Phương pháp giải:

Tách hạng tử \( - 8{x^2}\) thành \( - 2{x^2} - 6{x^2}\) và tách \( - 41x\) thành \(4x - 45x\) sau đó ghép nhóm hạng tử để tạo nhân tử chung \(3x - 2\).

Tiếp tục tách ghép hợp lý tạo nhân tử chung \(x + 3\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\\ = 3{x^3} - 2{x^2} - 6{x^2} + 4x - 45x + 30\\ = {x^2}\left( {3x - 2} \right) - 2x\left( {3x - 2} \right) - 15\left( {3x - 2} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 15} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 5x - 15} \right)\\ = \left( {3x - 2} \right)\left[ {x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \right]\\ = \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đổi chỗ hạng tử để áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để tạo và sử dụng hằng đẳng thức mới \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^4} - 4{x^2} - {y^2} + 4\\ = {x^4} - 4{x^2} + 4 - {y^2}\\ = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {{x^2} - 2 + y} \right)\left( {{x^2} - 2 - y} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y  \cr  &  = 16{x^4}\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)  \cr &  = \left( {16{x^4} - 1} \right)\left( {x - y} \right)  \cr &  = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^4} - 1} \right]\left( {x - y} \right)  \cr  &  = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {\left( {2{x^2}} \right) + 1} \right]\left( {x - y} \right)  \cr  &  = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right). \cr} \)           \(\eqalign{& b)\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy  \cr &  = 2xy\left( {{x^2} - {y^2} - 2y - 1} \right)  \cr  &  = 2xy\left[ {{x^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)} \right]  \cr &  = 2xy\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]  \cr &  = 2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& c)\;16{x^3} - 54{y^3}  \cr &  = 2\left( {8{x^3} - 27{y^3}} \right)  \cr &  = 2\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {{\left( {3y} \right)}^3}} \right]  \cr &  = 2\left( {2x - 3y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right]  \cr &  = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right). \cr} \)        \(\eqalign{& d)\;{x^3} + {x^2} - 4x - 4  \cr &  = \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {4x + 4} \right)  \cr &  = {x^2}\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right)  \cr &  = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)  \cr &  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& e)\;{x^2} - 9 + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)  \cr &  = \left( {{x^2} - 9} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3 - 2x - 7} \right)  \cr &  = \left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right). \cr} \)         \(\eqalign{& f)\;{x^2} - 2x + 1 - 4{y^2}  \cr &  = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\left( {2y} \right)^2}  \cr &  = {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2}  \cr &  = \left( {x - 1 - 2y} \right)\left( {x - 1 + 2y} \right)  \cr &  = \left( {x - 2y - 1} \right)\left( {x + 2y - 1} \right). \cr} \)

\(\eqalign{& g)\;4{x^3} - 4{x^2} - x + 1  \cr &  = \left( {4{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right)  \cr &  = 4{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)  \cr &  = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right). \cr} \)          \(\eqalign{& h)\;{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}  \cr &  = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)  \cr &  = {x^2}\left( {{x^2} - 2.2.x + {2^2}} \right)  \cr &  = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(B=5.101,5-50.0,15=5.101,5-5.10.0,15=5\left( 101,5-10.0,15 \right)=5\left( 101,5-1,5 \right)=5.100=500\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(B=5{{x}^{2}}yz+5x{{y}^{2}}z-5xyz=5xyz.x+5xyz.y-5xyz=5xyz\left( x+y-1 \right)\)

Với \(x+y=0\), biểu thức \(B\) rút gọn là: \(B=5xyz\left( 0-1 \right)=-5xyz\)

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a){\left( {x - 1} \right)^2} = x - 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=2\)

\(\begin{array}{l}b)\;7{x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 7x.x + 2.x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {7x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{2}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{7}\)

\(\begin{array}{l}c)7{x^2}\left( {x - 7} \right) + 5x\left( {7 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7x.x\left( {x - 7} \right) - 5.x\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7x.x - 5.x} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {7x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\7x - 5 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{7}\\x = 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x=7\) hoặc \(x=\frac{5}{7}\)

\(\begin{array}{l}d)\;{x^3} - 3{x^2} + 3 - x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}.x - 3.{x^2} + \left( {3 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=-1\) hoặc \(x=3\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(A={{x}^{6}}-{{x}^{4}}-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\={{x}^{3}}.{{x}^{3}}-{{x}^{3}}.x-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\={{x}^{3}}\left( {{x}^{3}}-x \right)-x\left( {{x}^{3}}-x \right)\\=\left( {{x}^{3}}-x \right)\left( {{x}^{3}}-x \right)\)

