40 bài tập trắc nghiệm tương giao đồ thị hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng hai  nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

  • A \( - 4 < m \le  - 3\)
  • B \( - 4 \le m \le  - 3\)
  • C \(m =  - 4\) hoặc \(m >  - 3\)
  • D \( - 4 \le m <  - 3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x\), tìm điều kiện tương ứng của \(t\).

- Tìm mối quan hệ giữa số nghiệm x với số nghiệm t, từ đó suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Dễ thấy với mỗi \(t \in \left[ {0;1} \right)\) thì sẽ có 2 giá trị \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Do đó, để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 4 < m \le  - 3\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\), \(m\)là tham số. Khi đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\)(\(O\)là gốc tọa độ) thì \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

  • A \(\left( { - 3; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
  • B \(\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)
  • C \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)\)
  • D \(\left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-et tìm tổng và tích hai nghiệm theo \(m\).

- Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\), giải phương trình suy ra m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = x + m\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} - x + mx - m\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\1 + m - 3 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 4 + 4m > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 5 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}.{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\)

Giả sử \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1};{x_1} + m} \right);\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + m\left( {3 - m} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + 3m - {m^2} + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\end{array}\)

Vậy \(m =  - 2 \in \left( { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình bên dưới.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\), khẳng định nào sau đây đúng?

  • A \(g\left( 2 \right) < g\left( { - 1} \right) < g\left( 1 \right).\)
  • B \(g\left( { - 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\)
  • C \(g\left( 1 \right) < g\left( { - 1} \right) < g\left( 2 \right).\)
  • D \(g\left( 2 \right) > g\left( 1 \right) > g\left( { - 1} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\).

- Dựa vào tương giao đồ thị hàm số để giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hàm số  và so sánh các giá trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\).

Xét phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(g\left( { - 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) của phương trình \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) là:

  • A \(6\)
  • B \(3\)
  • C \(5\)
  • D \(4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Dựa vào BBT xác định số nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.

- Lập BBT hoặc vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\), với mỗi giá trị \(t\) tìm số nghiệm \(x\) tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right) = \dfrac{7}{3}\).

Đặt \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) .

Với \(x \in \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {3 - x} \right) = m\) có đúng hai nghiệm phân biệt là:

  • A \(2\)
  • B \(0\)
  • C \(1\)
  • D \(3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 3 - x\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\,\,\left( * \right)\).

- Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có đúng 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt. Dựa vào BBT suy ra các giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - x\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = m\,\,\left( * \right)\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có đúng 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\2 < m \le 4\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;3;4} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\)  thỏa mãn đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\)  và trục hoành có điểm chung?

  • A vô số
  • B \(2020\)
  • C \(4080\)
  • D \(2021\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\)  và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \)  phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x =  - m\)  có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y =  - m\)  và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  có điểm chung.

Lập BBT rồi xác định số giá trị của \(m\)  thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\)  và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \)  phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x =  - m\)  có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y =  - m\)  và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  có điểm chung.

Xét hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 2020 > 0\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Ta có BBT:

\( \Rightarrow \)  Với mọi giá trị của \(m\)  thì đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  tại 1 điểm.

Vậy có vô số giá trị của \(m\)  thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\) có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của T bằng

  • A \(1\)
  • B \(5\)
  • C \(0\)
  • D \(3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.

- Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ - 3\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3x - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m\).

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \(m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 3} \right).m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} - 3m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3 - 4m} \right) > 0\\3{m^2} - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0\\3m\left( {m - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hay \(T = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của T là 1.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình \(\left| {f\left( {3x + 1} \right) - 2} \right| = 5\) có bao nhiêu nghiệm?

  • A \(3\)
  • B \(5\)
  • C \(6\)
  • D \(4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình \(\left| {h\left( x \right)} \right| = m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h\left( x \right) = m\\h\left( x \right) =  - m\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3x + 1\).

Dễ thấy với mỗi \(x\) chỉ có một \(x\) và ngược lại.

Do đó số nghiệm \(x\) của phương trình đã cho bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

Ta có:

\(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) - 2 = 5\\f\left( t \right) - 2 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 7\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng \(y =  - 3\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

  • A \(5\)
  • B \(9\)
  • C \(3\)
  • D \(7\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tìm nghiệm của \(f\left( t \right) = 0\).

