}{z} \\  & \Leftrightarrow \left( 3\left| z \right|-1 \right)+\left( \left| z \right|+3 \right)i=\frac{-2+14i}{z} \\ \end{align}\)

Lấy mođun hai vế ta có : \(\sqrt{9{{\left| z \right|}^{2}}-6\left| z \right|+1+{{\left| z \right|}^{2}}+6\left| z \right|+9}=\frac{10\sqrt{2}}{\left| z \right|}\)

\( \Leftrightarrow 10{\left| z \right|^2} + 10 = \frac{{200}}{{{{\left| z \right|}^2}}} \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} + {\left| z \right|^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 4 \Rightarrow \left| z \right| = 2 \in \left( {\frac{7}{4};\frac{{11}}{5}} \right)\)

Chọn D. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho các số phức zw thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\). Tìm GTLN của \(T = \left| {w + i} \right|\).

  • A \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).                      
  • B \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).                    
  • C \(2\).                 
  • D \(\frac{1}{2}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng BĐT \(\left| {{z_1} + {z_3}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Dễ dàng kiểm tra \(z = 0\) không thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\)

Ta có: \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3 - i} \right)\left| z \right| + i - 1 \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\)\( \Rightarrow \left| {\frac{z}{{w - 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2} \)\( \Rightarrow \left| {w - 1} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2}}} \)

Nhận xét: \(T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w - 1} \right| + \left| {1 + i} \right| = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} - \frac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2  = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{1}{{\left| z \right|}} - 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2  \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \frac{1}{2}\\w - 1 = k\left( {1 + i} \right)\\\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\end{array} \right.,\left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2}i\\w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)

Vậy, \(\max T = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Số phức \(z = a + bi\), \(a,\,b \in \mathbb{R}\) là nghiệm của phương trình \(\frac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \frac{1}{{\bar z}}}} = i\). Tổng \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

  • A \(4\).
  • B \(4 - 2\sqrt 3 \).
  • C \(3 + 2\sqrt 2 \).
  • D \(3\).

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)}}{{z - \frac{1}{{\bar z}}}} = i \Leftrightarrow \frac{{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2} - 1}} = i\,\,\left( {\left| z \right| \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)\overline z  = i\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\left| z \right| + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left[ {\left( {1 + iz} \right)\overline z  - i\left( {\left| z \right| + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\\overline z  + i{\left| z \right|^2} - i\left| z \right| - i = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \overline z  + i\left( {{{\left| z \right|}^2} - \left| z \right| - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \overline z  =  - i\left( {{{\left| z \right|}^2} - \left| z \right| - 1} \right) \Leftrightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| {{{\left| z \right|}^2} - \left| z \right| - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = {\left| z \right|^4} + {\left| z \right|^2} + 1 - 2{\left| z \right|^3} - 2{\left| z \right|^2} + 2\left| z \right|\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 2{\left| z \right|^3} - 2{\left| z \right|^2} + 2\left| z \right| + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\left| z \right| + 1} \right)\left( {{{\left| z \right|}^2} - 2\left| z \right| - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - 2\left| z \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = 3 + 2\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay

Gửi bài