Với \({{x}^{3}}-x=6\), giá trị của biểu thức là: \(A=6.6=36.\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)\ P={{7}^{19}}+{{7}^{20}}+{{7}^{21}} \\ ={{7}^{19}}+{{7}^{19}}.7+{{7}^{19}}{{.7}^{2}} \\ ={{7}^{19}}.\left( 1+7+{{7}^{2}} \right)\\ ={{7}^{19}}\left( 1+7+49 \right) \\={{7}^{19}}.57\)

Suy ra \(P\) chia hết cho \(57\).

\(b)\ Q={{32}^{567}}-{{32}^{566}} \\ ={{32}^{566}}.32-{{32}^{566}}.1 \\ ={{32}^{566}}\left( 32-1 \right) \\ ={{32}^{566}}.31\)

Suy ra \(Q\) chia hết cho \(31\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x\\B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x.2 + {2^2}} \right) - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3x\\B = {x^3} - {2^3} - x.{x^2} + x.1 + 3x\\B = {x^3} - 8 - {x^3} + x + 3x\\B = 4x - 8\end{array}\)

 Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)\;{x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = \left( {{x^2} + 2.2.x + {2^2}} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}b)\;4{x^2} - 25 - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= {\left( {2x} \right)^2} - {5^2} - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {2x - 5} \right)\\= \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5 + 2x + 7} \right) = \left( {2x - 5} \right)\left( {4x + 12} \right)\end{array}\)

\(c)\;{\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = {\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2} = \left( {2{x^2} - y - 8y} \right)\left( {2{x^2} - y + 8y} \right) = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)\)

\(d)\; - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( { - x} \right)^3} + 3.{x^2}.2y + 3.\left( { - x} \right).{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} = {\left( { - x + 2y} \right)^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}\)

\(\begin{array}{l}e)\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\\ = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;{\left( {x + 5} \right)^2} - 2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {\left( {x + 5} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5 - x + 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {7^2} = 49\end{array}\)

Vậy với mọi \(x\) đều thỏa mãn.

\(\begin{array}{l}b)\;4{x^2} + 12x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + {3^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(x=-\frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}c)\;9{x^2} - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - {4^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 4} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 4 = 0\\3x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{4}{3}\) hoặc \(x=-\frac{4}{3}\).

\(\begin{array}{l}d)\;{x^3} - 3{x^2} + 3x + 63 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2}.\left( { - 1} \right) + 3.x.{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + 64 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} + 64 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = - 64\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( { - 4} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x - 1 = - 4\\ \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\)

Vậy \(x=-3\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a)A={{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x+2y=\left( x-y \right)\left( x+y \right)-2\left( x-y \right)=\left( x-y \right)\left( x+y-2 \right)\)

Tại \(x=2345\) và \(y=2344\), giá trị của biểu thức là:

\(A=\left( 2345-2344 \right)\left( 2345+2344-2 \right)=1.4687=4687\)

\(b)\ B={{x}^{2}}-2009x-{{y}^{2}}+2009y \\={{x}^{2}}-{{y}^{2}}-\left( 2009x-2009y \right) \\ =\left( x-y \right)\left( x+y \right)-2009\left( x-y \right) \\ =\left( x-y \right)\left( x+y-2009 \right)\)

Tại \(x=723\) và \(y=1286\), giá trị của biểu thức là:

\(B=\left( 723-1286 \right)\left( 1286+723-2009 \right)=-563.0=0\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;{56^2} - {44^2} - {23^2} + {77^2}\\ = \left( {{{56}^2} - {{44}^2}} \right) - \left( {{{23}^2} - {{77}^2}} \right)\\ = \left( {56 + 44} \right)\left( {56 - 44} \right) - \left( {23 + 77} \right)\left( {23 - 77} \right)\\ = 100.12 - 100.\left( { - 54} \right)\\ = 100\left( {12 + 54} \right)\\ = 100.66 = 6600\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}b)\;{103^2} - {3^2} - 100.6\\ = \left( {103 - 3} \right)\left( {103 + 3} \right) - 100.6\\ = 100.106 - 100.6\\ = 100\left( {106 - 6} \right)\\ = 100.100 = 10000\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}c) \;{203^2} - {103^2}\\ = \left( {203 - 103} \right)\left( {203 + 103} \right)\\ = 100.306 = 30600\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}d)\;20,{5^2} - 10,{5^2}\\ = \left( {20,5 - 10,5} \right)\left( {20,5 + 10,5} \right)\\ = 10.31 = 310\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức có dạng: A.B = 0, suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó rút ra giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 18x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 2.3.x + {3^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy \(x = 3\).