- Giải phương trình nghiệm của \(f\left( x \right) = t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\f\left( x \right) = b \in \left( {0;1} \right)\\f\left( x \right) = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

+) \(f\left( x \right) = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\) có 1 nghiệm.

+) \(f\left( x \right) = b \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

+) \(f\left( x \right) = c \in \left( {1;2} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy tổng tất cả có \(7\) nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình  \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có bốn nghiệm phân biệt.

  • A \(m > 2.\)
  • B \(m <  - 1.\)
  • C \( - 1 < m < \dfrac{1}{3}.\)
  • D \(1 < m < 2.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\).

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

   + Xóa đi phần đồ thị hàm số nằm ở bên trái trục tung.

   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm ở bên phải trục tung qua trục tung.

- Biện luận nghiệm để tìm tham số m: Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành. Do đó để phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \dfrac{1}{3}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

  • A \(0\)
  • B \(1\)
  • C \(2\)
  • D Vô số 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

- Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

   + Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox.

   + Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.

- Dựa đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) biện luận để phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) ta có:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\)

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) như sau:

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:

(Đường màu đỏ)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(0 < m < 2\).

m nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng x = 0 và đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = 6 - x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  - 6 - x} \right)dx} \)
  • B \(S = \pi \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  - 6 + x} \right)dx} \)
  • C \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  - 6 + x} \right)dx} \)
  • D \(S = \int\limits_0^4 {\left( {6 - x - \sqrt x } \right)dx} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm cận còn lại.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt x  = 6 - x\,\,\left( {0 \le x \le 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = 36 - 12x + {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 13x + 36 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Do đó hình phẳng cần tính được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), \(y = 6 - x\), đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\), có diện tích là \(S = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right|dx} \).

Với \(x \in \left[ {0;4} \right]\) thì \(\sqrt x  - 6 + x \le 0\), do đó \(\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right| = 6 - x - \sqrt x \).

Vậy \(S = \int\limits_0^4 {\left( {6 - x - \sqrt x } \right)dx} \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f\left( {2\tan x} \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)?

  • A \( - 1 \le m \le \dfrac{1}{2}\).
  • B \( - 1 < m < \dfrac{1}{2}\).
  • C \(m \le 1\).
  • D \( - 1 < m < 1\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 2\tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\tan x\), với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)  thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 2m + 1\), số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 1 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) là: 

  • A \(6\)
  • B \(5\)
  • C \(3\)
  • D \(1\)  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^3} - 3x\), lập BBT của hàm số \(t\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

- Thay \(t = {x^3} - 3x\) vào phương trình đề bài cho, giải phương trình tìm \(t\).

- Từ các nghiệm \(t\) tìm được sử dụng phương pháp tương giao để tìm số nghiệm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta có \(t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x =  - 1 \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Suy ra \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình \(f\left( t \right) =  - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^3} - 3x\) ta có:

+ Phương trình \(t = b \in \left( { - 2;0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = c \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {1 - f\left( x \right)} \right) = 2\) là:

  • A \(2\)
  • B \(3\)
  • C \(5\)
  • D \(4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).

- Tìm số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của đồ thị hàm số.

- Từ nghiệm \(t\) tìm được thay lại phương trình \(f\left( x \right) = 1 - t\) để tìm số nghiệm \(x\), tiếp tục áp dụng phương pháp tương giao.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - f\left( x \right) = 1\\1 - f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) - 2 = 0\) là:

  • A \(2.\)
  • B \(0.\)
  • C \(3.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}\) có tính chất song song với trục hoành.

Vì \(0 < \dfrac{2}{3} < 1\) nên đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) - 2 = 0\) là:

  • A \(2.\)
  • B \(0.\)
  • C \(3.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x - m - \sqrt {9 - {x^2}}  = 0\) có đúng 1 nghiệm?

  • A \(m \in \left( { - 3;3} \right]\)
  • B \(m \in \left[ { - 3;3} \right] \cup \left\{ { - 3\sqrt 2 } \right\}\)
  • C \(m \in \left[ {0;3} \right]\)
  • D \(m =  -3\sqrt 2 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

- Khảo sát và lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\).

Ta có: \(x - m - \sqrt {9 - {x^2}}  = 0 \Leftrightarrow x - \sqrt {9 - {x^2}}  = m\,\,\left( * \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x - \sqrt {9 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = x - \sqrt {9 - {x^2}} \) với \( - 3 \le x \le 3\) ta có \(y' = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {9 - {x^2}}  + x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}}  + x = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}}  =  - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\9 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x =  \pm \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi \(m =  - 3\sqrt 2 \).