Chọn B. 

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^3} - {B^3}\) để thu gọn biểu thức.

Sau đó, thay \(x = 3\) vào biểu thức và tính toán.

Lời giải chi tiết:

\({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3}\)\( = {\left( {x - 2} \right)^3}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Thay \(x = 3\) vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {3 - 2} \right)^2} = 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt \(2{x^2}\) để tạo nhân tử chung \(x - 2\) và giải phương trình tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2{x^2} - 4x + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) + 2x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Chọn B.          

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp và tách hạng tử (tách hạng tử thứ 2 thành 2 hạng tử giống nhau) để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau khi tách hạng tử, nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2, nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 5và nhóm hạng tử thứ 4 với hạng tử thứ 6 để xuất hiện nhân tử chung giống với \({{x}^{3}}-x\).

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Sau đó thế biểu thức \({{x}^{3}}-x=6\) vào biểu thức vừa biến đổi để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}\)

Tại \({{x}^{3}}-x=6\), ta có: \(B=\left( 6+1 \right).6=7.6=42\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Để tích các đa thức bằng 0 thì giá trị từng đa thức phải bằng 0.

Suy ra giá trị x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Vậy \(x=\frac{7}{2}\) hoặc \(x=2\).

\(\begin{array}{l}\,x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 7} \right) - 2\left( {2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\x = 2\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp phân phối phép nhân và phép trừ, giao hoán, kết hợp để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau đó, nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Để tích các đa thức bằng 0 thì giá trị từng đa thức phải bằng 0.

Suy ra giá trị x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;\,\,3{x^2} - 4x - 12 = - 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 12 + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} - 12} \right) - \left( {4x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 4} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {3\left( {x + 2} \right) - 4} \right]\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 2 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{-2}{3}\) hoặc \(x=2\).

\(\begin{array}{l}b)\;\,\,13x - 26{x^2} = 9 - 18x\\ \Leftrightarrow 13x\left( {1 - 2x} \right) = 9\left( {1 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 13x\left( {1 - 2x} \right) - 9\left( {1 - 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {13x - 9} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}13x - 9 = 0\\1 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{13}}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{9}{13}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l}c)\;x(x - 1)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=-1\) hoặc \(x=1\).

 Chọn B

Phương pháp giải:

Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung. Sau đó đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.Thay giá trị x vào tích các đa thức vừa thu được để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x - 1\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 2} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3 + 1} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right]\end{array}\)

Tại \(x=5\), ta có:\(\,\,\,A = \left( {5 - 1} \right)\left[ {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + 1} \right] = 4.\left( {{3^2} + 1} \right) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40\)

Vậy \(x=40\) .

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp để sắp xếp các hạng tử.

Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3 và nhóm hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Biểu thức B sẽ chia hết cho đa thức trong tích các đa thức của B thu được.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = 3{x^3} + 6{x^2} - 75x - 150\\\Leftrightarrow B = \left( {3{x^3} - 75x} \right) + \left( {6{x^2} - 150} \right)\\\Leftrightarrow B = 3x\left( {{x^2} - 25} \right) + 6\left( {{x^2} - 25} \right)\\\Leftrightarrow B = \left( {3x + 6} \right)\left( {{x^2} - {5^2}} \right)\\\Leftrightarrow B = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\end{array}\)

Suy ra \(B=3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-75x-150\) chia hết cho \(\left( x-5 \right)\).

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức bằng 0: A.B.C = 0- Suy ra, A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0.- Suy ra, các giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - x + 1 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 = 0 \hfill \cr  x + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x =  - 1 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy x = 1  hoặc x = -1 

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức (A + B)2 hoặc (A – B)2 để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó,\(C \ge c\) với mọi x.

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của C.

Lời giải chi tiết:

\(C = 4{x^2} + 8x + 9 = {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.2 + {2^2} + 5 = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x.2 + {2^2}} \right) + 5 = {\left( {2x + 2} \right)^2} + 5\)

Vì  \({\left( {2x + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \(C \ge 5\) với mọi x \( \Rightarrow Min\,\,C = 5\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1.\)

Kết luận C đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1. Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới. - Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;{x^8} + {x^4} + 1  \cr &  = {x^8} + 2{x^4} + 1 - {x^4}  \cr &  = \left( {{x^8} + 2{x^4} + 1} \right) - {x^4}  \cr &  = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} + 2.{x^4}.1 + {1^2}} \right] - {x^4}  \cr &  = {\left( {{x^4} + 1} \right)^2} - {\left( {{x^2}} \right)^2}  \cr &  = \left( {{x^4} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{x^4} + 1 + {x^2}} \right)  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 2{x^2} - {x^2} + 1} \right) \cr} \)

\(\eqalign{&  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2.1.{x^2} + 1} \right) - {x^2}} \right]  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right]  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right)  \cr &  = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right). \cr} \)          

\(\eqalign{& b)\;{x^2} + 3x - 18  \cr  &  = {x^2} + 6x - 3x - 18  \cr &  = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {6x - 18} \right)  \cr &  = x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right)  \cr &  = \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right). \cr} \)

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức bằng 0: A.B.C = 0- Suy ra, A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0.- Suy ra, các giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& a)\;{\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {4{x^2} - 9} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - {3^2}} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 3 - 2x - 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( { - 6} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2x - 3 = 0  \cr &  \Leftrightarrow x = {3 \over 2} \cr} \)         \(\eqalign{& b)\;{x^4} + 2{x^3} - 8x - 16 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 2{x^3}} \right) - \left( {8x + 16} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow {x^3}\left( {x + 2} \right) - 8\left( {x + 2} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^3} - 8 = 0 \hfill \cr x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 2 \hfill \cr x =  - 2 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

\(\eqalign{& c)\;2\left( {x + 3} \right) - {x^2} - 3x = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - x\left( {x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{2 - x = 0 \hfill \cr x + 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x =  - 3 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Phương pháp giải:

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

- Nhận xét kết quả thu được, biện luận để thu được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} - a = a\left( {a - 1} \right)\)

+) Với \(a = 2k\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow a - 1 = 2k - 1 \Rightarrow {a^2} - a = 2k\left( {2k - 1} \right)\)Vì 2k luôn chi hết cho 2 với mọi k \( \Rightarrow {a^2} – a\) chia hết cho 2 

+) Với\(a = 2k + 1\,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow a - a = 2b \Rightarrow {a^2} - a = \left( {2k + 1} \right)2k.\)

Vì 2k luôn chi hết cho 2 với mọi k \( \Rightarrow {a^2} – a\) chia hết cho 2.Vậy với mọi a nguyên thì \({a^2} – a\) chia hết cho 2.

Phương pháp giải:

Tạo nhân tử chung \({\left( {x - y} \right)^2}\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}{A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\\{A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\end{array} \right..\)

Sau đó thay \(x = 13;\,\,y = 3\) vào \(A\) và tính \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} - 2{x^2} - 2{y^2} + 4xy\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^3} - 2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^3} - 2{\left( {x - y} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x - y - 2} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 13;\,\,y = 3\) vào \(A\) ta được: \(A = {\left( {13 - 3} \right)^2}\left( {13 - 3 - 2} \right)\)\( = {10^2}.8 = 800.\)

Vậy \(A = 800\) với \(x = 13;\,\,y = 3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Rút nhân tử chung \(xy\) và tách \(5xy\) thành \( - 6xy + xy\) để tạo nhân tử chung \(x - 2y\) rồi thay \(x = 24;\,\,y = 12\) để tính toán.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 3{x^3}y - 5{x^2}{y^2} - 2x{y^3}\\\,\,\,\,\, = xy\left( {3{x^2} - 5xy - 2{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = xy\left( {3{x^2} - 6xy + xy - 2{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = xy\left[ {3x\left( {x - 2y} \right) + y\left( {x - 2y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = xy\left( {x - 2y} \right)\left( {3x + y} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 24;\,\,y = 12\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = 24.12\left( {24 - 2.12} \right)\left( {3.24 + 12} \right)\)\( = 24.12.0.84 = 0.\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = {a^3} + {b^3} + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - abc\\B = {a^2}.a + {b^2}.b + c.{a^2} + c.{b^2} - abc\\B = ({a^2}.a + c.{a^2}) + \left( {{b^2}.b + c.{b^2}} \right) - abc\\B = {a^2}\left( {a + c} \right) + {b^2}\left( {b + c} \right) - abc\;\;(1)\end{array}\)