Vậy \(m =  - 3\sqrt 2 \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) của tham số m để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt?

  • A \(4036\)
  • B \(4040\)
  • C \(4038\)
  • D \(4034\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ.

- Đối chiếu điều kiện đề bài để tìm các số nguyên m thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m - 3} \right).1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { - 2020; - 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Giá trị của tham số \(m\) để đưởng thẳng \(\left( d \right):y = x + 4\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\)  tại ba điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho tam giác \(KBC\) có diện tích bằng \(8\sqrt 2 \) với điểm \(K\left( {1;3} \right)\) là:

  • A \(m = \frac{{1 - \sqrt {137} }}{2}\)   
  • B \(m = \frac{{1 + \sqrt {137} }}{2}\)        
  • C \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\)                
  • D \(m = \frac{{ \pm 1 + \sqrt {137} }}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm mối quan hệ giữa \({x_1},{x_2}\) là hoành độ của \(B,C\).

+ Viết công thức tính diện tích tam giác \(KBC\) và tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm?

  • A \(m \ge 3\)  
  • B \(m >  - 2\)
  • C \(m \le 3\)  
  • D \(m > 3\)  

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 3 - {x^2}\), đưa bất phương trình đã cho về dạng \(f\left( t \right) \le m\).

- Tìm điều kiện cho ẩn \(t\), dựa vào BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 - {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;3} \right].\) 

Bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { - \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { - \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 3x - 13 = {\left( {{x^2} - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 1} \right)^2}\) là:

  • A \(3\).
  • B \(4\).
  • C \(5\)
  • D \(6\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biến đổi, đưa phương trình về phương trình ẩn \(t = {x^3} - 3x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 3x - 13 = {\left( {{x^2} - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 1} \right)^2}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 3x - 13 = {x^6} - 6{x^4} + 12{x^2} - 8 - 3{x^2} + 6x - 3\\ \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 9x = {x^6} - 6{x^4} + 9{x^2} + 2 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) = {\left( {{x^3} - 3x} \right)^2} - 3\left( {{x^3} - 3x} \right) + 2\,\,(*)\end{array}\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x,\,\,t \in \mathbb{R}\). Phương trình trở thành: \(g\left( t \right) = {t^2} - 3t + 2\). Biểu diễn đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) :

Từ đồ thị hàm số, ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^3} - 3x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^3} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 3 \\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là: 5.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho đường cong \(\left( C \right):y = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d:\,y = x + 3m\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(d\) và \(\left( C \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có hoành độ bằng 3.

  • A \(m =  - 1\).
  • B \(m =  - 2\).
  • C \(m = 0\).
  • D \(m = 1\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng hệ thức Vi-et.

- Sử dụng công thức trung điểm: \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \({x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\) .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 3m\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x - 3 = {x^2} + 3mx + x + 3m\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3mx + 3m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để \(\left( C \right)\)  và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 12m - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} + {x_2} =  - 3m\)  (Định lí Vi-ét).

Trung điểm \(I\) của AB có hoành độ 3 nên: \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 3\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) cắt \(Ox,\,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,\,B\). Có bao nhiêu điểm \(M\) có tọa độ nguyên thuộc \(\left( C \right)\) sao cho \({S_{\Delta MAB}} = 3\).

  • A \(0\)
  • B \(2\)
  • C \(3\)
  • D \(1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm A, B. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác sau để đánh giá tọa độ của điểm M:

* Cho tam giác ABC, có tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Từ công thức diện tích:

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A\) ta chứng minh được công thức: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của (C) với Ox, Oy lần lượt là \(A\left( {1;0} \right),\,B\left( {0; - 1} \right)\). Lấy \(M\left( {m;\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right),\,m \ne  - 1\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1} \right),\,\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 1;\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)\)

Diện tích tam giác ABM: \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\left| {\left( { - 1} \right).\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} - \left( { - 1} \right)\left( {m - 1} \right)} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 3\)

\( \Rightarrow \left| {\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}} = 6\\\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}} =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - {m^2} = 6m + 6\\m - {m^2} =  - 6m - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 5m + 6 = 0\\{m^2} - 7m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m =  - 3\\m = \dfrac{{7 \pm \sqrt {73} }}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy, có tất cả 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\pi } \right)\).

  • A \(m \in \left[ { - 4; - 2} \right]\)
  • B \(m \in \left( { - 4; - 2} \right)\)
  • C \(m \in \left[ { - 4; - 2} \right)\)
  • D \(m \in \left[ { - 4;0} \right]\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Với xÎ(0;p) thì \(\sin \,x \in \left( {0;1} \right]\). Xét hàm số \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\), ta có:

Tập giá trị của \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\) là:  \(\left[ { - 4; - 2} \right)\).

Do đó, để phương trình f(sinx)=m có nghiệm xÎ(0;p) thì m Î [-4;-2).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{3}{2}\) là:

  • A \(6\).
  • B \(10\).
  • C \(8\).
  • D \(4\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Phá trị tuyệt đối, dựa vào đồ thị hàm số xác định giá trị của \({x^3} - 3x\).

- Tiếp tục sử dụng bài toán tương giao.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta có: \(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{3}{2}\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = a\,\,\,\left( {a <  - 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^3} - 3x = b\,\,\left( { - 2 < b < 0} \right)\,\,\,(2)\\{x^3} - 3x = c\,\,\left( {0 < c < 2} \right)\,\,\,\,\,\,(3)\\{x^3} - 3x = d\,\,\left( {d > 3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Quan sát đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) bên:

Ta có:

Phương trình (1) có 1 nghiệm.

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình (4) có 1 nghiệm.

Và các nghiệm của 4 phương trình trên là khác nhau.

\( \Rightarrow \) Tổng số nghiệm của phương trình đã cho là: 1+3+3+1=8

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| + 1 = m\) có 4 nghiệm phân biệt

  • A \(2 < m < 4\).
  • B \(1 < m < 2\).
  • C \(m < 1\).
  • D \(4 < m\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\) qua trục \(Ox\).

   + Xóa đi phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\).

- Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| + 1 = m \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\)(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi \(1 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 4.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(m\sqrt {{x^2} + 2}  = x + m\) có 2 nghiệm phân biệt

  • A \( - \sqrt 2  < m < 0\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2  < m <  - 1\\1 < m < \sqrt 2 \end{array} \right.\)
  • C \( - 1 < m < 1\)
  • D \( - \sqrt 2  < m < \sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của m.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,m\sqrt {{x^2} + 2}  = x + m\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - 1} \right) = x\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2}  - 1}} = f\left( x \right)\,\,\,\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2 - \sqrt {{x^2} + 2} }}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hàm số đã cho có 2 nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2  < m <  - 1\\1 < m < \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm điều kiện của \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^4} - m{x^2} + m - 1\) cắt trục hoành tại \(4\) điểm phân biệt.

  • A \(m > 1\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)
  • C \(m < 1\).
  • D \(m \ne 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt.

- Giải điều kiện trên tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - m{x^2} + m - 1 = 0\).

Đặt \(t = {x^2}\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - mt + m - 1 = 0\).

Để đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^4} - m{x^2} + m - 1\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình \({t^2} - mt + m - 1 = 0\) phải có hai nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 > 0\\m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

PHẦN 2. TOÁN HỌC, TƯ DUY LOGIC, PHÂN TÍCH SỐ LIỆU

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại \(3\)  điểm phân biệt?

  • A

    \(1\)

  • B \(2\)
  • C \(4\)
  • D \(3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại \(n\) điểm phân biệt với \(n\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đồ thị hàm số cắt \(Ox\) tại \(3\)  điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)  Phương trình (*) có \(2\)  nghiệm phân biệt khác \(1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\{1^2} + \left( {m + 3} \right).1 + {m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\{m^2} + m + 4 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 < 0\\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3\end{array}\)

Có \(3\)  giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm \(m\) để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right].\)

  • A \( - 4 < m \le  - 3\)
  • B \( - 4 \le m \le  - 3\)
  • C \(m =  - 4\) hoặc \(m >  - 3\)
  • D \( - 4 \le m <  - 3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\sin x = t \in \left[ {0;1} \right]\,\,\,\left( {do\,\,x \in \left[ {0;\pi } \right]} \right)\)\( \Rightarrow t' = \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ứng với mỗi giá trị của t khác 1 thì có 2 giá trị của x.