Mà a + b + c = 0 nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = - b\\b + c = - a\end{array} \right.\) (2)

Thế (2) vào (1) ta có:

\(B = {a^2}\left( { - b} \right) + {b^2}\left( { - a} \right) - abc \\=  - {a^2}b - a{b^2} - abc \\=  - ab.a - ab.b - ab.c \\=  - ab(a + b + c)\\=  - ab.0 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết\(\begin{align} & C={{15}^{6}}-{{13}^{6}}=\left( {{15}^{3}}-{{13}^{3}} \right)\left( {{15}^{3}}+{{13}^{3}} \right)=\left( 15-13 \right)\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( 15+13 \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right) \\ & =2.28\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right)=56.\left( {{15}^{2}}+15.13+{{13}^{2}} \right)\left( {{15}^{2}}-15.13+{{13}^{2}} \right)\vdots 56 \\ \end{align}\)

Suy ra \(C={{15}^{6}}-{{13}^{6}}\) chia hết cho \(56\) .

Phương pháp giải:

Kết hợp kiến thức mới học và kiến thức cũ về hằng đẳng thức để suy luận logic ra hướng giải bài tập.Hằng đẳng thức được sử dụng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\)

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) = \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] = {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\end{array}\)

Do đó nếu \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\) thì \(a+b+c=0\) hoặc \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=0\)

Mà \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}.\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]\) suy ra \(a=b=c\). (điều phải chứng minh)

Phương pháp giải:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.- Khi đó, với mọi x.- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y  \cr &  \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17  \cr &  \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17. \cr} \)

Vì \(\left\{ \matrix{{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr {\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0 \hfill \cr}  \right.\) với mọi x nên  \(A \ge  - 17\) với mọi x.

\( \Rightarrow A =  - 17 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - y + 1 = 0 \hfill \cr y - 4 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = y - 1 \hfill \cr  y = 4 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại \(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)\) cho hai hạng tử đầu để rút nhân tử chung \(c - a\).

Sau đó thu gọn biểu thức, nhóm thích hợp tạo nhân tử \(a - b;\,\,b - c\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - b + b - c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2} - ab + ac + {b^2} - bc + {b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - 3ab + ac - 3bc + 3{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc} \right) + {\left( {c - a} \right)^3}\\ = \left( {c - a} \right)\left[ { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - {a^2} - 3{b^2} - {c^2} + 3ab - ac + 3bc + {c^2} - 2ac + {a^2}} \right)\\ = \left( {c - a} \right)\left( { - 3{b^2} + 3ab + 3bc - 3ac} \right)\\ = 3\left( {c - a} \right)\left[ {b\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)} \right]\\ = 3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giữ hạng tử đầu, khai triển hai hạng tử sau và sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\) để xuất hiện nhân tử \(y - z\).

Tiếp tục biến đổi liên tiếp, ghép hợp lý tạo các nhân tử \(x - y\,\,;z - x;\,\,x + y + z\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = x{\left( {y - z} \right)^3} + y{\left( {z - x} \right)^3} + z{\left( {x - y} \right)^3}\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + y\left( {{z^3} - 3{z^2}x + 3z{x^2} - {x^3}} \right) + z\left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + {z^3}y - 3{z^2}xy + 3z{x^2}y - {x^3}y + {x^3}z - 3{x^2}yz + 3x{y^2}z - {y^3}z\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - \left( {{y^3}z - {z^3}y} \right) - \left( {{x^3}y - {x^3}z} \right) + \left( {3x{y^2}z - 3{z^2}xy} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - yz\left( {{y^2} - {z^2}} \right) - {x^3}\left( {y - z} \right) + 3xyz\left( {y - z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ {x{{\left( {y - z} \right)}^2} - yz\left( {y + z} \right) - {x^3} + 3xyz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x{y^2} - 2yzx + {z^2}x - {y^2}z - y{z^2} - {x^3} + 3xyz} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( { - {x^3} + x{y^2} + {z^2}x - y{z^2} + xyz - {y^2}z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ { - x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right) + yz\left( {x - y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left[ { - x\left( {x + y} \right) + {z^2} + yz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} - {x^2} + yz - xy} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z + x + y} \right).\end{array}\)

Chọn B.