Do đó để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) phải có một nghiệm duy nhất trên \(\left[ {0;1} \right)\) \( \Rightarrow  - 4 < m \le  - 3.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + m - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {1;{y_A}} \right)\), \(B,\,\,\,C\) sao cho \(BC = 2\sqrt 3 \). Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập hợp \(S\) là:

  • A \(64\)
  • B \(40\)
  • C \(52\)  
  • D \(32\)  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số.

- Tìm điều kiện của \(m\) để phường trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi – et để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình.

Tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn \(BC = 2\sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}d:\,\,\,\,\,\,y = x + m - 1\\\left( C \right):\,\,\,\,\,y = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\end{array}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \(\left( C \right)\) là :

        \(\begin{array}{l}x + m - 1 = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} - m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {m - 2} \right)x + \left( {m - 2} \right)x - \left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó, phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

Suy ra :

        \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{1^2} + \left( {m - 2} \right).1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\\m \ne \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ne \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Suy ra \(B\left( {{x_1};\,{x_1} + m - 1} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};\,\,{x_2} + m - 1} \right)\)

Ta có:

        \(\begin{array}{l}BC = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left[ {\left( {{x_2} + m - 1} \right) - \left( {{x_1} + m - 1} \right)} \right]^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 6\end{array}\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4m + 8 = 6\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt {10} \\m = 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right) \Rightarrow S = \left\{ {4 + \sqrt {10} ;4 - \sqrt {10} } \right\}\end{array}\)

Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng 52.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Biết rằng đường thẳng \(y = m - 3x\)cắt đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) tại 2 điểm phân biệt \(A\)và \(B\) sao cho trọng tâm \(G\) của \(\Delta OAB\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) với \(O\left( {0;0} \right)\) là gốc tọa độ. Khi đó giá trị thực của tham số \(m\)thuộc tập nào sao đây:

  • A \(\left( { - 2;3} \right]\)
  • B \(\left( { - \infty ; - 5} \right]\)
  • C \(\left( { - 5;2} \right]\)
  • D \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng định lí Ví-ét: \({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\).

- \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3}\end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm \(G\) theo \(m\).

- Vì \(G \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn hàm số \(\left( C \right)\), thay tọa độ điểm \(G\) và giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} = m - 3x\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3x} \right).\left( {x - 1} \right) = 2x - 1\\ \Leftrightarrow mx - m - 3{x^2} + 3x = 2x - 1\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(y = m - 3x\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - m + 1} \right) > 0\\ - 3 + m + 1 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 - 12m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\forall m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 13 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 3 \\m < 5 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_A} + {x_B} = \dfrac{{m + 1}}{3}\).

Ta có: \(A,\,\,B\) thuộc đường thẳng \(y = m - 3x\) nên \(A\left( {{x_A};m - 3{x_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};m - 3{x_B}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_A} + {y_B} = \left( {m - 3{x_A}} \right) + \left( {m - 3{x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - \left( {m + 1} \right) = m - 1\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\)nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\dfrac{{m + 1}}{9};\dfrac{{m - 1}}{3}} \right)\).

Để \(G \in \left( C \right)\) thì \(\dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2.\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}{{\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2m - 7}}{{m - 8}}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 8 = 6m - 21\\ \Leftrightarrow {m^2} - 15m + 29 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{15 - \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2} \approx 12,72 \in \left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m\) có nghiệm:

  • A \( - 2 \le m \le 2\)
  • B \( - 2 < m < 2\)
  • C \( - 2 < m < 2\sqrt 2 \)
  • D \( - 2 \le m \le 2\sqrt 2 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng biến thiên

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = m\).

Xét hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \) ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  - x \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình \(x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 2 \le m \le 2\sqrt 2 .\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho phương trình \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình có đúng một nghiệm ?

  • A \(4\).
  • B \(5\).
  • C \(2\).
  • D \(3\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right) = 0\).

- Để phương trình \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\)có đúng một nghiệm thì phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1 = 0\) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

- Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b = 0\).

   + Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow a = 0,\,\,b \ne 0\).

   + Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\), khi đó \(x =  - \dfrac{b}{a}\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left( {{m^2} - 1} \right)x =  - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình (1) có đúng một nghiệm, ta có các trường hợp sau :

TH1 : Phương trình (2) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

TH2 : Phương trình (2) có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{{{m^2} - 1}} = 1\\\dfrac{{ - 1}}{{{m^2} - 1}} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 =  - 1\\{m^2} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau 

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2{\rm{cos}}\,x} \right|} \right) = 1\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\) là

  • A \(4.\)
  • B \(3.\)
  • C \(5.\)
  • D \(2.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(2{\rm{cos}}\,x = t\), đánh giá nghiệm phương trình với ẩn t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(2{\rm{cos}}\,x = t\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\).  Phương trình \(f\left( {\left| {2{\rm{cos}}\,x} \right|} \right) = 1\) (1) trở thành \(f\left( {\left| t \right|} \right) = 1\) (2)

Dựng đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) ta thấy, với \( - 2 \le x \le 2\) thì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = 1\) tại 2 điểm \({x_0}\,,\,\, - {x_0}\,\,\left( {0 < {x_0} < 2} \right)\)

Cho \(2{\rm{cos}}\,x = {x_0} \Rightarrow {\rm{cos}}\,x = \dfrac{{{x_0}}}{2} \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\,\,\) \(\left( {0 < {x_1} < \dfrac{\pi }{2},\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} < {x_2} < 2\pi  < {x_3} < \dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\)

Cho \(2{\rm{cos}}\,x =  - {x_0} \Rightarrow {\rm{cos}}\,x =  - \dfrac{{{x_0}}}{2} \in \left( { - 1;0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_4},{x_5}\,\,\left( {\dfrac{\pi }{2} < {x_4} < \pi  < {x_5} < \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Vậy số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2{\rm{cos}}\,x} \right|} \right) = 1\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\) là : \(5\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(7.f\left( {5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} } \right) = 3m - 10\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:

  • A \(10\)
  • B \(4\)
  • C \(6\)
  • D \(5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Khảo sát hàm số \(t\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\) và xét xem ứng với mỗi giá trị \(t\) thuộc những khoảng nào thì cho bao nhiêu giá trị \(x\).

- Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng tìm được, tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), phương trình trở thành \(7f\left( t \right) = 3m - 10 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{3m - 10}}{7}\,\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(t'\left( x \right) =  - 2.\dfrac{{ - 3\sin x}}{{2\sqrt {1 + 3\cos x} }} = \dfrac{{3\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\).

Cho \(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \), mà \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nên \(x = 0\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\) và với mỗi giá trị \(t \in \left( {1;3} \right]\) cho hai nghiệm \(x\), với \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x = 0\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1;3} \right]\), phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < \dfrac{{3m - 10}}{7} \le 0\\\dfrac{{3m - 10}}{7} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{4}{3} < m \le \dfrac{{10}}{3}\\m =  - 6\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3; - 6} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) với \(a \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ:

Phương trình \(\left| {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| = m\) (với \(m\) là tham số thực), có tối đa bao nhiêu nghiệm?

  • A \(16\)
  • B \(14\)
  • C \(12\)
  • D \(18\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(f\left( x \right) = t\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( t \right)} \right|\) như sau:

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = t\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( t \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\) có tối đa 6 nghiệm \(t > 0\).

Lại có \(t = f\left( x \right)\), với mỗi \(t > 0\) thì mỗi phương trình cho 2 nghiệm \(x\).

Vậy có tối đa 12 nghiệm \(x\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên. Xác định số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = \dfrac{3}{2},\) biết \(f\left( { - 4} \right) = 0.\)

  • A \(6\)
  • B \(9\)
  • C \(10\)
  • D \(7\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2}\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

+ Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right) < {t_2}\end{array} \right.\).

Ta có \(t' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có \(1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10\) nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

 Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=mx+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

  • A  \(m\in \left( -\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
  • B  \(m\in \left( 0;+\infty \right)\). 
  • C \(m\in \left( -\infty ;0 \right)\). 
  • D \(m=0\). 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

 Viết phương trình hoành độ giao điểm, biện luận tính chất nghiệm và áp dụng hệ thức Viet tìm tham số 

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
f\left( x \right) = m{x^2} - mx - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-2}{m} \\ \end{align} \right..\)

Đường thẳng \(y=mx+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị \(\Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) khác \(1\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta = {m^2} + 8m > 0\\
f\left( 1 \right) \ne 0\\
{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 8
\end{array} \right.\\
m{.1^2} - m.1 - 2 \ne 0\\
- \frac{2}{m} - 1 + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 8
\end{array} \right.\\
m \in \\
\frac{2}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Chọn B


Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Các bài liên quan: - 150 bài tập khảo sát hàm số

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.



Gửi bài